福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(理)试题(解析版)

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福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查文数试卷

2019年03月01日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知集合{}1,3,9,27A =,3{|log ,}B y y x x A ==?,则A B ⋂= ( )A. {}1,3B. {}1,3,9C. {}3,9,27D. {}1,3,9,272.若复数满足(1)12i z i +?+,则z 等于( )A.12B. 2C. 32D. 2 3.已知1a =,2b =,且()a a b ⊥-,则向量a 与b 的夹角为( )A.4π B. 3π C. 23π D. 34π 4.已知角α的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =-上,则cos 2α= ( )A. 45-B. 35-C. 35D. 45 5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2,则 C 的渐近线方程为( )A. 3y x =±B. 3y x =±C. 2y x =±D. 5y x =±6.已知 m ,n 是空间中两条不同的直线, α,β为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是( )A.若m α⊂,则m β⊥B.若m α⊂,n β⊂,则m n ⊥C.若m α⊄,m β⊥,则//m αD.若m αβ⋂=,n m ⊥,则n α⊥7.已知函数1()1x f x x +=-的图像在点(2,(2))f 处的切线与直线10ax y ++=平行,则实数a = ( )A. 2B.12C. 12- D. 2- 8.下列说法正确的是( )A.命题p ,q 都是假命题,则命题“p q ⌝∧”为真命题B. R ϕ∀∈,函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是奇函数C.函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于512x π=对称 D.将函数sin 2y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin 4y x =9.执行下面的程序框图,如果输入的48m =,36n =,则输出的k , m 的值分别为( )。

厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查理科数学参考答案_

3 3 D(0, 2,0) ， M (0, , ) ， B (1, 1,0) ， 2 2 3 3 3 1 （8 分） C (2,0,0) ， N ( , ,0) MN ( , 1, ) ， 2 2 2 2 n PB 0 x 2 y 3z 0 设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y , z ) ，取 x 1 ， x y 0 n BC 0 （10 分） y 1, z 3 ，即 n (1, 1, 3) ，
18．本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合思想、化归与转化、或然与必然等数学思想．满分 12 分．（1）【解析】取 AD 的中点 O ，连接 MO ， NO ， M 为 PD 的中点
OM // PA OM 平面 PAB ， PA 平面 PAB OM //平面 PAB （2 分）同理 பைடு நூலகம்N //平面 PAB ，（3 分）又 OM ON O ，平面 MNO //平面 PAB ,（4 分） MN 平面 OMN MN 平面 PAB （5 分）（2）（法一） AC 平面 PAD ， AC AD ，以 A 为坐标原点，以 AC , AD 分别为 x, y 轴，过 A 垂直于平面 ACD 的直线为 z 轴，如图建立空间直角坐标系，（6 分）在 Rt ACD 中， AC 2 ， CD 2 2 AD 2 （7 分） P (0,1, 3) ，
2
即彼此横坐标相差半个周期，纵坐标相差 2 ，且 PMN 为等腰三角形．（1）由于 PMN 为直角三角形，且斜边上高为 2 ，则斜边长为 2 2 T 解得：

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(文)试题(含答案)

