基于微分变换的多轴数控机床几何误差解耦研究

其中,P'3为第3个分支中串联部分运动副的数目㊂
各个杆组的运动参数已经通过上述分析得到,则根据交集规则可得到该机构的基点参数的阶为
d i m(G1{α,0,0,x,y,0}∩G2{α,0,0,x,y,z}∩
G3{α,β,γ,x,y,z})=d B{α,0,0,x,y,0}=3
根据式(2)得到该机构自由度为
F=F1+F2+F3+d B=0+0-2+3=1
这与用螺旋理论计算的结果一致㊂
4 结论
(1)以一种新的用 广义杆组自由度”表示的自由度计算公式 G OM公式为工具,结合 杆组自由度”㊁ 杆组有效位移参数”㊁ 用杆组有效位移参数的交集计算输出参数的交集规则”等概念,在总结了自由度计算步骤和确定杆组位移参数方法的基础上,提出了构件自由度的计算公式及输出构件运动性质的判断方法㊂
(2)通过选取文献中几种有代表性的机构类型进行自由度计算和分析,验证了该理论的正确性㊂文中提出的基于G OM公式对分支中含有闭环的机构㊁混联机构等的自由度计算方法为该类复杂机构自由度的分析提供了参考㊂
(3)采用该方法进行机构自由度计算,过程快捷㊁简单,对使用者的数学知识和力学知识要求较低,在解决机构自由度问题方面具有一定的通用性和简易性,适用于目前常用的单闭环㊁多环路㊁过约束机构,复杂的混联机构,多环耦合机构的自由度分析㊂
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2000.
(编辑 王艳丽)
作者简介:卢文娟,女,1983年生㊂燕山大学机械工程学院博士研究生㊂主要研究方向为并联机构自由度分析㊁型综合㊂发表论文10余篇㊂张立杰(通信作者),男,1969年生㊂燕山大学机械工程学院教授㊂曾达幸,男,1978年生㊂燕山大学机械工程学院副教授㊂张一同,男,1945年生㊂燕山大学机械工程学院教授㊂
㊃9822㊃
新的机构自由度计算公式 G OM公式的应用研究 卢文娟 张立杰 曾达幸等
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基于微分变换的多轴数控机床几何误差解耦研究
陈剑雄 林述温
福州大学,福州,350108
摘要:基于几何误差可等效为微分运动的原理,提出了基于微分变换的多轴数控机床几何误差建模的方法;运用雅可比矩阵建立了补偿值与刀具位姿误差之间的映射关系,矩阵中的元素可通过微分变换进行求解,由此利用雅可比矩阵的广义逆建立误差解耦模型㊂在此基础上,设计了多轴数控机床通用的自动化解耦计算流程㊂最后进行了五轴联动测试轨迹的误差补偿实验,补偿后的轨迹精度得到了显著的提高,验证了误差模型及解耦算法的有效性㊂
关键词:多轴数控机床;微分变换;雅可比矩阵;误差解耦
中图分类号:T G 659 D O I :10.3969/j
.i s s n .1004-132X.2014.17.004G e o m e t r i cE r r o rD e c o u p l i n g f
o rM u l t i ‐a x i sC N C M a c h i n e sB a s e do nD i f f e r e n t i a l T r a n s f o r m a t i o n C h e n J i a n x i o n g
L i nS h u w e n F u z h o uU n i v e r s i t y
,F u z h o u ,350108A b s t r a c t :An e w m o d e l i n g m e t h o d f o rm u l t i ‐a x i sC N C m a c h i n e sw a s p r o p o s e db a s e d o nd i f f e r e n t i -
a l t r a n s f o r m a t i o n t h e o r y ,w h e r e t h e g e o m e t r i c e r r o r sw e r e e q u i v a l e n t t o t h e d i f f e r e n t i a lm o v e m e n t r e l -
a t i v e t o i t s i d e a l p o s i t i o n .M e a n w h i l e ,t h e J a c o
b i a n m a t r i xw a s a d o p t e d t od e s
c r i b e t h em a p p i n g r e l a -
t i o nb e t w e e n t o o l p o s ee r r o rv e c t o r sa n dc o m p
e n s a t i o ne r r o rv e c t o r s ,a n da l l e l e m e n t s i nt h em a t r i x c o u l db e s o l v e db y d i
