2022-2023学年江西省萍乡市安源区高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年江西省萍乡市安源区高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知直线:l y kx =
的方向向量为(，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
【答案】B
【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.
【详解】因直线:l y kx =
的方向向量为(，则直线l
的斜率k =l 的倾斜角90α≠，
于是得[)tan 0,ααπ∈，解得60α=， 所以直线l 的倾斜角为60. 故选：B
2．已知A ，B ，C ，D 为空间中的任意四点，则AB CB CD -+=（ ） A ．CD B ．BC C ．BD D ．AD
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【详解】已知A ，B ，C ，D 为空间中的任意四点，则AB CB CD AB BC CD AD -+=++=． 故选：D ．
3．双曲线2
212
x y -=的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A ．1 B
C
D ．2
【答案】A
【分析】由已知可得焦点坐标及渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可. 【详解】双曲线2
212
x y -=
，可得a =1b =
，c
则右焦点
)
到它的渐近线y =
的距离为1d =
=．
故选：A ．
4．已知直线l 过点(3,1)A -，且与直线230x y -+=垂直，则直线l 的一般式方程为（ ） A ．230x y ++= B ．250x y ++=
C ．210x y +-=
D ．220x y +-=
【分析】由题意设直线l 方程为20x y m ++=，然后将点()3,1-坐标代入求出m ，从而可求出直线方程
【详解】因为直线l 与直线230x y -+=垂直，所以设直线l 方程为20x y m ++=， 因为直线l 过点()3,1-，所以610m -++=，得5m =， 所以直线l 方程为250x y ++=， 故选：B.
5．在空间直角坐标系O xyz -中，一束光线从点()2,1,3A -发出，被平面yOz 反射，到达点()1,1,2B 之后被吸收，则光线所走的路程为（ ）
A ．B
C ．
D 【答案】D
【分析】首先求出点关于面的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出结果． 【详解】空间直角坐标系O xyz -中，一束光线从点()2,1,3A -发出，被平面yOz 反射， 所以点()2,1,3A -关于平面yOz 的对称点的坐标为()2,1,3C --，
故光线所走的路程等于BC == 故选：D
6．椭圆2214
x y +=的左右焦点为1F ､2F ，P 为椭圆上的一点，123F PF π∠=，则△12PF F 的面积为（ ）
A ．1 B
C D ．2
【答案】C
【分析】由椭圆方程可得124PF PF +=，结合余弦定理求得124
3
PF PF ⋅=，最后根据三角形面积公式求△12PF F 的面积.
【详解】∵点P 是椭圆2
214
x y +=上的一点，1F ､2F 是焦点，
∴124PF PF +=，即()
2
1216PF PF +=①，
∵在△12PF F 中123
F PF π
∠=
，
∴(2
2
2
12122cos 123
PF PF PF PF π
+-⋅==②，
①-②得：1243
PF PF ⋅=，12
12114sin 2323F PF S PF PF π=
⋅=⨯=
7．在我国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥平面ABD ，90BAD CAD ∠+∠=︒，3AB =，4AC =，则点
D 到平面ABC 的距离为（ ）
A ．
3625
B ．
27
25
C ．27
80
D ．45
【答案】A
【分析】将ABD △绕AD 顺时针旋转90︒，使得AB D '与ACD 共面，首先计算长度关系， 然后利用等体积法求出点D 到平面ABC 的距离．
【详解】将ABD △绕AD 顺时针旋转90︒，使得AB D '与ACD 共面，如图所示，
因为90BAD CAD ∠+∠=︒，在Rt AB C '△中，3AB =，4AC =， 可得12916
,,,7555
AD B D BD CD BC '=
=== 设点D 到平面ABC 的距离为h ， 由A BCD D ABC V V --=得：BCD
ABC
S
AD S
h ⋅=⋅，
19121
7732552
h ⨯=⨯， 解得36
25
h =
． 故选：A
8．已知点()4,4A 在抛物线C ：22(0)y px p =>上，过点A 作圆228150x y x +-+=的两条切线，分别交抛物线C 于点M ，N ，则直线MN 的方程为（ ） A ．24150x y ++= B ．1530560x y ++=
D ．360x y ++= 【答案】B
【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，根据条件求出111530560x y ++=，221530560x y ++=，即可得直线MN 的方程．
