09第九章压杆稳定

左图桥下侧面观察，右图桥上看：长15.372米的 斜杆一根鼓出1.46米，另一根鼓出0.905米。
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
第九章 压杆稳定
实际的受压杆件由于： 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 3. 材料性质并非绝对均匀， 4. 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的
END
•[例5] 已知：l = 0.5 m，E = 200 GPa， 求下图中细长压杆的临界应力和临界压力。
解： Im in Iz3.8 9 1 8 0 m 4
F z y
i Imin8.8103m A
maxil8.2 8 0 1.5 0311.63
l
cr
2E 2
max
2200190
11.632 15.31MP
Fcr
Fcr 3
2 EIz
2 l 2
2 E (d 4 2)
64
2 l 2
3 Ed 4 128 l 2
(3)
Fcr
3 Ed 4
8l2
(1)
F
cr
3Ed2
128l2
d2
4a2
Fcr
3 Ed 4
128 l 2
(2)
(3)
得：
F cr mF ic1 n r, F (c2 r ,
F
F
x
' C M 0( k sk i) n x D ( k ck o )x s
F
y F M0
令: k2 F EI
CM0 , D0 ck o ls 1 ,sikn l0
F
kl2n k 2n 2 F cr
求最小临界压力， l l EI n 应取除零以外的最小值，
确定积分常数：
F x 0 : 0 x l: 0
END
[例3] 图示结构，两根直径为 d 的细长圆杆，
上下两端分别与刚性板固结，在总压力 F
Fy
z
作用下，求最小的临界载荷。
Fcr
Fcr
Fcr
d
dl
a
(1)
(2)
(3)
解：结构可能的失稳形式有以上三种：
(1) 两端固定（中心失稳） (2) 下端固定，上端自由，y为中性轴 (左右失稳)
(3) 下端固定，上端自由，z 为中性轴(前后失稳)
桁架稳定性（Stability of Trusses ）
第10章 压杆稳定 桁架吊索式公路桥
第10章 压杆稳定 索式公路桥
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
工程实例
• 一、稳定平衡与不稳定平衡：
1、不稳定平衡： 扰动作用除去后不能回复的平衡：
2、稳定平衡： 扰动作用除去后能回复的平衡：
侧 5. 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。
第九章 压杆稳定
压杆的截面形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的
弯曲刚度应尽可能大；
图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面，
图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改 善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
一、其他支座条件下细长压杆临界压力计算公式
方法(1)： 利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界
条件进行推导，与§9.2节两端铰支的情况相同;
方法(2)： 将不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状进
行对比，可得：
Fcr
2 EImin ( l)2
—— “欧拉公式”
—— 长度系数（或叫“约束系数”） ·l —— 相当长度（或叫“有效长度”
i
细长压杆横截面上的平均临界应力：
cr
F2cr2 E E
A
22 max
注意：
i I ——惯性半径
A
μl——杆的柔
i
一般情况下，杆件在不同的纵向平面内
具有不同的柔度值，而且压杆失稳首先发生在
柔度最大的纵向平面内。
因此，压杆的临界应力:σcr 应按柔度的
最大值： max 来代入上式计算。
•[例4] 已知：l = 0.5 m，E = 200 GPa， 求下图中细长压杆的临界应力和临界压力。
我们称之为“压杆失
三、工程中的压杆稳定性问题 压杆失稳导致钢梁倒塌
顶杆 的
稳定性
吊车塔身的稳定性
1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后， 仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈 曲而毁坏。
1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现 了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人 们才可看到斜杆失稳后的情景。
• 临界压力的计算公式 —— 欧拉公式 —— 推 • 导 首先我们假定压力已达到临界值，此时杆处
•于微弯平衡状态，然后从挠曲线入手求临界压力:
y
x F
l
① 内力弯矩的计算：
F
MF
M y
② 挠曲线近似微分方程：
ωF x
P147
M F
F
EI EI
Fk20
EI
其 中 令 :k2 F EI
y x
与杆处于微弯失稳状态的假设相矛盾!
故 A≠0 !! sikn l 0
y x
Fk20
F
l
F
EI 其中令 :k2 F
B0
EI
④
确定积分常数：
A0
sin kl 0
k n
l
F EI
•临界力 Fcr 是杆微弯下的最小压力，
•故只能取 n = 1 ；
•且杆将绕惯性矩最小的方向弯曲。
临界压力的 计算公式
3、稳定平衡和不稳定平衡的区别：
压杆稳定的概念
稳定的平衡：
（ stable equilibrium ）
能保持原有的 直线平衡状态的平衡；
不稳定的平衡：
（unstable equilibrium ）
不能保持原有的直 线平衡状态的平衡。
压力Fcr称为压杆的临界力或称为临界荷载（Critical loads）。 压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然 弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现象 也称为 屈曲。
FcrcrA 1.3 5 1 6 1 0 5 .0 7 1 4 6 0 7 .8 6 k
Fcr
d
dl
(1)
a
(2)
(2) 下端固定，上端自由，y为中性轴 (左右失稳)
Fcr2
2 EIy
2l 2
2E[6d442dl422(a2)2]2
3Ed2
128l2
d24a2
Fy z
d
dl
Fcr
3 Ed 4
8l 2
Fcr
3Ed2
128l2
d24a2
(1)
(2)
a
(3) 下端固定，上端自由， z 为中性轴 (前后失稳)
其挠曲线近似微分方程为：
F
F M0
k2k2 M0
F
令: k2 F EI
F x 上微分方程的解：
x M
Ccoksx Dsiknx M 0
F
确定积分常数：C、D
l
y F
y M0 F
M0∵边界条件：xx0l ::00
确定积分常数：
F x 0 : 0 x l: 0
M0
C M 0 co ksx D siknx M 0
）
不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状对比：
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
0.25l l
0.7l
L
0.5l
l
0.3l
0.25l
1
2
0.7
Fcr
2
EImin L2
Fcr (2F2Eclr)Im2 in (2 EFlc)Irm2in(02.7ElIm)2in
0.5
Fcr
2 EImin
(0.5l)2
3E4d F c3 r ) F c3 r1 2 l28
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公 式
一、临界应力
细长压杆横截面上的平均临界应力：
cr
Fcr A
2 EI ( l)2
/
A
2 (
E l)2
I A
2E ( l / i)2
2E 2
i I ——惯性半径
定义：细长杆的柔度
A
：
(或叫“长细比”) μ l
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 嫦娥奔月中的压杆
稳定性(Stability )
• 稳定性是指构件保持 其原有平衡状态的能力。
• 承受压力作用的杆 件，当压力超过一定限 度时就会发生弯曲失稳 现象。
• 由于构件失稳后將丧 失继续承受原设计载荷 的能力，其后果往往是 很严重的。因此在设计 受压构件时，必须保证 其有足够的稳定性。
F
l
F
k20
其 中 令 :k2
F
EI
③ 上微分方程的解： A sk i n x B ck o
④ 确定积分常数：A、B (0)(l)0
A0B10 Asin klBcoksl0
边 界条件B！
Asinkl
0 0
若A = 0 , 则挠曲线：
注意：A = 0 ???