f f e r e n t i a l t r a n s f o r m a t i o n .T h u s t h ec o m p
e n s a t i o ne r r o rv e c t o r sw e r ec a l c u l a t e d b y c o m p u t i n g t h e g e n e r a l i z e di n v e r s eo
f J a c o b i a n m a r t i x .A n dt h e n ,a na u t o m a t i ce r r o rd e c o u p l i n g
p r o c e d u r ew a s d e v e l o p e dh e r e i n .F i n a l l y ,a n e x p
e r i m e n tw a s c o n d u c t e d o n a
f i v e ‐a x i sC N C m a c h i n e t o t e s t a n dv e r i f y t h i sm e t h o d .T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h e o v e r a l l p o s i t i o n a c c u r a c y o f t h e t e s t p a t h i s i m -p r o v e dd r a m a t i c a l l y
.K e y w o r d s :m u l t i ‐a x i sC N C m a c h i n e ;d i f f e r e n t i a l t r a n s f o r m a t i o n ;J a c o b i a n m a t r i x ;e r r o rd e c o u -
p
l i n g 收稿日期:2013 04 10
基金项目:福建省科技厅重大专项(2010H Z 0002
)0 引言
多轴数控机床是复杂零件高效高精密加工的
核心装备,在航空㊁航天等领域,提高多轴数控机床的加工精度具有重要的意义㊂然而仅通过提高制造和装配精度等手段来提高机床加工精度,不仅成本高昂㊁效果有限且精度难以长期保持㊂已有研究表明:采用误差补偿的方法,可在不改变机床现有软硬件的情况下,有效提高数控机床的精
度[
1‐2
]㊂通过几何误差模型对机床的误差进行准确预
测,进而求解各运动轴的误差补偿值是进行误差补偿的关键步骤㊂对于没有旋转轴运动的3轴数控机床,由于无法对刀轴矢量的误差进行补偿,故补偿值可由几何误差模型直接获得㊂但是对于多轴数控机床而言,通过几何误差模型得到的刀具位置和方向(即刀具位姿)的误差,必须通过解
耦[3]
获得各个运动轴的位置或转角误差的补偿
值㊂在几何误差模型建立方面,学者们提出了一
些已经得到验证的有效方法,如齐次变换法[4‐5
]㊁多体系统法[6
]等㊂但是在误差解耦方面,研究文献却相对较少,其中有代表性的方法是微分法[4]和雅可比矩阵法[
7‐8]
㊂这两种方法都建立在对变换矩阵进行求导的基础之上,计算过程较为复杂,
而且针对的是特定结构形式的机床㊂多轴数控机床的结构形式繁多,为每种结构专门进行误差建模显然是不可行的,这限制了误差补偿法的应用和推广,因此,有必要研究能够满足不同结构机床的通用误差模型及解耦方法㊂
实际上,机床各运动轴的几何误差可以等效为相对于其理想位姿的微分运动,这些微分运动会使机床的理想变换矩阵发生变化,这个变化量可以用微分变换表示㊂为此本文引入微分变换理论,提出基于微分变换的几何误差建模方法㊂在此基础上运用雅可比矩阵来描述刀具位姿与补偿值的映射关系,雅可比矩阵可采用微分变换法来构建,无需求导即可实现误差补偿值的解耦计算,计算效率高,易于实现自动化编程㊂
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1 数学模型
通过几何误差模型对刀具位姿误差进行准确预测,建立刀具位姿与各运动轴补偿值之间的映射关系,是进行几何误差解耦计算的关键㊂为此本文以一种广泛使用的双转台结构的五轴数控机床(图1)为研究对象构建其几何误差模型,并在
此基础上研究误差解耦的方法
㊂
图1 双转台五轴数控机床
1.1 几何误差模型
这种结构的机床有A 轴和C 轴两个旋转轴驱动工件旋转,以及X ㊁Y ㊁Z 三个直线轴驱动刀具直
线运动㊂在分析机床的运动链时,本文选择工件
坐标系为基准坐标系,依次经C 轴㊁A 轴㊁X 轴㊁Y
轴和Z 轴驱动刀具运动,可将现有方法(选择机床参考坐标系为基准坐标系)中的两条运动链简化为一条如图2中实线箭头所示的开放式串联的运动链㊂在各运动轴的原点设置上,工件坐标系原点为O W ,A 轴和C 轴的原点都设置在旋转轴的中心O A C 上,而X ㊁Y ㊁Z 轴的原点则都设置在机床回零时主轴回转轴线与端面的交点O R 处㊂
图2 等效运动链
机床的理想变换如图2中的实线箭头所示,
其理想变换矩阵w T z 可表示为
w
T z =w T c c T a a T x x T y y