【详解】因为点()4,4A 在抛物线C ：22(0)y px p =>上， 所以1682p p =⇒=，所以为抛物线C ：24y x =， 设()11,M x y ，()22,N x y ，
因为抛物线C ：2
4y x =，则22
12
12,44
y y x x ==，
则
()
12
14
4444
y AM y x y --=
--：，即()114440x y y y -++=， 由AM 与圆22(4)1x y -+=
1=，即211151202240y y ++=，
又2
114y x =，则111530560x y ++=；
同理221530560x y ++=，
所以()11,M x y ，()22,N x y 都在直线1530560x y ++=上， 所以直线MN 的方程1530560x y ++=， 故选：B ．
二、多选题
9．已知双曲线C ：221x y -=，下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C
的离心率为B ．双曲线C
的焦距为C ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± D ．双曲线C 的虚轴长为1 【答案】BC
【分析】由双曲线的标准方程求出,,a b c 的值，进而判断选项即可． 【详解】因为双曲线C ：221x y -=，所以1a =，1b =
，c =
双曲线的虚轴长为22b =，故D 不正确；
双曲线的焦距2c =，故B 正确；
离心率为
c
a
=A 不正确； 双曲线C 的渐近线方程为b
y x x a =±=±，故C 正确．
故选：BC ．
10．已知空间向量()1,2,3a =-，()2,2,1b =-，下列说法正确的是（ ） A ．14a =
B ．a 在b 方向上的投影向量为10105,,99
9⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
C ．//a b
D ．a 在b 方向上的投影数量为5
3-
【答案】ABD
【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影分别判断即可. 【详解】已知空间向量()1,2,3a =-，()2,2,1b =-， 对于A
：212a =+=A 正确； 对于B ：由于()1,2,3a =-，()2,2,1b =-，所以14a =，
2
2(3b =+=，2435a b ⋅=--=-，则5
cos ,314
a b a b a b ⋅-==⨯，
a 在
b 方向上的投影向量为10105cos ,,,999b
a a
b b --⎛⎫⋅⋅
= ⎪⎝
⎭，故B 正确；
对于C ：空间向量()1,2,3a =-，()2,2,1b =-，使a b λ=, 1=22=-23λ
λλ⎧⎪
⎨⎪-=⎩
,则不存在实数λ，，故C 错误；
对于D ：a 在b 方向上的投影数量为5
cos ,3a b
a a
b b
⋅⋅==-，故D 正确．
故选：ABD ．
11．将一线段按如下比例分割：较长这段长与总长的比值等于较短这段长与较长这段长的比值，则，约为0.618，这个分割比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割
的椭圆称为“黄金椭圆”.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，其离心率c
e a
=
，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）
A ．(22
32a c =
B ．
)
2212a b =
C ．(222
22a b c -=
D ．(
)
2
231b c =
【答案】ABD
【分析】分别计算A ，B ，C ，D 选项中椭圆的离心率，即可求解．
【详解】解：A 选项，由(22
32a c =，得22c a =，解得c e a ==A 正确；
B 选项，由
)
2212a b =，得
)
()
22212a a c =-，整理得(2232a c =，
即22c a =c e a ==，B 正确；
C 选项，由(22222a b c -=，得(()2222
22a a c c --=，
整理得(22
1a c =，无解，C 错误；
D 选项，由()
2
231b c =
，得(())
22231a c c -=
，
整理得(22
32a c =，即22c a =c e a ==，D 正确．
故选：ABD ．
12．已知圆1C ：2220x y x +-=与圆2C ：224240x y x y +--+=相交于A ，B 两点，下列说法正确的是（ ）
A ．直线A
B 的一般式方程为20x y +-=
B ．公共弦长AB
C ．过A ，B ，1C 三点(其中点1C 为圆1C 的圆心)的圆的一般方程为22320x y x y +--+=
D ．同时与圆1C 和圆2C 相内切的最大圆的方程为222
31()()(122x y -+-=
【答案】ABC
【分析】两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程；求得圆心到直线的距离，利用弦长等于即可求得弦长；设过A ，B 两点的圆的方程将()11,0C 代入，即可求解；同时与圆1C ，圆2C ，相内切的圆没有最大，可判断ABCD .