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,2,A B x x n n Z =-==∈，则A B ⋂=（） A ．{}2 B ．{}0,2 C ．{}1,0,2- D ．∅2.复数z 满足()234i z i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知()33f x x x =+，0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则（） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f b f a << D ．()()()f b f a f c <<4.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14 B ．13C ．23D ．34 5.等差数列{}n a 的公差为1，125,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（） A ．50 B ．50- C ．45 D ．45-6.已知拋物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与曲线C 交于,A B 两点，6AB =，则AB 中点到y 轴的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1111,,C D BC A D 的中点，则下列命题正确的是（）A ．//MN APB ．1//MN BDC ．//MN 平面11BBD D D ．//MN 平面BDP 8.如图是为了计算11111234561920S =++++⨯⨯⨯⨯的值，则在判断框中应填入（）A ．19?n >B ．19?n ≥C ．19?n <D ．19?n ≤ 9.函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期为π，()12f π=，()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的一个可能值为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π10.设函数()()21,1,ln ,1,x a x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞ 11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为1256π，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A ．32B ．2C ．4D ．6 12.设函数()x f x x e -=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的切线，则m n +的最小值是（）A ．1e- B ．1 C ．11e - D ．311e +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角为90︒，1,2a b ==，则a b -= ． 14.已知,x y 满足约束条件1,3,1,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为．15.若双曲线22220,1()0:x y C a b a b -=>>的渐近线与圆()2221x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为．16.已知数列{}n a 满足121,3a a ==，()1,3n n a a n n N n --=∈≥，{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，则2018a = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()cos 2cos b A a c B π=--. （1）求B ；（2）若1,sin sin 2a b A C >=，ABC ∆的周长为33+，求ABC ∆的面积. 18.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒,PAB ∆为正三角形.（1）证明:AB PD ⊥；（2）若62PD AB =，四棱锥的体积为16，求PC 的长. 19.为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行研究，收集了 11块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx =+作为y 与x 的回归方程类型，令21,i i ii u x y υ==，相关统计量的值如下表:由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示:（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到υ关于u 的线性回归方程u υβα=+中的0.03β=，求y 关于x 的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01)附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121ni ii n ii u nu unuυυβ==-⋅=-∑∑，u αυβ=-，30 5.48≈.20.过椭圆2222:1()0x E b b y a a +>>=的右焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与E 交于,A B 两点，直线2l 与E 交于,C D 两点.当直线1l 的斜率为0时，42,22AB CD ==. （1）求椭圆E 的方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围.21.已知函数()2ln 1f x x ax x =++-，()()11,x g x x e a R -=-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()()2a f x ax g x ⎡⎤-≤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =--+，其中0a >. （1）求函数()f x 的值域；（2）对于满足221b c bc ++=的任意实数,b c ，关于x 的不等式()()3f x b c ≥+恒有解，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BDCBA 6-10: BCADA 11、12：DC二、填空题13. 5 14. 2 15.23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭16.1005- 三、解答题17. 解：（1）因为()()cos 2cos b A a c B π=--，由正弦定理得()()sin cos sin 2sin cos B A A C B =-- 所以()sin 2sin cos A B C B +=所以1cos 2B =，且()0,B π∈所以3B π=.（2）因为23A C π+=，所以2311sin sin sin cos sin 3222A A A A A π⎛⎫⎛⎫-=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23sin cos cos A A A ⋅=，()cos 3sin cos 0A A A -=，cos 0A =或3tan 3A =解得：6A π=或2π 因为a b >，所以2A π=所以，6C π=所以3,22a cb a ==因为33a b c ++=+，所以2,1,3a c b === 所以13sin 22ABC S bc A ∆==.18.（1）证明：取AB 中点为O ,连接,,PO DO BD ∵底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒, ∴ABD ∆为正三角形，DA DB = ∴DO AB ⊥又∵PAB ∆为正三角形， ∴PO AB ⊥又∵,DO PO O PO ⋂=⊂平面POD ,DO ⊂平面POD ， ∴AB ⊥平面POD ， ∵PD ⊂平面POD ， ∴AB PD ⊥.（2）法一：设2AB x =，则6PD x =，在正三角形PAB ∆中，3PO x =，同理3DO x =， ∴222PO OD PD +=，∴PO OD ⊥，又∵,PO AB DO AB O ⊥⋂=，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ,∴21233163P ABCD V x x -=⨯⨯=，∴2x =，∵//,AB CD AB PD ⊥ ∴CD PD ⊥ ∴()2222264210PC PD CD=+=+=.法二：设2AB x =，则6PD x =，在正三角形PAB ∆中，3PO x =，同理3DO x =， ∴222PO OD PD +=， ∴PO OD ⊥，又∵,PO AB DO AB O ⊥⋂=，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ,∴21233163P ABCD V x x -=⨯⨯=，∴2x =，连接OC ,∵在OBC ∆中，2,4,120OB BC OBC ==∠=︒，∴由余弦定理得222cos12027OC OB BC OB BC =+-⋅⋅︒=， ∴在RT POC ∆中，()()22222327210PC PO OC =+=+=.19.解：（1)可疑数据为第10组（2）剔除数据()10,0.25后，在剩余的10组数据中11101600100501010ii uu u =--===∑，1110144441010i i v v v =--===∑所以0.034500.03 2.5v u α=-⋅=-⨯= 所以v 关于u 的线性回归方程为0.03 2.5v u =+ 则y 关于x 的回归方程为212.50.03y x=+ （3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量w 的预报值22.50.03xw x =+12.50.03x x=+1301.8332 2.50.03≤=≈⨯ 当且仅当2.50.03x x=时，等号成立，此时 2.55309.130.033x ==≈，即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83. 20.解：（1）由已知得：222ABa ==将x c =代入22221x y a b +=得2b y a =±，所以22222222b b CD a ===，所以24b =所以椭圆22:184x y E +=（2）①当直线12,l l —条的斜率为0，另一条的斜率不存在时，114222822ACBD S AB CD =⋅=⨯⨯=. ②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+，则直线CD 的方程为12x y m=-+.设 ()()1122,,,A x y B x y 由222280x my x y =+⎧⎨+-=⎩，得()222440m y my ++-= ()()22216162321m m m ∆=++=+，2122242122m y y m m ∆+-==++ ()2212242112m AB m y y m +=+-=+（或：12122244,22m y y y y m m --+==++，()()()22212122421142m AB m y y y y m +⎡⎤=++-=⎣⎦+）用1m -取代m 得()222214214211212m m CD m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ ∴()()22224214*********ACBDm m S AB CD m m ++=⋅=⨯⨯++ ()()42422424221252168252252m m m m m m m m m ++++-=⨯=⨯++++2288225m m=-++又22224m m +≥，当且仅当1m =±取等号所以[)22224,m m +∈+∞ 所以228648,82925ACBD S m m⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭++ 综上：四边形ACBD 面积的取值范围是64,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解：（1）依题意，()()2121210ax x f x ax x x x++'=++=>①当0a ≥时，()1210f x ax x '=++>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a <时，180a ∆=->，12118118,44a ax x a a----+-==，且120x x >>，令()()()1220a x x x x f x x--'=>得21x x x <<，令()0f x '<得20x x <<或1x x >，此时()f x 在()21,x x 上单调递增；在()()210,,,x x +∞上单调递减综上可得，①0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a <时，()f x 在118118,44a a a a ⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在1181180,,,44a a a a ⎛⎫⎛⎫-+----+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减（2）法一：原不等式可化为()()20a f x ax g x ⎡⎤--≤⎣⎦，即()()1ln 110x a x x x e -+---≤ 记()()()1ln 11,1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可. ①当0a ≤时，由1x ≥可知ln 10x x +-≥，()110x x e --≥，所以()0h x ≤，命题成立. ②当102a <≤时，显然()111x h x a xe x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h a ''≤=-≤所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，命题成立.③当12a >时，显然()111x h x a xe x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减，因为()1210h a '=->，()2212221112222420222a h a a ae a a a -'=+-≤+-=-< 所以在()1,2a 内，存在唯一的()01,2x a ，使得()00h x '=，且当01x x <<时，()0h x '> 即当01x x <<时，()()10h x h >=，不符合题目要求，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.法二：原不等式可化为()()20a f x ax g x ⎡⎤--≤⎣⎦，即()()1ln 110x a x x x e -+---≤记()()()1ln 11,1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可. 可得()21111111x x x e h x a xe a x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()21,11x x e m x a x x -=-≥+，则()()()2122201x x x x e m x x -++'=-<+ 所以()m x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()112m x m a ≤=-. 12a ≤时，()10m ≤，从而()0m x ≤，所以()()110h x m x x ⎛⎫'=+≤ ⎪⎝⎭，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10h x h ≤=，原不等式成立 ②当12a >时，()10m >， ()()22121244m 20212121a a a a e a a a a a a a --=-<-=<+++，所以存在唯一()01,2x a ∈，使得()00m x =，且当01x x <<时，()0m x >，此时()()110h x m x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，()h x 在()01,x 上单调递增，从而有()()10h x h >=，不符合题目要求，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）221:44C x y +=，∵cos ,sin x y ρθρθ==，故1C 的极坐标方程：()223sin 14ρθ+=.2C 的直角坐标方程：()2224x y -+=， ∵cos ,sin x y ρθρθ==，故2C 的极坐标方程:4cos ρθ=.（2）直线l 分别与曲线12,C C 联立，得到()223sin 14ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则2243sin 1OA α=+， 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216cos OB α=， ∴()22224cos 3sin 1OBOA αα=+()()2244sin 3sin 1αα=-+令2sin t α=，则()()22244311284OBt t t t OA =-+=-++ 所以13t =，即3sin 3α=±时，OB OA 有最大值433. 23.解：（1）∵0a >，∴2a -<∴()2,22,22,2a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪=--+-<<⎨⎪--≥⎩故()[]2,2f x a a ∈--+.（2）∵()221024b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，∴22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∵()21b c bc +=+，∴()2212b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴223333b c -≤+≤. 当且仅当33b c ==时，()max 233b c +=，∴()max 323b c +=⎡⎤⎣⎦ 关于x 的不等式()()3f x b c +恒有解()()max max 3f x b c ⇔≥+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 即223a +≥，故232a ≥-，又0a >，所以232a ≥-.。