A sk i n B x ck o 0 x s
F
解： Imin31 0 12 30 11 02 2.519 0m 4
10 30
i
Imin A
3 2.50 1 10 0 9 0 6 5310 3m
maxil
0.70.5 121 (5/ 3)1 03
l
cr
2E 2
max
2122021019013.44MP
FcrcrA 1.4 3 1 6 4 0 0 .0 0 3 .0 4 1 .3 0 k
[例3] 图示结构，两根直径为 d 的细长圆杆，
上下两端分别与刚性板固结，在总压力 F
Fy
z
作用下，求最小的临界载荷。
(1) 两端固定(中心失稳):
d
dl
2 EI
Fcr1 2 (0.5l)2
a
2E d 4
Fcr
2
64
0 .5 l 2
3 Ed 8l2
4
Fy z
Fcr
3 Ed 4
8l 2
即 = 0.5
END
•[例2] 求下图结构中细长压杆的临界压力。
y
y
Iy
b3h 12
xz
h
z
l
b
bh 3
I z 12
解：①
绕
y
轴，该杆两端为铰支：
= 1.0，Fcry
2
l
EIy
2
②
绕
z
轴，左端固定，右端铰支：
= 0.7，Fcrz
2 EIz
(0.7l)2
③ 压杆的临界力：F crmF icnr,y(F cr)z
稳 定
过
平 衡
不 稳 度定 平 衡
• 临界压力: Fc—r —使压杆保持微弯状态下 平衡时的最小压力值。
3)临界压力与压杆失稳：
在较小轴向压力F 作用下,
试件可保持稳定平衡；
但 F 增大到某一值 Fcr 时,
试件开始出现不稳定平衡,
试
我们将此 Fcr称为临界压力。
件
压杆由于处于不稳定平
衡
状态而造成的失效时，
——
欧拉公式
——
Fcr
2
EImin l2
y x
F
l
F
欧拉公式： Fcr
2
EImin l2
•注意：压杆一定是绕惯性矩最小的平面内弯曲。
欧拉公式的应用条件：
1) 理想压杆； 理想材料；轴线直线；轴向压力。
2) 线弹性范围内；
M
EI
3) 两端为球铰简支。
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临 界压力
4、失稳 (屈曲) ： 构件由一种平衡状态改变为另一种平衡状态。 例：受外压的薄壳
失稳
圆形平衡
椭圆形平衡
• 二、压杆的失稳与临界压力： • 1) 理想压杆：理想材料；轴线直线；轴向压力。 • 2) 压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳
不
定
稳
平
定
衡
平
衡
• 3) 压杆失稳：
• 4) 压杆的临界压力：
• 临界状态
•[例1] 试由挠曲线近似微分方程，导出两端固定 的细长压杆的临界压力计算公式。
解：变形关于杆中点对称，
Fcr
0.25 l 0.5 l 0.25 l
l
其挠曲线近似微分方程为：
F
F
MFM0
M0
EI EI
Fx x
M
F M0
EI EI
令: k2 F EI
y
y
F M0 F M0
k2k2 M0
F
解：变形关于杆中点对称，
M0
C M 0 co ksx D siknx M 0
x
F
F
' C M 0( k sk i) n x D ( k ck o )x s
F
y F M0
CM0 , F
所以其临界压力为：
D0
ck o ls 1 ,sikn l0
2 F cr l EI
Fcr
4 2
l2
EI
2 EI min
(l / 2)2
一、其他支座条件下细长压杆临界压力计算公式
方法(1)： 利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界
条件进行推导，与§9.2节两端铰支的情况相同;
方法(2)： 将不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状进
行对比，可得：
Fcr
2 EImin ( l)2
——
“欧拉公式”
—— 长度系数（或叫“约束系数”） ·l —— 相当长度（或叫“有效长度”
不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状对比：
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
0.25l l
0.7l
L
0.5l
l
0.3l
0.25l
1
2
0.7
Fcr
2
EImin L2
Fcr (2F2Eclr)Im2 in (2 EFlc)Irm2in(02.7ElIm)2in
0.5
Fcr
2 EImin
(0.5l)2
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临 界压力
第九章 Байду номын сангаас杆稳定
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 压杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸顶杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸 顶杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 木结构中的压杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 脚手架中的压杆
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 桁架中的压杆