【详解】将圆C ：2220x y x +-=与圆C ：224240x y x y +--+=相减得20x y +-=，
所以直线AB 的一般式方程为20x y +-=，A 正确；
圆心()11,0C ，半径等于1，圆心到直线20x y +-=的距离为d =，
AB ==B 正确； 过A ，B 两点的圆的方程可设为()()2222
24240x y x x y x y λ+-++--+=，
将()11,0C 代入，可得1λ=，
所以过A ，B ，1C 三点(其中点1C 为圆1C 的圆心)的圆的一般方程为22320x y x y +--+=，C 正确； 同时与圆1C ，圆2C ，相内切的圆没有最大，D 错误． 故选：ABC ．
三、填空题
13．已知1F ，2F 为椭圆C ：22
1918
x y +=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，则12PF PF +=______．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义可知122PF PF a +=，即可求解．
【详解】由题意得，a =P 为椭圆C 上一点，则122PF PF a +== 故答案为：
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱11A B ，AD ，1BB 的中点，则异面直线EF 与1C G 所成角的大小为______．
【答案】1
2
π
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线EF 与1C G 所成角的大小.
【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱11A B ，AD ，1BB 的中点，设棱长为2， 建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示：
故E ()2,1,2，()1,0,0F ，()10,2,2C ，()2,2,1G ， 所以()()11,1,2,2,0,1EF C G =---=-， 故1220EF C G ⋅=-+=，
所以1EF C G ⊥，所以异面直线EF 与1C G 所成角的大小为1
2π.
故答案为：1
2
π
15．在平面直角坐标系xOy 中，圆22(1)(2)4x y -+-=上一点到直线()20mx ny n m -+-=的最大距离为______． 【答案】3
【分析】由于直线()20mx ny n m -+-=恒过点()2,2，则圆心()1,2与点()2,2连线 与直线()20mx ny n m -+-=垂直，进而可得答案． 【详解】圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2， 因为直线()20mx ny n m -+-=为()()220m x n y -+-=， 所以直线()20mx ny n m -+-=恒过点()2,2，
若圆22(1)(2)4x y -+-=上一点到直线()20mx ny n m -+-=的距离最大， 则圆心()1,2与点()2,2连线与直线()20mx ny n m -+-=垂直， 又圆心与()2,2距离22(12)(22)1d =-+-， 所以最大距离为123d r +=+=， 故答案为：3．
16．设双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F ，12F ，以2F 为圆心的圆与C 的左支
在第二象限交于点M ，与C 的右支在第一象限交于点N ，若M ，N ，1F 三点共线，且290MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为______．
【分析】设
22F M F N t ==，则MN ，由已知可得t =，进而可得c =，可求离心率．
【详解】设22F M F N t ==，则MN ，由双曲线的定义得1222F M F M a t a =-=-，
1222F N F N a t a =+=+，114MN F N F M a =-==，
t ∴=，在12NF F △中，12F N a =+，2F N =，122F F c =，1245F NF ∠=︒，
由余弦定理得()()(
)
()
22
2
2222cos 45c a a =++-+⋅⋅︒，
22
3c a =，c =，∴双曲线C
四、解答题
17．已知直线l ：0x -=，点()
A 关于l 的对称点为
B ，过点A 作斜率大于0的直线m ，
交直线l 于点C ，若_____．①AC =②点C 在直线0x 上；③ACB
S =
． (1)求点B 的坐标；
(2)从条件①，②，③中任选一个填入题中横线处，并求m 的一般方程．(参考数据：tan152︒=) (注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答记分．)
【答案】(1)12B ⎫
-⎪⎪⎝⎭
(2)答案见解析
【分析】（1）设()00,B x y ，表达出线段AB 的中点012y D ⎫
+⎪⎪⎝⎭
，根据斜率乘积为-1及D 点在直线l 上，列出方程组，解得点B 的坐标；
（2）若选①，由AC =AD =可得30ACD ∠=︒，由直线l 进而可得直线m
的斜率，即可得出直线m 的方程；
若选③，
