2024年湖北省中考数学试题(含解析)

2024年湖北省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作20+元，则支出10元记作（
）A.10+元 B.10-元 C.20+元
D.20-元2.如图，是由4个相同的正方体组成的立方体图形，其主视图是（）
A. B. C. D.3.223x x ⋅的值是（
）A.25x B.35x C.2
6x D.36x 4.如图，直线AB CD ∥，已知1120∠=︒，则2∠=（）
A.50︒
B.60︒
C.70︒
D.80︒5.不等式12x +≥的解集在数轴上表示为（
）
A. B.
C . D.
6.下列各事件是，是必然事件的是（）
A.掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3
B.某同学投篮球，一定投不中
C.经过红绿灯路口时，一定是红灯
D.画一个三角形，其内角和为180︒7.《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x 金，每只羊值y 金，可列方程为（）
A.5210258
x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.2510528x y x y +=⎧⎨+=⎩C.5510
258x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.5210
228
x y x y +=⎧⎨+=⎩
8.AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，且50CAB ∠=︒．①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交
,AB BC 于,D E ；②分别以DE 为圆心，大于12
DE 为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线BP ，则ABP ∠=（）
A.40︒
B.25︒
C.20︒
D.15︒
9.平面坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,6-，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒，则点A 的对应点A '的坐标为（）
A.()4,6
B.()6,4
C.()4,6--
D.()
6,4--10.抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2--，抛物线与y 轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（）
A.0
a < B.0c < C.2a
b
c -+=- D.240b ac -=二、填空题（每小题3分，共15分）
11.写一个比1-大的数______．
12.中国古代杰出的数学家祖冲之、
刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是______．13.计算：111
m m m +=++______．14.铁的密度约为37.9kg /m ，铁的质量()kg m 与体积()3m
V 成正比例．一个体积为3
10m 的铁块，它的质量为______kg ．15.DEF 为等边三角形，
分别延长FD DE EF ，，，到点A B C ，，，使DA EB FC ==，连接AB AC ，，BC ，连接BF 并延长交AC 于点G ．若2AD DF ==，则DBF ∠=______，FG =______．
三、解答题（75分）
16.计算：()20
13922024-⨯+-17.已知：如图，E ，F 为□ABCD 对角线AC 上的两点，且AE =CF ，连接BE ，DF ，求证：BE =DF ．
18.小明为了测量树AB 的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得C 地与树AB 相距10米，眼睛D 处观测树AB 的顶端A 的仰角为32︒：方案二：如图（2），测得C 地与树AB 相距10米，在C 处放一面镜子，后退2米到达点E ，眼睛D 在镜子C 中恰好看到树AB 的顶端A ．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB 的高度．（结果保留整数，tan320.64︒≈）
19.为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了ABCD 四组，制成了不完整的统计图．分组：05A ≤<，510B ≤<，1015C ≤<，1520D ≤<．
（1）A 组的人数为______：
（2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？
（3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义．
20.一次函数y x m =+经过点()3,0A -，交反比例函数k y x
=于点(),4B n ．
（1）求m n k ，，；
（2）点C 在反比例函数k y x