2018届福建省Xx市普通高中毕业班第二次质量检查试卷(理)含答案

2018届普通高中毕业班第二次质量检查试卷理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1iz =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 345C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合}{1A x x =≥-，1,2x B y y x A ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎩，则A B =IA ．}{12x x -≤≤B ．}{2x x ≥C ．}{02x x <≤ D ．∅3．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x 的值为 A ．1 BCD4．设,x y 满足约束条件12324x y x ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．72 B ．92 C ．132D ．152 5．将函数1sin()24y x π=+图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数俯视图正视图()y f x =的图象，则函数()4y f x 3π=+的一个单调递增区间是 A ．(,0)2π-B ．(0,)2πC ．(,)2ππD ．3(,2)2ππ6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线C(曲线C 为正态分布(2,1)N 的密度曲线)与直线0,x =1x = 及0y =围成的封闭区域内点的个数的估计值为(附:若X2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=)A ．2718B ．1359C ．430D ．2157．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，P 是C 上的一点，Q 是C 的准线上一点．若ΔPQF 是边长为2的等边三角形，则该抛物线的方程为A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x = 8．已知锐角,αβ满足sin 2cos αα=，1cos()7αβ+=，则cos β的值为 A ．1314 B ．1114CD9．已知O 是坐标原点，12,F F 分别是双曲线C :22221x y a b-=（0a >,0b >）的左、右焦点，过左焦点1F 作斜率为12的直线，与其中一条渐近线相交于点A ．若2||||OA OF =，则双曲线C的离心率e 等于 A ．54B ．53CD ．210．世界著名的百鸡问题是由南北朝时期数学家张丘建撰写的《张丘建算经》中的一个问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？张丘建是数学史上解决不定方程解的第一人．用现代方程思想，可设,,x y z 分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的数量，则不定方程为53100,3100.z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩如图是体现张丘建求解该问题思想的框图，则方框中①，②应填入的是 A ．3?t <，257y t =- B ．3?t ≤，257y t =-C ．5?t <，255y t =-D ．5?t ≤，255y t =- 11．底面边长为6的正三棱锥的内切球半径为1，则其外接球的表面积为A ．49πB ．36πC ．25πD ．16π12．设函数()ln()f x x k =+，()e 1x g x =-．若12()()f x g x =，且12x x -有极小值1-，则实数k的值是 A ．1- B ．2-C ．0D ．22018届普通高中毕业班第二次质量检查试卷理科数学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．边长为2的正三角形ABC 中，12AD DC =，则BD AC ⋅=___________． 14．()22344(1)x x x -++的展开式中，3x 的系数是___________．（用数字填写答案）15．B 村庄在A 村庄正西10km ，C 村庄在B 村庄正北3km ．现在要修一条从A 村庄到C 村庄的公路，沿从A 村庄到B 村庄的方向线路报价是800万元/km ，沿其他线路报价是1000万元/km ，那么修建公路最省的费用是___________万元． 16．在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且满足2DAC π∠=，1sin 3BAD ∠=．若13ABD ADC S S ∆∆=，则C ∠的余弦值为___________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S a +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，若4(1)n n n c b b =+，求证：123n c c c +++<．18．（12分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(]20,60分．（1）写出张先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；（2）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计张先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，112BC DC AB ===． O 是AB 的中点，PO ⊥底面ABCD ．O 在平面PAD上的正投影为点H ，延长PH 交AD 于点E ．（1）求证: E 为AD 中点；（2）若90ABC ∠=，PA =BC 上确定一点G ，使得HG //平面PAB ，并求出OG 与面PCD 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ．若四边形ADBC 的面积为4，且恰与圆224:5O x y +=相切．（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与圆O 相切，交椭圆M 于点,P Q ，且点,A B 在直线l 的两侧．设APQ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，求12S S -的取值范围．21．（12分）已知函数221()()ln ()2f x x x x ax a =++∈R ，曲线()y f x =在1x =处的切线与直线210x y +-=垂直．（1）求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若λ是整数，当0x >时，总有2211()(3)ln 24f x x x x x λλ-+->+，求λ的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2(4cos )4r ρρθ-=-，曲线2C的参数方程为4cos ,sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）当r 变化时，设1,C 2C 的交点M 的轨迹为3C ．若过原点O ，倾斜角为3π的直线l 与OHEDCBAP曲线3C 交于点,A B ，求OA OB -的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知实数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式225x x y -++≤；（2）若,0x y >，证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．23- 14．8 15．9800 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解:（1）由题设132n n S a +=-，当2n ≥时，132n n S a -=-，两式相减得13n n n a a a +=-，即14n n a a += . …………………2分又1a =2，1232a a =-，可得28a =， ∴214a a =. ………………………………3分 ∴数列{}n a 构成首项为2，公比为4的等比数列，∴121242n n n a --=⨯=. ………………………………5分（没有验证214a a =扣一分）（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分 ∴2n ≥时，22111(21)(22)(1)1n c n n n n n n n n=<==--⋅-⋅-⋅- ， ………9分∴1231111112()()()12231n c c c c n n ++++≤+-+-++-- …………10分13n=- ………………………………11分3<. ………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∵2n ≥时，211n n -≥+，∴22112()(21)(1)1n c n n n n n n =≤=--⋅+⋅+ ， ………9分 ∴123111122()()23+1n c c c c n n ⎡⎤++++≤+-++-⎢⎥⎣⎦…………10分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ (11)分3<. ………………………………12分解法三：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∴2n ≥时，22112()(21)(1)1n c n n n n n n=≤=--⋅-⋅- ， ………8分∴1231234511112()()561n c c c c c c c c c n n ⎡⎤++++≤+++++-++-⎢⎥-⎣⎦…………10分 1212112231514455n ⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…………………………11分619223630n<+-<. ………………………………12分18．本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（1）当2040t <≤时，0.1215y t =+ ………………………………1分当4060t <≤时，.y t t=⨯+-+. ………………………………2分得：0.1215,2040,0.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩………………………………3分（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505P +==……4分 ξ可取0，1，2，3.03032327(0)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2132354(1)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2232336(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ξ的分布列为……………7分27543680123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………8分或依题意2(3,)5B ξ，23 1.25E ξ=⨯= ……………………………8分（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间21820102535455542.650505050t =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟），……………10分每次上下班租车的费用约为0.242.611.820.32⨯+=（元）. ……………11分一个月上下班租车费用约为20.32222894.081000⨯⨯=<，估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分解法二：（1）（2）同解法一；（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均租车价格为2182010(150.1225)(150.1235)(11.80.245)(11.80.255)20.51250505050+⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯=（元）……………10分一个月上下班租车费用约为20.512222902.5281000⨯⨯=<……………11分估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（1）连结OE . 2,AB O =是AB 的中点，1CD =，OB CD ∴=，//AB CD ，∴ 四边形BCDO 是平行四边形， 1OD ∴=.………………1分PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， PO AD ∴⊥，………………2分 O 在平面PAD 的正投影为H ， OH ∴⊥平面PAD ，OH AD ∴⊥.………………3分又OH PO O =，AD ∴⊥平面POE ，AD OE ∴⊥，………………4分又1AO OD ==，E ∴是AD 的中点. ………………5分（2）90ABC ∠=，//OD BC ，OD AB ∴⊥，OP ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，………………6分(0,0,0)O ∴，(0,0,1)P ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，2PA =，OP AB ⊥，1PO ∴OA OD OP ∴==，∴H ∴是ADP ∆的的外心，AD PD AP ==H ∴是ADP ∆的的重心，OH OP PH ∴=+23OP PE =+111(,,)333=-.