由12ACB
S
AB CD =
⋅=
解得CD ，再计算tan AD ACD CD ∠=，进而可得15ACD =︒∠，得到直线m 的倾斜角，斜率，从而求出m 的一般方程．
【详解】（1）设()00,B x y ，则线段AB
的中点012y D ⎫
+⎪⎪⎝⎭
，
所以
)0102y =+-，
解得：0x =
012y =-，
所以12B ⎫
-⎪⎪⎝⎭
； （2）若选①
，AD ==
，
由AC =
AD =30ACD ∠=︒， 因为直线l
所以直线l 的倾斜角为30︒， 因为直线m 的斜率大于0，
所以直线m 的倾斜角为60︒
所以直线m
50y --=；
若选②
，联立00
x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
，解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
可得32C ⎫
-⎪⎪⎝⎭
，
因为()
A 在直线m 上，
所以直线m
的一般方程为32312y x +
=+
整理得：9210y --=；
若选③，2AB AD ==
11
22ACB
S AB CD CD =⋅==，
得CD =
所以tan 2AD
ACD CD ∠==15ACD =︒∠，
因为直线l 的倾斜角为30︒，m 的斜率大于0，
所以直线m 的倾斜角为45︒，即m 的斜率为1，
所以直线m 的一般方程为10x y -+-=．
18．已知圆心为(),0(0)C a a <的圆与两条直线220x y ++=，230x y +-=都相切．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)经过点()2,1P --的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰好为点P ，求ABC 的面积．
【答案】(1)2264(5)5
x y ++=
(2)
【分析】()1由题知，点(),0(0)C a a <到两直线的距离相等，
=，解得a ，进而可得圆的半径r ，即可得出答案．
()2当直线l 与直线CP 垂直时，线段AB 的中点恰好为()2,1P --， 又13
CP k =-，可得直线l 的斜率，进而可得直线l 的方程， 计算点()5,0C -到直线l 的距离d ，进而可得弦长AB ，再计算ABC 的面积．
【详解】（1）由题知，点(),0(0)C a a <到两直线的距离相等，
=，解得5a =-，或1(3a =舍去)， 所以圆C 的半径为
r = 即圆C 的标准方程为2264(5)5
x y ++=． （2）当直线l 与直线CP 垂直时，线段AB 的中点恰好为()2,1P --，
又13CP k =-，则3l k =， 所以直线l 的方程为35y x =+，
点()5,0C -到直线l 的距离10d =，
2227025
AB r d =-=， 所以ABC 的面积为1272
ABC S AB d =⋅=． 19．如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD ．
(1)求证：AD BC ⊥；
(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S
S =，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析 310
【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．
【详解】（1）设O 是BC 的中点，
连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥， 又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，
所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．
（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，
以O 为原点，,,OA OB OD 方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2BMD BMA S S =，所以13
AM AD =，设2AB a =，则3OA OD a ==， 则)3,0,0A a ，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()
3D a ，233M ⎫⎪⎪⎝⎭．
所以()3,,0CA a a =，()3,0,3DA a a =-，233,,33BM a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =， 则30330n CA ax ay n DA ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，可得()
1,3,1n =-， 设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，
则sin cos ,BM n θ=31010
BM n
BM n ⋅==⋅． 所以直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值为
31010.