=第一象限的图象上，若AO OB C A S S <△△，直接写出C 的横坐标a 的取值范围．21.Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点O 在AC 上，以OC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ．且BD BC =．
（1）求证：AB 是O 的切线．
（2）连接OB 交O 于点F ，若1AD AE ==，求弧CF 的长．
22.学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．
（1）求y 与,x s 与x 的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．
23.如图，矩形ABCD 中，,E F 分别在,AD BC 上，将四边形ABFE 沿EF 翻折，使A 的对称点P 落在AB 上，B 的对称点为G PG ，交BC 于H ．
（1）求证：EDP PCH △∽△．
（2）若P 为CD 中点，且2,3AB BC ==，求GH 长．
（3）连接BG ，若P 为CD 中点，H 为BC 中点，探究BG 与AB 大小关系并说明理由．
24.如图1，二次函数23y x bx =-++交x 轴于()1,0A -和B ，交y 轴于C ．
（1）求b 的值．
（2）M 为函数图象上一点，满足MAB ACO ∠=∠，求M 点的横坐标．
（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为,L L 与y 轴交于点D ，记DC d =，记L 顶点横坐标为n ．
①求d 与n 的函数解析式．
②记L 与x 轴围成的图象为,U U 与ABC 重合部分（不计边界）记为W ，若d 随n 增加而增加，且W 内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n 的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.【答案】B
【解析】解：如果收入20元记作20+元，那么支出10元记作10-元，故选：B ．
2.【答案】A
【解析】解：从正面看该组合体，所看到的主视图与选项A 相同，故选：A ．
3.【答案】D
【解析】解：23236x x x ⋅=，
故选：D ．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB CD ∥，
∴12180∠+∠=︒，
∵1120∠=︒，
∴218012060∠=︒-︒=︒，
故选：B ．
5.【答案】A
【解析】解：12x +≥ ，
1x ∴≥．
∴在数轴上表示如图所示：
故选：A ．
6.【答案】D
【解析】解：A 、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；B 、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；C 、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；D 、画一个三角形，其内角和为180︒，是必然事件，符合题意；故选：D ．
7.【答案】A
【解析】解：设每头牛值x 金，每头羊值y 金，∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，∴5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩
，故选：A ．
8.【答案】C
【解析】解：∵AB 为半圆O 的直径，
∴90ACB ∠=︒，
∵50CAB ∠=︒，
∴=40ABC ∠︒，
由作图知，AP 是ABC ∠的角平分线，∴1202ABP ABC ∠=
=︒，故选：C
9.【答案】B
【解析】解：过点A 和点A '分别作x 轴的垂线，垂足分别为B C ，，
∵点A 的坐标为()4,6-，
∴4OB =，6AB =，
∵将线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒得到OA '，∴OA OA '=，90AOA '∠=︒，
∴90AOB A OC OA C ''∠=︒-∠=∠，
∴()AAS AOB OA C ' ≌，
∴4A C OB '==，6OC AB ==，
∴点A '的坐标为()6,4，
故选：B ．
【解析】解：根据题意画出函数2y ax bx c =++的图像，如图所示：
∵开口向上，与y 轴的交点位于x 轴上方，
∴0a >，0c >，
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴240b ac ∆=->，
∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2--，
∴2a b c -+=-，
观察四个选项，选项C 符合题意，
故选：C ．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.【答案】0
【解析】
解：10-<．
故答案为：0（答案不唯一）．
12.【答案】1
5
【解析】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，所以，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是
15，故答案为：15
13.【答案】1【解析】解：