………………8分设BG BC λ=，(,1,0)OG BC OB λλ∴=+=，141(,,)333GH OH OG λ∴=-=--，又(1,0,0)OD =是平面PAB 的一个法向量，且//HG 平面PAB ， 0GH OD ∴⋅=，103λ∴-=，解得13λ=，1(,1,0)3OG ∴=，………………9分OHECBAP设(,,)n x y z =是平面PCD 的法向量，(1,0,1)PD =-，(0,1,0)CD =-，0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z y -=⎧⎨=⎩ 取1,x =则1,0z y ==，(1,0,1)n ∴=.………………11分cos ,||||n PGn PG n PG ⋅∴<>=⋅13==， ∴直线OG 与平面PCD 所成角的正弦值为………………12分解法二：（1）同解法一；（2）过H 作HM EO ⊥，交EO 于点M ，过点M 作//GM AB ，分别交,OD BC 于,Q G ，则//HG 平面PAB ，………………6分证明如下：//,MG AB AB ⊂平面,PAB MG ⊄平面PAB ，//MG ∴平面PABPO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面ABCD ，PO EO ∴⊥， ∴在平面POD 中，//PO MH ，PO ⊂平面,PAB HM ⊄平面PAB ，//MH ∴平面PABMG MH M =，∴平面//MHG 平面PABGH ⊂平面MHG ，//HG ∴平面PAB .………………7分,OM PH OM ME HE =∴=， 1,3BG OQ ∴===………………8分在OD 上取一点N ，使23ON =， CN OG ∴==，………………9分作NT PD ⊥于T ，连结CT .∵,CD OD ⊥,CD OP OD OP O ⊥=，CD ∴⊥平面POD ， NT CD ∴⊥，PD CD D =, NT ∴⊥平面PCD ,NCT ∴∠就是OG 与平面PCD 所成的角.………………10分DN DPNT PO =, NT ∴，………………11分 TNQ PAB CD E HOMGsinNTOTNCN∴∠===, 即直线OG与平面P C D所成角的正弦值为………………12分解法三：（1）同解法一.（2）过E作//EQ AB，交BC于点Q，连结PQ，过H作//HM EQ交PQ于点M，过点M作//GM PB，交BC于G，连结HG，则//HG平面PAB，………………6分证明如下：//,MG PB PB ⊂平面,PAB MG⊄平面PAB，//MG∴平面PAB同理://MH平面PABMG MH M=，∴平面//MHG平面PAB．GH ⊂平面MHG，//HG∴平面PAB，………………7分2BG PM PHGQ MQ HE∴===，E是AD的中点，∴Q是BC的中点，1133BG BC∴==，………………8分取PD的中点N，连结ON，再连结OG并延长交DC的延长线于点T，连结NT，OP OD=，N是PD中点，ON PD∴⊥，OB OD⊥，,OB OP OD OP D⊥=，OB∴⊥平面PODOB ON∴⊥，//OB CD，ON CD∴⊥，PD CD D=，ON∴⊥平面PCD，OTN∴∠就是OG与平面PCD所成的角.BG OBGC CT=，2CT∴=，OT∴12ON DP=………………11分sinONOTNOT∴∠===，即直线OG与平面PCD所成角的正弦值为………………12分20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．TNGMQOHED CBAP解法一：（1）根据题意，可得：1224,21122a b ab ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,ab =⎧=………………………………………………………2分解得2,1.a b =⎧⎨=⎩………………………………………………………4分∴椭圆M 的方程为2214x y +=．………………………………………………………5分（2）设:l x my n =+，(2,2)n ∈-，直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5m n +=，………………………………6分从而[)20,4m ∈.又1121(2)2S n y y =+-，2121(2)2S n y y =--，∴1212121(2)(2)2S S n n y y n y y -=⨯--+⋅-=⋅-.………………………………7分将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(4)240m y mny n +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+． (8)∴12y y -.∴12S S n -===85，当20m =时，1285S S -=；………………………………10分当2(0,4)m ∈时，122S S -=，………………………………11分且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭．………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）当直线l的斜率不存在时，由对称性，不妨设:l x =，此时直线l与椭圆的交点为，12182)(225S S ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦. 直线l 的斜率存在时，设:l y kx b =+，由直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5k b +=. 又点,A B 在直线l 的两侧，∴(2)(2)0k b k b +-+<，2240b k -<，∴224(1)405k k +-<，解得12k >或12k <-.点,A B 分别到直线l 的距离为1d =2d =.将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(14)8440k x kbx b +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -⋅=+． (7)分∴12PQ x =-.………………………8分 ∴121212S S d d AB-=-⋅=b =b ===2=，且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭． (12)分21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一: （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()(1)ln (2)12f x x x a x '=++++，……………………………………………………………1分依题意可得， (1)1f '=， 12122a ∴++=，14a ∴= .……………………………………………………………………2分 ()(1)ln (1)f x x x x '∴=+++=(1)(ln 1)x x ++令()0f x '=，即(1)(ln 1)0x x ++=，10,x x >∴=，……………………………………3分 ()f x ∴的单调递增区间是1(,)e +∞，单调递减区间为1(0,)e .………………………………5分（2）由（Ⅰ）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++，2211()(3)ln 24f x x x x x λλ∴-+->+ln 31x x x x λ-⇔>+，………………………………6分设ln 3()1x x xh x x -=+， ∴只要min ()h x λ>，……………………………………………7分2(1ln 3)(1)(ln 3)()(1)+-+--'=+x x x x x h x x22ln (1)x xx -+=+，…………………………………………………………………8分令()2ln u x x x =-+， 1()10u x x'∴=+>()u x ∴在(0,)+∞上为单调递增函数， (1)10u =-<， (2)ln 20=>u∴存在0(1,2)x ∈，使0()0u x =，……………………………………………………9分当0(,)x x ∈+∞时，()0u x >，即()0h x '>，当0(0,)x x ∈时，()0u x <，即()0h x '<， ()h x ∴在0x x =时取最小值，且000min 0ln 3()1-=+x x x h x x ，………………………………10分又0()0u x =， 00ln 2x x ∴=-， 000min 00(2)3()1--∴==-+x x x h x x x ，……………………………………………………11分00(1,2),(2,1)x x ∈∴-∈--又min ()h x λ<，max 2Z λλ∈∴=-. …………………………………………………………………12分解法二：（1）同解法一.（2）由（1）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++2211()(3)ln 24f x x x x λλ∴-+->+ln 30x x x x λλ⇔--->.…………………………6分设()ln 3g x x x x x λλ=---，∴只要min ()0g x >，………………………………………7分则()1ln 3g x x λ'=+--ln 2x λ=--令()0g x '=，则ln 2x λ=+，2x e λ+∴=.…………………………………………………8分当2(0,)x e λ+∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2(,)x e λ+∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，2min ()()g x g e λ+∴=222(2)3e e e λλλλλλ+++=+---2e λλ+=--.…………………………9分设2()h e λλλ+=--，则()h λ在R 上单调递减，………………………………………10分 (1)10,(2)120h e h -=-+<-=-+>，………………………………………………11分 0(2,1)λ∴∃∈--，使0()0h λ=，max 2Z λλ∈∴=- . …………………………………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）由1C ：2(4cos )4r ρρθ-=-，得224cos 4r ρρθ-+=，即222440x y x r +-+-=， ………………………………………………………2分曲线2C 化为一般方程为：222(4)3x y r -+=，即2228163x y x r +-+=，………4分化为极坐标方程为：228cos 1630r ρρθ-+-=．………………………………5分（2）由224cos 4r ρρθ-+=及228cos 1630r ρρθ-+-=，消去2r ，得曲线3C 的极坐标方程为22cos 20()ρρθρ--=∈R ． …………………………………………………7分将θπ=3代入曲线3C 的极坐标方程，可得220ρρ--=，…………………8分故121ρρ+=，1220ρρ=-<，…………………………………………………9分故121OA OB ρρ-=+=．…………………………………………………10分（或由220ρρ--=得0)1)(2(=+-ρρ得1,221-==ρρ，…………………9分故211-=-=OA OB …………………………………………………10分）解法二：（1）同解法一；（2）由22244x y x r +-+=及2228163x y x r +-+=，消去2r ，得曲线3C 的直角坐标方程为2222x y x +-=． ………………………………………………………………7分设直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），………………………………8分与2222x y x +-=联立得2213244t t t +-=，即220t t --=，………………………………………………………………9分故121t t +=，1220t t =-<，∴121OA OB t t -=+=．……………………………………………………10分（或由220t t --=得，,0)1)(2(=+-t t 得1,221-==t t ，∴211-=-=OA OB ．……………………………………………………10分）23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）1,x y +=|2||1|5x x ∴-++≤，………………………………………1分当2x ≥时，原不等式化为215x -≤，解得3x ≤，∴23x ≤≤；………………………………………………2分当12x -≤<时，原不等式化为215x x -++≤，∴12x -≤<；………………………………………………3分当1x <-时，原不等式化为215x -+≤，解得2x ≥-，∴21x -≤<-；………………………………………………4分综上，不等式的解集为{}23x x -≤≤．.……………………5分（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅……………7分222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y=++225x y y x=++………………………………8分59≥=. 当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分解法二：（1）同解法一；（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222221111(1)(1)x y x y x y --∴--=⋅………………………………6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅………………………………7分 1x y xyxy+++=………………………………8分21xy =+2219()2x y ≥+=+当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分。