T
z (1
)其中,每个运动轴变换矩阵的上标表示其基准坐标系,下标表示该运动轴的名称㊂假设机床的旋
转轴转过了α和γ角度,直线轴平移量分别为x ㊁y
和z ,于是各运动轴的变换矩阵为
w
T c =c o s γ-s i n γ0x A C s i n γc o s γ0y A C 00
1z A C
éëê
êêêêùû
ú
úúúú
00
1c
T a =10000c o s α-s i n α00s i n αc o s α0éëêêê
êêùû
ú
úúúú0001a T x =100x +x R 010y R 001z R
éëêêêêêùû
úúúúú0001 x
T y =1000010y 0010éëêêêêêùû
úúúúú
0001y
T z =10000100001z éëêêê
êêùû
ú
úúúú0001式中,x A C ㊁y
A C ㊁z A C 为O A C 在工件坐标系中的偏移量;x R ㊁y R ㊁
z R 为O R 相对O A C 的偏移量㊂当机床各运动轴存在几何误差时,可等效为
机床各轴相对其理想位姿的微分运动,由此造成的变换矩阵的误差可用微分变换表示,以A 轴为例,其实际变换矩阵c T 'a 可表示为
c
T 'a =c T a +d
c T a =c T a (c
Δa +I )(2
)其中,d c T a 表示微分变换量,c
Δa 表示微分算子,
可用矩阵表示为
c
Δa =0-εa z εa y δa x εa z 0-εa x δa y -εa y
εa x 0δa z éëêêêêêùû
ú
úúúú0000(3)其中,(δa x ,δa y ,δa z ,εa x ,εa y ,
εa z )T
表示A 轴的六项基本几何误差向量㊂于是,由A 轴的微分运动引
起的机床整个变换矩阵的变化量d a T z 可表示为
d a T z =w T c c T a c Δa a T x x T y y
T
z (4
)以此类推,由机床所有运动轴的微分运动引
起的刀具位姿的微分变换矩阵d w
T z 可表示为
d w T z =d
c T z +
d a T z +d x T z +d y
T z +d z T z (5
)由此可见,机床整体的变换矩阵误差可由各运动轴的微分运动线性组合而成㊂若刀具长度为
L ,则刀具的位置误差d P 与刀轴姿态的误差d Q 可表示为
d P =(δx ,δy ,δz ,1)=d w T z (0,0,L ,1)T
d Q =(εx ,εy ,
εz ,0)=d w T z (0,0,-1,0)}
T (6
)㊃
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基于式(6
)可直接计算出机床的几何误差,而不需要沿用现有的用实际运动减去理想运动的
方法㊂综合式(5)和式(6
),只要给出每个关节的齐次变换矩阵i -1T i 及相应的微分算子i -1Δi ,
运用微分变换即可快速建立满足不同结构形式的几何误差模型,且每个运动轴的理想变换矩阵和微分算子各自独立,并具有统一的表达式,有助于实现自动化建模㊂
1.2 基于微分变换的误差解耦
为了进行误差补偿,在几何误差模型基础上还需计算各运动轴的补偿值㊂于是根据微分运动原理,刀具位姿的微分变换可用所有运动轴微分变换的函数表示:
δx δy δz εx εy
εéëêêêêêêêêùûúúúúúúúú
z =w
T z δc x
w T
z δ
a x
w T
z δ
x x
w T
z δ
y x
w T
z δz x
w T z
δc y w T
z δ
a y
w T
z δ
x y
w T
z
δy y w T
z δz y
w T z δc z w
T z δ
a z
w
T z δ
x z
w
T z δy z
w T z δz z w T z εc x w T
z ε
a x
w T
z εx x
w T z
εy x w T
z εz x w T z εc y w T
z ε
a y
w T
z ε
x y
w T
z
εy y w T
z εz y w T z εc z
w T z ε
a z
w
T z ε
x z
w
T z ε
y z
w
T z εéëêêê
êêêêêêùû
ú
úúú
úúúúú
z z
d γd
αd x d y d éëêêêêêêùû
úúúúúúz (7
)其中,[d γ d α d x d y d
z ]T
即为各运动轴的补偿量,5×6雅可比矩阵中的每一列元素为对应关节的三个微分平移量和三个微分旋转量㊂因此,运用雅可比矩阵可将单个关节的微分运动与整个机构的运动联系起来,从而建立起几何误差与补偿量的映射关系,实现误差的解耦㊂
为了求解矩阵中的元素,本文在上述的几何
误差模型的基础上,采用微分变换表示位置方程对运动轴的变量的导数㊂以A 轴为例,机床的理想变换矩阵关于A 轴变量α的偏微分可表示为
∂w
T z ∂α
=w T c c T a c Δa a T x x T y y
T z (8
)将式(8)代入式(6),即可计算出A 轴的微分平移
和
微
分