111111m m m m m ++==+++．故选：1．
【解析】解：∵铁的质量()kg m 与体积()3m
V 成正比例，∴m 关于V 的函数解析式为7.9m V =，
当10V =时，()7.91079kg m =⨯=，
故答案为：79．
15.【答案】①.30︒##30度②.5
【解析】解：∵DEF 为等边三角形，DA EB FC ==，∴2AD DF EB EF ====，60DEF DFE ∠=∠=︒，∴1302
DBF EFB DEF ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB DFE ∠=∠+∠=︒，30EFB HFC ∠=∠=︒，作CH BG ⊥交BG 的延长线于点H ，
∴112
CH CF ==，FH ==，∵90AFB H ∠=∠=︒，
∴AF CH ∥，
∴AGF CGH ∽，∴AF FG
CH GH
=，即41=
解得FG =
故答案为：30︒三、解答题（75分）
16.【答案】3
【解析】解：()20
1322024-⨯+-
3341
=-++-3=．
17.【答案】证明见解析．
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB //DC ，AB =DC ，
∴∠BAE =∠DCF ，
在△AEB 和△CFD 中，
AB CD BAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEB ≌△CFD （SAS ），
∴BE =DF ．
18.【答案】树AB 的高度为8米
【解析】解：方案一：作DE AB ⊥，垂足为E
，则四边形BCDE 是矩形，
∴10DE BC ==米，
在Rt ADE △中，32ADE ∠=︒，
∴tan 32100.64 6.4AE DE =⋅︒≈⨯=（米），树AB 的高度为6.4 1.68+=米．
方案二：根据题意可得ACB DCE ∠=∠，∵90B E ∠=∠=︒，
∴ACB DCE
∽∴AB BC DE CE =，即101.62
AB =解得：8AB =米，
答：树AB 的高度为8米．
19.【答案】
（1）12（2）180
（3）见解析
【解析】
【小问1详解】解：1435%40÷=（人），
A 组人数为：401014412---=（人）
，故答案为：12；
【小问2详解】解：14440018040
+⨯=（人），答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人；
【小问3详解】
解：从A ，B ，C ，D 组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B 组，
说明B 组靠后的成绩处于中等水平；
由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数．
20.【答案】
（1）3m =，1n =，4k =；（2）1a >．
【解析】
【小问1详解】
解：∵一次函数y x m =+经过点()30A -,
，点(),4B n ，∴304m n m -+=⎧⎨+=⎩
，解得31m n =⎧⎨=⎩
，∴点()1,4B ，∵反比例函数k y x
=
经过点()1,4B ，∴144k =⨯=；
【小问2详解】
解：∵点()30A -,
，点()1,4B ，∴3AO =，∴1134622AOB B S AO y =
⨯=⨯⨯=△，1322
AOC C C S AO y y =⨯=△，由题意得362C y <，∴4C y <，
∴1C x >，
∴C 的横坐标a 的取值范围为1a >．
21.【答案】（1）见解析
（2）弧CF 的长为3π．
【解析】
【小问1详解】
证明：连接OD
，在OBD 和OBC △中，BD BC OB OB OD OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴()SSS OBD OBC ≌，
∴90ODB OCB ∠=∠=︒，
∵OD 为O 的半径，
∴AB 是O 的切线；
【小问2详解】
解：∵90ODB ∠=︒，
∴90ODA =∠°，
设O 的半径为x ，
在Rt AOD 中，222AO OD AD =+，即(
)2
221x x +=+，
解得1x =，
∴1OD OC ==，2OA =，cos 12
AOD OD OA =
=∠，∴60AOD ∠=︒，
∵OBD OBC ≌△△，∴()118060602BOD COF ∠=∠=
︒-︒=︒，∴弧CF 的长为6011803ππ⨯=．22.【答案】（1）()8021940y x x =-≤<；2280s x x
=-+（2）能，25
x =（3）s 的最大值为800，此时20
x =【解析】
【小问1详解】
解：∵篱笆长80m ，
∴80AB BC CD ++=，
∵,,
AB CD x BC y ===∴80,
x y x ++=∴802y x
=-∵墙长42m ，
∴080242x <-≤，
解得，1940x ≤<，
∴()8021940y x x =-≤<；
又矩形面积s BC AB
=⋅y x
=⋅()802x x
=-2280x x =-+；
【小问2详解】
解：令750s =，则2280750x x -+=，
整理得：2403750x x -+=，
此时，()224404375160015001000b ac ∆=-=--⨯=-=>，