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(理)试题(含答案)

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}{}260,1,2,3,4A x x x B =--<=，则Venn 图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 2.已知4sin ,025πααπ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是（）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253.若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A ．1215B ．135C ．18D ．94.执行如图的程序框图，若输出S 的值为55，则判断框内应填入（）A ．9?n ≥B ．10?n ≥C ．11?n ≥D ．12?n ≥5.等边ABC ∆的边长为1，,D E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE ⋅等于（）A ．1318 B ．34 C ．13D ．326.从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A ．15B ．14C ．13D ．127.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：21212S ⨯⨯=⨯弦矢+矢.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：12V =⨯圆面积⨯矢312+⨯矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为180002m ，建筑容积约为3400003m ，估计体育馆建筑高度(单位：m )所在区间为（）参考数据: 3321800032608768+⨯=，3341800034651304+⨯=，3361800036694656+⨯=， 3381800038738872+⨯=，3401800040784000+⨯=.A ．()32,34B ．()34,36C ．()36,38D ．()38,40 8.设,x y 满足约束条件0,20,0,x y x y a x -≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩且3z x y =+的最大值为8，则a 的值是（）A ．16-B ．6-C ．2-D ．29.函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log a b c ==，则（） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f a f c f b << D ．()()()f c f b f a <<11.抛物线2:4E y x =的准线与x 轴的交点为K ，直线():1l y k x =-与E 交于,A B 两点，若:3:1A K B K =，则实数k 的值是（）A ．33±B ．1±C ．2±D ．3± 12.已知函数()3sin f x x x =+，()()11,0,2ln 1,0,x x g x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩若关于x 的方程()()0f g x m +=有两个不等实根12,x x ，且12x x <，则21x x -的最小值是（）A ．2B ．3ln 22-C ．4ln 23- D ．3ln2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数z 满足()31i z i -=，则z 等于．14.斜率为2的直线l 被双曲线2222:10,0()x y C a b a b -=>>截得的弦恰被点()2,1M 平分，则C 的离心率是．15.某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是．16.等边ABC ∆的边长为1，点P 在其外接圆劣弧AB 上，则PAB PBC S S ∆∆+的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 满足()212,n n a n n k k R +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，,3,22AB BC AB BC AD ⊥===，E 为CD 的中点，PB AE ⊥.（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若,PB PD PC =与平面ABCD 所成的角为4π，求二面角B PD C --的余弦值. 19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如图所示. 用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台. 该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润=日收入-日维护费用）20.椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 为E 的上顶点，12F PF ∆的内切圆面积为3π. （1）求E 的方程；（2）过1F 的直线1l 交E 于点,A C ，过2F 的直线2l 交E 于,B D ，且12l l ⊥，求四边形ABCD 面积的取值范围. 21.设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()x g x e ex =-. （1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =--+，其中0a >. （1）求函数()f x 的值域；（2）对于满足221b c bc ++=的任意实数,b c ，关于x 的不等式()()3f x b c ≥+恒有解，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABCA 6-10: DBBCC 11、12：DD二、填空题13.22 14.2 15. 2 16.12三、解答题17. 解：（1）（法一）由()212n n a n n k +=++，令1,2,3n =，得到12331021,,234k k ka a a +++===∵{}n a 是等差数列，则2132a a a =+，即202321324k k k+++=+解得：1k =-由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+ ∵10n +≠，∴21n a n =-（法二）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，设()()111n a a d n dn a d =+-=+- ∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d +=++-=++- ∴22112dn a n a d n n k ++-=++对于*n N ∀∈均成立则1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1k =-，21n a n =- （2）由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+-- ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭11111111111111112323525722121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭2222121n n nn n n +=+=++ 18.（1）证明：由ABCD 是直角梯形，3,22AB BC AD ===，可得2,,23DC BCD BD π=∠==从而BCD ∆是等边三角形，3BCD π∠=，BD 平分ADC ∠∵E 为CD 的中点，1DE AD ==，∴BD AE ⊥ 又∵,PB AE PB BD B ⊥⋂=，∴AE ⊥平面PBD ∵AE ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD （2）法一：作PO BD ⊥于O ,连OC ,∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ⋂平面ABCD BD = ∴PO ⊥与平面平面ABCD∴PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成的角，4PCO π∠=，又∵PB PD =,∴O 为BD 中点,,3OC BD OP OC ⊥== 以,,OB OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,3B C D P - ()()0,3,3,1,0,3PC PD =-=--，设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得33030y z x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令1z =得()3,1,1n =-，又平面PBD 的一个法向量为()0,1,0m =，设二面角B PD C --为θ，则15cos 551n m n mθ⋅===⨯⋅ 所求二面角B PD C --的余弦值是55. 解法二：作PO BD ⊥于点O ,连OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ⋂平面ABCD BD = ∴PO ⊥ 平面ABCD∴PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成的角4PCO π∠=,又∵PB PD =,∴O 为BD 中点，,3OC BD OP OC ⊥== 作OH PD ⊥于点H ,连CH ,则PD ⊥平面CHO ，则PD HC ⊥，则CHO ∠为所求二面角B PD C --的平面角由3OC =，得32OH =,∴152CH =,∴5cos 5CHO ∠=. 19.（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为30.240.5 4.50.3 3.95⨯+⨯+⨯=(万元) （2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为3010049006600⨯+⨯=(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为()2560000.26600.85001008090040000⨯⨯+⨯-⨯-⨯=0(元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为 3020044007600⨯+⨯=(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为 2560000.270000.376000.55002008040045500()⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=(元) 20.解：（1）设12F PF ∆内切圆的半径为r ，则23r ππ=，得33r =设椭圆E 的焦距122F F c =，则()12122F PF S c b bc ∆=⋅⋅=，又由题意知122PF PF a +=，所以()12121212F PF S PF PF F F r ∆=⋅++⋅=()()13322233a c a c ⋅+⋅=+，所以()33a c bc +=，结合2ce a==及222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，所以E 的方程为22143x y +=.（2）设直线,AC BD 的交点为M ，则由12MF MF ⊥知，点M 的轨迹是以线段12F F 为直径的圆，其方程为221x y +=.该圆在椭圆E 内，所以直线,AC BD 的交点M 在椭圆E 内，从而四边形ABCD 面积可表示为12S AC BD =⋅⋅. ①当直线AC 与坐标轴垂直时，12S AC BD =⋅⋅22122262b a b a =⋅⋅==.②当直线AC 与坐标轴不垂直时，设其方程为()10x ty t =-≠，设()()1122,,,A x y C x y ，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，其中()()()()222643491441t t t ∆=--⨯+⨯-=+，12122269,3434t y y y y t t -+==++，所以()()()222121221211434t AC t y y y y t +⎡⎤=++-=⎣⎦+.由直线BD 的方程为11x y t =-+，同理可得()2222112112143134t t BD t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 所以()()()()()222222221211217211234433443t t t S t t t t +++=⋅⋅=++++()()()2222721311411t t t +=⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦()()()222222227217211121111211t t t t t +==⎛⎫+++--++ ⎪++⎝⎭.令()21,0,11m m t =∈+，所以222211121211m m t t ⎛⎫-++=-++ ⎪++⎝⎭，令()()212,0,1g m m m m =-++∈，所以()4912,4g m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，从而288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述，四边形ABCD 面积的取值范围是288,649⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.解：法一：（1）当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-，令()ln 2p x x ax =-，()1122ax p x a x x-'=-= ①(],0a ∈-∞时，()0p x '>，∴()p x 在()0,+∞单调递增，不符合题意；②()0,a ∈+∞时，令()0p x '>，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()p x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；令()0p x '<，1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，∴()p x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；令1ln 2102p a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，∴10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又因为()120p a =-<，22111ln 0442p a a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且211124a a <<，所以10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2ln f x x x ax x =--有两个极值点. 即2y a =与()ln x m x x=的图像的交点有两个. 法二：（1) ）当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-，所以()2ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有两个. ∵()21ln x m x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减.()m x 有极大值1e又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<. 当1,2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln x m x x=的图像的交点有1个；当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图象的交点有2个；综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220x x e ax a e +-+->，令()ln 22x t x x e ax a e =+-+-，∴()12x t x e a x '=+- 设()12x x e a x ϕ=+-，()21x x e x ϕ'=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在()1,+∞单调递增，即()t x '在()1,+∞单调递增，∴()()112t x t e a ''>=+-，当12e a +≤且1a ≠时，()0t x '≥，所以()ln 22x t x x e ax a e =+-+-在()1,+∞单调递增；∴()()10t x t >=成立当12e a +>，因为()t x '在()1,+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<，()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln 2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）221:44C x y +=，∵cos ,sin x y ρθρθ==，故1C 的极坐标方程：()223sin 14ρθ+=.2C 的直角坐标方程：()2224x y -+=， ∵cos ,sin x y ρθρθ==，故2C 的极坐标方程:4cos ρθ=.（2）直线l 分别与曲线12,C C 联立，得到()223sin 14ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则2243sin 1OA α=+， 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216cos OB α=， ∴()22224cos 3sin 1OBOA αα=+()()2244sin 3sin 1αα=-+令2sin t α=，则()()22244311284OBt t t t OA =-+=-++所以13t =，即3sin 3α=±时，OB OA 有最大值433. 23.解：（1）∵0a >，∴2a -<∴()2,22,22,2a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪=--+-<<⎨⎪--≥⎩故()[]2,2f x a a ∈--+.（2）∵()221024b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，∴22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∵()21b c bc +=+，∴()2212b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴223333b c -≤+≤. 当且仅当33b c ==时，()max 233b c +=，∴()max 323b c +=⎡⎤⎣⎦ 关于x 的不等式()()3f x b c +恒有解()()max max 3f x b c ⇔≥+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 即223a +≥，故232a ≥-，又0a >，所以232a ≥-.。