20．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，C 的两个顶点和一个焦点围成等边三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)直线2(0)=+>y kx k 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为45
，求k 的值．
【答案】(1)2
214
x y += (2)19k =
1k = 【分析】（1）由已知可得a ，b ，可求椭圆C 的标准方程；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将椭圆方程与直线方程联立，可得1221614k x x k +=-
+，122
1214x x k =+，244345k -=，求解即可． 【详解】（1）由题知，24a =，得2a =，
要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形．两顶点只能在短轴上， 则22a b ==，1b ∴=，
故椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将椭圆方程与直线方程联立2
2142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，
化简得()221416120k
x kx +++=，其中()22(16)48140k k ∆=-+>，即234k >， 且1221614k x x k +=-+，122
1214x x k =+， 22
222212222216484431()41()1141414x k k AB k x x x x k k k k k -=+⨯+-=+⨯--=+⨯+++． 原点到直线的距离22
1d k =+，22144342145
AOB k S AB d k -=⋅==+． 化简得42423190k k -+=，解得2194k =或21k =， 又0k >且234k >，192
k ∴=或1k =． 21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AD AA ==，E 为1A B 上一点，F 为CD 的中点．
(1)若E 为1A B 的中点，求证：//EF 平面11AA D D ；
(2)若E 为异于1A ，B 的一点，且二面角1E AF A --3E ABCF -的体积．
【答案】(1)证明见解析 (2)14
【分析】（1）取1AA 的中点G ，连接GD ，GE ，通过证明GEFD 为平行四边形，得到//EF GD ，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角1E AF A --的平面角的余弦值求得E 点的坐标，进而求得四棱锥E ABCF -的体积.
【详解】（1）取1AA 的中点G ，连接GD ，GE ，
因为E 为1A B 的中点，所以//GE AB ，且12
GE AB =， 因为F 为CD 的中点，//AB CD ，所以//GE DF ，且GE DF =， 即GEFD 为平行四边形，故//EF GD ，
又EF ⊄平面11AA D D ，GD ⊂平面11AA D D ，
所以//EF 平面11AA D D .
（2）以A 为坐标原点，1,,AD AB AA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()10,0,1A ，()0,2,0B ，()1,1,0F ，
设(),,E x y z ，则()1,,1A E x y z =-，()10,2,1A B =-，且11(01)A E A B λλ=<<， 故()(),,10,2,1x y z λ-=-，即()0,2,1E λλ-，
因为()10,0,1AA =，()1,1,0AF =，()0,2,1AE λλ=- 设平面EAF 的法向量为()111,,v x y z =，
则()11112100
v AE y z v AF x y λλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，得21,1,1v λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 设平面1A AF 的法向量为()222,,x y z μ=，
所以122200
AA z AF x y μμ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，得()1,1,0μ=-， 由题意知，23cos ,222()1v v v μμμλλ⋅===⋅⋅+-，
解得12λ=，即10,1,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭E ， 因为四边形ABCF 的面积为()211322
+⨯=，
则四棱锥E ABCF -的体积为13113224⨯⨯=．
22．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>2，其左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为2F ，P 为C 的左支上不同于1A 的动点，当P 的纵坐标为1时，线段2PF 的中点恰好在y 轴上．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若点()2,0M ，连接MP 交C 的右支于点Q ，直线1PA 与直线2QA 相交于点T ，证明：当P 在C 的左支上运动时，点T 在定直线上．
【答案】(1)221x y -=
(2)证明见解析
【分析】()1根据离心率公式和点的坐标即可求出双曲线C 的标准方程； ()2设点()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,T x y ，分别根据韦达定理，两直线的交点坐标，即可求出．
【详解】（1）由离心率2c e a
=222c a b =+，得a b =， 当P 的纵坐标为1时，线段2PF 的中点恰好在y 轴上，
则1PF x ⊥轴1(F 为C 的左焦点)，
故(),1P c -，代入C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的方程得：21b =， 故双曲线C 的标准方程221x y -=；
（2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,T x y ，其中11x <-，21x >， 由题意知，直线MP 的斜率存在且不为0，设MP ：()2y k x =-， 代入221x y -=，得()222214410k x k x k -+--=，21240k ∆=+>， 则2122244411k x x k k +==+--，21222415411
k x x k k +==+--， 则()1212514
x x x x =+-，
由题意知，直线1PA ：()1111y y x x =++，直线2QA ：()2211
y y x x =--相交于点T ， 所以()()1200121111
y y x x x x +=-+-， 即()
()()
()120012221111k x k x x x x x --+=-+-， 解得()12121212120121212523233411234342342
x x x x x x x x x x x x x x x x x +------+-===⋅=-+--+--+-， 故当P 在C 的左支上运动时，点T 在直线12
x =
上．。