所以，一元二次方程2403750x x -+=有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为2750cm ；
∴()40,
2x --±=∴1225,15,
x x ==∵1940x ≤<，
∴25x =；
【小问3详解】
解：()22280220800
s x x x =-+=--+∵20,
-<∴s 有最大值，
又1940x ≤<，
∴当20x =时，s 取得最大值，此时800s =，
即当20x =时，s 的最大值为800
23.【答案】（1）见详解
（2）34GH =
（3）AB =
【解析】
【小问1详解】解：如图：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴90A D C ∠=∠=∠=︒，
∴1+3=90∠∠︒，
∵,E F 分别在,AD BC 上，将四边形ABFE 沿EF 翻折，使A 的对称点P 落在DC 上，∴90EPH A ∠=∠=︒，
∴1290∠+∠=︒，
∴32∠=∠，
∴EDP PCH △∽△；
【小问2详解】解：如图：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴23CD AB BC ====，AD ，90A D C ∠=∠=∠=︒，
∵P 为CD 中点，∴1212
DP CP ==⨯=，设EP AP x ==，
∴3ED AD x x =-=-，
在Rt EDP △中，222EP ED DP =+，
即()2
231x x =-+，解得53
x =，∴53EP AP x ===
，∴43ED AD AE =-=，∵EDP PCH △∽△，∴
ED EP PC PH =，∴45
331PH =，解得54PH =，∵2PG AB ==，
∴34
GH PG PH =-=
；【小问3详解】解：如图：延长AB PG ，交于一点M ，连接AP
∵,E F 分别在,AD BC 上，将四边形ABFE 沿EF 翻折，使A 的对称点P 落在CD 上，∴AP EF BG ⊥⊥，直线EF
,
BG AP ∴AE EP
= EAP EPA ∴∠=∠，
BAP GPA ∠=∠∴，
∴MAP △是等腰三角形，
∴MA MP =，
∵P 为CD 中点，
∴设DP CP y ==，
∴2AB PG CD y ===，
∵H 为BC 中点，
∴BH CH =，
∵BHM CHP ∠=∠，CBM PCH ∠=∠，
∴()ASA MBH PCH ≌，
∴BM CP y ==，HM HP =，
3MP MA MB AB y
==+=∴∴1322
HP PM y ==，
在Rt PCH △
中，52CH y =
=，
∴2BC CH ==，
∴AD BC ==，
在Rt APD
中，AP =
=，∵BG AP ∥，
∴BMG MAP ∽，∴13
BG BM AP AM ==，
∴3BG y =
，
∴63
AB BG ==，
∴AB =，
24.【答案】（1）2b =；（2）103m =或83m =；（3）n
n ≤<
11n -≤≤．
【解析】
【小问1详解】
解：∵二次函数23y x bx =-++交x 轴于()1,0A -，
∴013b =--+，
解得2b =；
【小问2详解】
解：∵2b =，
∴()2
22314y x x x =-++=--+，
令0y =，则()2140x --+=，
解得=1x -或3x =，
令0y =，则3y =，
∴()1,0A -，()3,0B ，()0,3C ，
作MN x ⊥轴于点N ，
设()
2,23M m m m -++，
当M 点在x 轴上方时，如图，
∵MAB ACO ∠=∠，
∴MAN ACO ∽△△，∴OC AN OA MN =，即231123
m m m +=-++，解得83
m =或1-（舍去）；当M 点在x 轴下方时，如图，
∵MAB ACO ∠=∠，
∴MAN ACO ∽△△，∴OC AN OA MN =，即()
231123m m m +=--++，解得103m =
或1-（舍去）；∴103m =或83m =；【小问3详解】
解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象L 的解析式为()222424y x n x nx n =--+=-+-+，
∴()
20,4D n -+，∴22431CD d n n ==-+-=-+，
∴()()22111111n n n d n n ⎧-≥≤⎪=⎨--<<⎪⎩
或；②由①得()()22111111n n n d n n ⎧-≥≤⎪=⎨--<<⎪⎩或，
则函数图象如图，
∵d 随n 增加而增加，
∴10n -≤≤或1n ≥，ABC 中含()0,1，()0,2，()1,1三个整数点（不含边界），当W 内恰有2个整数点()0,1，()0,2
时，
当0x =时，2L y >，当1x =时，1L y ≤，
∴()2242141
n n ⎧-+>⎪⎨--+≤⎪⎩，
∴n <<
1n ≥
或1n ≤
∴1n <≤∵10n -≤≤或1n ≥，
∴11n -≤≤；
当W 内恰有2个整数点()0,1，()1,1
时，
当0x =时，12L y <≤，当1x =时，1L y >，
∴()22142141
n n ⎧<-+≤⎪⎨--+>⎪⎩，
∴n <≤
n ≤<
，11n <<，
n ≤<；
∵10n -≤≤或1n ≥，
n ≤<；
当W 内恰有2个整数点()0,2，()1,1
时，
此情况不存在，舍去，
综上，n
n ≤<
或11n -≤≤．。