福建省厦门市2018届高三第二次(5月)质量检测数学(理)试题Word版含答案

福建省厦门市2018届高三第二次（5月）质量检测数学（理）试题满分150分，考试时间90分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合A={}N x x x ∈<且4,B={}022>-x x x ，则B A ⋂= .A .{}2B . {}3C . {}3,2D . {}43，2.“互联网+”时代，全民阅读的内涵已经多元化，倡导读书成为一种生活方式，某校为了解高中学生的阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三学生200人，则应从高一学生抽取的人数为 .A . 10B . 20C .30D . 403.已知命题p :⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，sinx<x,则 . A .p 是真命题，:p ⌝⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，sinx ≥x B . p 是真命题，:p ⌝⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,00πx ，sinx ≥0x C . p 是假命题，:p ⌝⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，sinx ≥x D . p 是假命题，:p ⌝⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,00πx ，sinx ≥0x4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 .A .21-B .0C .21D .1 5.在ABC ∆中，BC BQ AB AP 31,31==,记===PQ b AC a AB 则,, .A .b a 3131+B .b a 3132+ C . b a 3232+ D . b a 3231- 6.从6名女生中选4人参加4⨯100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，他们的接力顺序就不能相邻，不同的排法种数为 .A .144B .192C .228D . 2647.将函数()()02cos >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx x f 的图像向右平移4π个单位长度，所得的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛0,43π，则ω的最小值是 .A .31 B . 1 C .35D . 28.《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为 .A . 2B . 224+C . 244+D . 246+9. 已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，若不等式1≥-y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是.A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，527 B . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，511 C . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，53 D . [)∞+，2 10.直线kx y l =：与曲线x x x y C 3423+-=：顺次相交于C B A ，，三点，若BC AB =，则=k .A . 5-B . 59-C . 21-D . 2111.已知点B A M ，，，)01(是椭圆1422=+y x 上的动点，且0=•MB MA ，则BA MA •的取值范围是. A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡132， B . []91， C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡932， D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡336， 12.已知平面四点D C B A ，，，满足，，322====AD CD BC AB 设BCD ABD ∆∆，的面积分别为S S 21，，则S S 2221+的取值范围是.A .(]141238，- B .(]381238，- C . (]1412， D . (]2812，二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分。

2018年福建省厦门市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年福建省厦门市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{1，2，3，4}，则Venn图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．（5分）已知sin（）＝﹣，0＜α＜π，则sin2α的值是（）A．B．C．D．3．（5分）若（3x+）n展开式是二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A．1215B．135C．18D．94．（5分）执行如图的程序框图，若输出S的值是55，则判断框内应输入（）A．n≥9？B．n≥10？C．n≥11？D．n≥12？5．（5分）等边△ABC的边长为1，D，E是边BC的两个三等分点，则等于（）A．B．C．D．6．（5分）从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A．B．C．D．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：S＝弦×矢2，弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦所围成，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．类比弧田面积公式得到球缺（如图2）的近似体积公式：V＝圆面积×矢×矢3．球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3），若该体育馆占地面积约为18000m2，建造容积约为340000m3，估计体育馆建筑高度（单位：m）所在区间为（）参考数据：323+18000×32＝608768，343+18000×34＝651304，363+18000×36＝694656，383+18000×38＝738872，403+18000×40＝784000A．（32，34）B．（34，36）C．（36，38）D．（38，40）8．（5分）设x，y满足约束条件，且z＝x+3y的最大值为8，则a的值是（）A．﹣16B．﹣6C．2D．29．（5分）函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）在区间[﹣]单调递减，在区间（）有零点，则φ的取值范围是（）A．[]B．[）C．（]D．[）10．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣a+e﹣x+a，若3a＝log3b＝c，则（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（a）＜f（c）＜f（b）D．f（c）＜f（b）＜f（a）11．（5分）抛物线E：y2＝4x的准线与x轴的交点为K，直线l：y＝k（x﹣1）与E交于A，B两点，若|AK|：|BK|＝3：1，则实数k的值是（）A．B．±1C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝x3+sin x，g（x）＝，若关于x的方程f（g （x））+m＝0有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值是（）A．2B．C．D．3﹣2ln2二、填空题:共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i3，则|z|等于．14．（5分）斜率为2的直线l被双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）截得的弦恰被点M （2，1）平分，则C的离心率是．15．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是．16．（5分）等边△ABC的边长为1，点P在其外接圆劣弧上，则S△P AB+S△PBC的最大值为．三、解答题：共70分。

厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学试题(文)及答案

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题;;数学（文）;; 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,2,A B x x n n Z =-==∈，则A B ⋂=（） A ．{}2 B ．{}0,2 C ．{}1,0,2- D ．∅2.复数z 满足()234i z i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知()33f x x x =+，0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则（） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f b f a << D ．()()()f b f a f c <<4.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14 B ．13C ．23D ．34 5.等差数列{}n a 的公差为1，125,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（） A ．50 B ．50- C ．45 D ．45-6.已知拋物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与曲线C 交于,A B 两点，6AB =，则AB 中点到y 轴的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．47.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1111,,C D BC A D 的中点，则下列命题正确的是（）A ．//MN APB ．1//MN BDC ．//MN 平面11BBD D D ．//MN 平面BDP 8.如图是为了计算11111234561920S =++++⨯⨯⨯⨯的值，则在判断框中应填入（）A ．19?n >B ．19?n ≥C ．19?n <D ．19?n ≤ 9.函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期为π，()12f π=，()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的一个可能值为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π10.设函数()()21,1,ln ,1,x a x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞ 11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为1256π，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A ．32B ．2C ．4D ．6 12.设函数()x f x x e -=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的切线，则m n +的最小值是（）A ．1e -B ．1C ．11e -D ．311e+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量a 与b 的夹角为90︒，1,2a b ==，则a b -=． 14.已知,x y 满足约束条件1,3,1,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为．15.若双曲线22220,1()0:x y C a ba b -=>>的渐近线与圆()2221x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为．16.已知数列{}n a 满足121,3a a ==，()1,3n n a a n n N n --=∈≥，{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，则2018a =．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()cos 2cos b A a c B π=--. （1）求B ；（2）若1,sin sin 2a b A C >=，ABC ∆的周长为3，求ABC ∆的面积. 18.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒,PAB ∆为正三角形.（1）证明:AB PD ⊥；（2）若PD =，四棱锥的体积为16，求PC 的长. 19.为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数x与每棵作物的产量y 之间的关系进行研究，收集了 11块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx =+作为y 与x 的回归方程类型，令21,i i i iu x y υ==，相关统计量的值如下表:由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示:（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到υ关于u 的线性回归方程u υβα=+中的0.03β=，求y 关于x 的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01) 附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121ni ii n ii u nu unuυυβ==-⋅=-∑∑，u αβ=-5.48≈.20.过椭圆2222:1()0x E bb y a a +>>=的右焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与E 交于,A B 两点，直线2l 与E 交于,C D 两点.当直线1l 的斜率为0时，AB CD ==（1）求椭圆E 的方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围.21.已知函数()2ln 1f x x ax x =++-，()()11,x g x x e a R -=-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()()2a f x ax g x ⎡⎤-≤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =--+，其中0a >. （1）求函数()f x 的值域；（2）对于满足221b c bc ++=的任意实数,b c ，关于x 的不等式()()3f x b c ≥+恒有解，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BDCBA 6-10: BCADA 11、12：DC 二、填空题14. 2 15.⎫+∞⎪⎪⎝⎭ 16.1005- 三、解答题17. 解：（1）因为()()cos 2cos b A a c B π=--，由正弦定理得()()sin cos sin 2sin cos B A A C B =-- 所以()sin 2sin cos A B C B += 所以1cos 2B =，且()0,B π∈所以3B π=.（2）因为23A C π+=，所以211sin sin sin sin 322A A A A A π⎫⎛⎫-=⋅+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2cos cos A A A ⋅=，)cos cos 0A A A -=，cos 0A =或tan A =解得：6A π=或2π因为a b >，所以2A π=所以，6C π=所以,2a c b ==因为3a b c ++=2,1,a c b ===所以1sin 2ABC S bc A ∆==.18.（1）证明：取AB 中点为O ,连接,,PO DO BD ∵底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒, ∴ABD ∆为正三角形，DA DB = ∴DO AB ⊥又∵PAB ∆为正三角形， ∴PO AB ⊥又∵,DO PO O PO ⋂=⊂平面POD ,DO ⊂平面POD ， ∴AB ⊥平面POD ， ∵PD ⊂平面POD ， ∴AB PD ⊥.（2）法一：设2AB x =，则PD ，在正三角形PAB ∆中，PO =，同理DO =， ∴222PO OD PD +=， ∴PO OD ⊥，又∵,PO AB DO AB O ⊥⋂=，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ,∴21163P ABCD V -=⨯=，∴2x =，∵//,AB CD AB PD ⊥∴CD PD ⊥∴PC==.法二：设2ABx =，则PD ，在正三角形PAB∆中，PO=，同理DO =， ∴222PO OD PD +=， ∴PO OD ⊥，又∵,PO AB DO AB O ⊥⋂=，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD,∴21163P ABCD V -=⨯=，∴2x =，连接OC ,∵在OBC ∆中，2,4,120OB BC OBC ==∠=︒，∴由余弦定理得OC ， ∴在RT POC∆中，PC =.19.解：（1)可疑数据为第10组（2）剔除数据()10,0.25后，在剩余的10组数据中11101600100501010ii uu u =--===∑，1110144441010i i v v v =--===∑所以0.034500.03 2.5v u α=-⋅=-⨯= 所以v 关于u 的线性回归方程为0.03 2.5v u =+ 则y 关于x 的回归方程为212.50.03y x=+ （3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量w 的预报值 22.50.03xw x =+12.50.03x x=+1.83≤=≈ 当且仅当2.50.03x x=时，等号成立，此时9.13x =≈，即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83. 20.解：（1）由已知得：2AB a ==将x c =代入22221x y a b +=得2b y a =±，所以222b CD a ===24b = 所以椭圆22:184x y E +=（2）①当直线12,l l —条的斜率为0，另一条的斜率不存在时，11822ACBD S AB CD =⋅=⨯=. ②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+，则直线CD 的方程为12x y m=-+.设 ()()1122,,,A x y B x y 由222280x my x y =+⎧⎨+-=⎩，得()222440m y my ++-= ()()22216162321m m m ∆=++=+，12y y -=)212212m AB y y m +=-=+（或：12122244,22m y y y y m m --+==++，)2212m AB m +==+）用1m -取代m得)22221111212m m CD m m ⎫+⎪+⎝⎭==++∴))2222111122221ACBDm m S AB CD m m ++=⋅=⨯⨯++ ()()42422424221252168252252mm m m m m m m m ++++-=⨯=⨯++++2288225m m=-++又22224m m+≥，当且仅当1m =±取等号所以[)22224,m m +∈+∞ 所以228648,82925ACBD S m m⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭++ 综上：四边形ACBD 面积的取值范围是64,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解：（1）依题意，()()2121210ax x f x ax x x x++'=++=>①当0a ≥时，()1210f x ax x'=++>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a <时，180a ∆=->，12x x ==120x x >>，令()()()1220a x x x x f x x--'=>得21x x x <<，令()0f x '<得20x x <<或1x x >，此时()f x 在()21,x x 上单调递增；在()()210,,,x x +∞上单调递减综上可得，①0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a <时，()f x在⎝⎭上单调递增；在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减（2）法一：原不等式可化为()()20a f x ax g x ⎡⎤--≤⎣⎦，即()()1ln 110x a x x x e -+---≤记()()()1ln 11,1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可. ①当0a ≤时，由1x ≥可知ln 10x x +-≥，()110x x e --≥，所以()0h x ≤，命题成立.②当102a <≤时，显然()111x h x a xe x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h a ''≤=-≤所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，命题成立. ③当12a >时，显然()111x h x a xe x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减，因为()1210h a '=->， ()2212221112222420222a h a a ae a a a -'=+-≤+-=-< 所以在()1,2a 内，存在唯一的()01,2x a ，使得()00h x '=，且当01x x <<时，()0h x '> 即当01x x <<时，()()10h x h >=，不符合题目要求，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.法二：原不等式可化为()()20a f x ax g x ⎡⎤--≤⎣⎦，即()()1ln 110x a x x x e -+---≤记()()()1ln 11,1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可. 可得()21111111x x x e h x a xe a x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()21,11x x e m x a x x -=-≥+，则()()()2122201x x x x e m x x -++'=-<+ 所以()m x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()112m x m a ≤=-. 12a ≤时，()10m ≤，从而()0m x ≤，所以()()110h x m x x ⎛⎫'=+≤ ⎪⎝⎭，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10h x h ≤=，原不等式成立 ②当12a >时，()10m >， ()()22121244m 20212121a a a a e a a a a a a a --=-<-=<+++，所以存在唯一()01,2x a ∈，使得()00m x =，且当01x x <<时，()0m x >，此时()()110h x m x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，()h x 在()01,x 上单调递增，从而有()()10h x h >=，不符合题目要求，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）221:44C x y +=，∵cos ,sin x y ρθρθ==，故1C 的极坐标方程：()223sin 14ρθ+=.2C 的直角坐标方程：()2224x y -+=， ∵cos ,sin x y ρθρθ==，故2C 的极坐标方程:4cos ρθ=.（2）直线l 分别与曲线12,C C 联立，得到()223sin 14ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则2243sin 1OA α=+， 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216cos OB α=， ∴()22224cos 3sin 1OBOA αα=+()()2244sin 3sin 1αα=-+令2sin t α=，则()()22244311284OBt t t t OA =-+=-++ 所以13t =，即sin α=时，OB OA23.解：（1）∵0a >，∴2a -<∴()2,22,22,2a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪=--+-<<⎨⎪--≥⎩故()[]2,2f x a a ∈--+.（2）∵()221024b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，∴22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∵()21b c bc +=+，∴()2212b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴b c ≤+≤当且仅当b c ==时，()max b c +=，∴()max 3b c +=⎡⎤⎣⎦关于x 的不等式()()3f x b c +恒有解()()max max 3f x b c ⇔≥+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即2a≥.a≥，又0a+≥2a>，所以2。