旋
转
矢
量
(w
T z δa x ,w
T z δa y ,w
T z δa z ,w
T z εa x ,w
T z εa y ,w
T z ε
a z )T ㊂以此类推,即可求解出矩阵中所有的元素㊂于是可
用矩阵形式表示式(7
)如下:E =J C e
(9
)式中,E 为误差值;J 为雅可比矩阵;C e 为补偿值㊂
于是,通过雅可比矩阵的广义逆,可得到补偿量的最小二乘解:
C e =(
J T J )-1J T E (10
)因此,只要根据各运动的理想变换矩阵及其微分运动量(即几何误差值),无需求导计算,通过
式(10)即可得到任意结构的串联式多轴数控机床的误差补偿值,从而实现刀具位姿的误差值与机床各运动轴补偿值的解耦计算㊂
1.3 通用几何误差解耦方法
在上述双转台五轴数控机床的基础上,可以将该方法进一步推广到一般结构的多轴数控系统中,建立通用的几何误差解耦方法㊂基于微分变换的几何误差模型及解耦方法计算过程参数可通用,而且具有统一的表达式,易于实现自动化编程,据此本文设计了多轴数控机床通用的自动化解耦计算流程,如图3所示㊂
图3 自动化解耦计算流程
其自动化解耦计算的步骤如下:
(1
)首先根据机床的结构,对各运动轴依次编号,并设置名称,如X ㊁Y ㊁Z 等,接着输入各运动轴的几何误差㊂
(2)根据各运动轴的属性(如直线轴或旋转轴)和坐标系原点相对于其基准坐标系的偏移量,建立各运动轴的理想变换矩阵㊂同时,根据几何误差建立各运动轴的微分算子㊂
(3)参考式(4)
,计算出各运动轴微分运动引起的机床整个变换矩阵变化量的微分变换㊂(4)参考式(5)
,对各运动轴的微分变换进行累加,计算出机床的微分变换,同时,根据式(6
)求解各运动轴的微分平移和微分旋转矢量㊂
(5)同样根据式(6)
计算出刀具位姿的误差,结合根据步骤(4)计算得到的微分运动所创建的雅可比矩阵,建立如式(7
)所示的误差解耦模型㊂(6)最后根据式(10
),求解出误差补偿值㊂2 实验验证
为验证误差模型及补偿值解耦计算的有效性,本文以一台型号为V A R I A X I S500‐5X I I 的
MA Z A K 五轴联动数控机床为研究对象,设计了如图4所示的五轴联动测试轨迹,进行几何误差
补偿实验㊂
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图4 五轴联动的测试轨迹
球杆仪的底座安装在工作台的中心,另一端安装在主轴上,通过五轴联动实现在球面上的螺旋运动,同时保持主轴轴线的方向始终在球杆两端球心的连线上㊂由于机床的运动轴存在几何误差,所以球杆仪的长度的变化量可用于评价机床的几何精度㊂测试开始之前,需要调整球杆仪在
机床中的安装位置,其安装运行示意图见图5㊂(a
)
测试轨迹起始点 (b
)测试轨迹中间点(c
)测试轨迹终点图5 测试轨迹的安装运行示意图
球杆仪底座的球心安装在旋转工作台的正中间,以保证球心位置O W 恰好处于机床A 轴与C
轴轴线的交点处,这时x A C ,y A C ,z A C 分别为0㊂另外,X 轴坐标系原点相对于O W 的偏移量x R =
255mm ,y R =155mm ,z R =600mm ㊂球杆仪的另外一端安装在连接杆上,其球心位置O Q 在测试
起始位置的坐标为(-2
55,-155,-1
96.560)mm ,球杆仪在加装150mm 的加长杆后长度为250mm ㊂
在进行误差补偿之前,需要建立几何误差模
型以对球杆仪的位置和矢量误差进行预测㊂依照
式(6
),分别计算出球杆仪一端的球心O Q 在测试轨迹上机床各运动轴的理想变换矩阵及微分算子,进而可构建几何误差模型㊂而对于构建式(3)中的微分算子所需的各几何误差项,需要进一步
进行测量和识别㊂对于三个直线轴,本文采用A P I 的激光干涉仪进行误差测量,
其测量结果分别如图6和图7所示㊂
图6 X ㊁Y ㊁Z
轴线性误差值
图7 X ㊁Y ㊁Z 轴角度误差值
对于旋转轴的几何误差的测量和识别借鉴了
文献[9‐10]的研究成果,采用R e n i s h a w 的QW ‐
20球杆仪作为测量仪器,辨识的结果如表1所示㊂
表1 旋转轴结构参数误差
C 轴轴线绕Y 轴角度误差βa y (
r a d )0.00021C 轴轴线绕X 轴角度误差αa y (r a d )0.
0052A 轴轴线绕Z 轴角度误差γa y (r a d )-0.0065A 轴轴线绕Y 轴角度误差βc y (r a d )0.0040C 轴坐标系原点在Y 向误差δy a y (
mm )0.0012C 轴坐标系原点在X 向误差δx a y (mm )-0.0048A 轴坐标系原点在Z 向误差δz a y (
mm )0.0056A 轴坐标系原点在Y 向误差δy c a (
mm )-0.0032
结合理想变换矩阵及微分算子,采用式(6
)可快速计算出球心O Q 处的位置及矢量误差,继而
通过式(10
),即可解耦计算出各运动轴的误差补偿值,最后通过修改测试轨迹的数控程序进行误
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