福建省厦门市高三数学下学期第二次质量检查(5月)试题文(扫描(2021年整理)

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福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：解二次不等式得集合A，由集合的运算得阴影部分.详解：由题意，，∴阴影部分为.故选C.2. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由诱导公式求得，再由同角关系式求得，最后由二倍角公式得. 详解：，∵，∴，∴，故选A.点睛：本题考查的恒等变换，三角函数的诱导公式、同角间的三角函数关系、两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式是解这类题常要用到的公式，需要熟练掌握．另外需要观察“已知角”和“未知角”之间的关系，寻找它们之间的联系，从而确定选用什么公式进行变形、化简．3. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A. 1215B. 135C. 18D. 9【答案】B【解析】分析：由二项式系数和求出指数，再写出展开式通项后可求得常数项．详解：由题意，，∴通项为，令，，∴常数项为，故选B.．点睛：在展开式中二项式系数为，所有项的系数和为．要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数有关，而所有项系数和还与二项式中的系数有关．4. 执行如图的程序框图，若输出的值为55，则判断框内应填入（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的值可得结论.详解：程序运行中变量值依次为：；；；；；；；；；，此时应结束循环，条件应为.故选C.点睛：本题考查程序框图中的循环结构，解题时可模拟程序运行，由其中变量值的变化结论.，本题也可由程序得出其数学原理，然后研究得出.本题程序实质是求数列的和：，当为偶数时，，当为奇数时，，计算后可得＝10时，，程序运行后＝11，从而得出判断条件.5. 等边的边长为1，是边的两个三等分点，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先为基底，把用基底表示后再进行数量积的运算.详解：由已知，，故选A.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取基底，把其它向量都用基底表示，然后进行计算即可，因此也考查了平面向量基本定理，属于基础题.6. 从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.详解：.点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为.7. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：圆面积矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（）参考数据: ，，，，.A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据所给近似体积公式分别计算时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为，则，若，则；若，则，若，则，，∴，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题.8. 设满足约束条件且的最大值为8，则的值是（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：作出可行域，作出直线，平移直线可得最优解，由最优解可解值.详解：作出可行域，如图内部（含边界），作出直线，易知向上平移直线时，增大，所以当过点时，取最大值，由得，∴，解得.故选B.点睛：本题考查简单的线性规划问题，其解法如下：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线得最优解.9. 函数在区间单调递减，在区间上有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式详解：当，，又∵，则，即，，由得，，∴，解得，综上.故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：，增区间：，零点：，对称轴：，对称中心：，.10. 已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用导数研究函数的单调性，由指数函数与对数函数的性质得的大小，然后可得结论. 详解：，当时，，递减，当时，，递增，∴是的最小值，又，∴且，∴，∴，故选C.点睛：比较函数值的大小，通常是利用函数单调性，象本题这种函数的单调性一般通过导数来研究，11. 抛物线的准线与轴的交点为，直线与交于两点，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由抛物线的焦点弦性质知，这个结论必须先证明（可用几何方法也可用代数方法），然后把用直线的倾斜角表示后求出，从而得斜率，还要注意对称性，应该有两解.详解：直线过抛物线的焦点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义知，又，∴，而，∴∽，∴，即，设直线的倾斜角为，若，则，，，由对称性也有. 故选D.点睛：关于的证明方法还可用代数方程证明：设方程为，代入得，设，则，，∴直线关于轴对称，即，由面积法或角平分线定理得.这实质是任意的抛物线的过焦点的弦的性质之一.12. 已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】分析：由导数得是增函数，则有且只有一解，因此方程有两解，则有两解，再由与性质可得结论.详解：，当时，，当时，，∴在上恒成立，∴是上的增函数.令，则有且只有一解，则要使方程有两解，只要有两解即可.由于在和上都是增函数，因此当时，有两解，设解为且，则，，，（如图），，，，令，，易知时，，时，，即时取得极小值也是最小值.故选D.点睛：本题考查导数在研究函数中的应用和函数的概念与性质，首先利用导数判断出函数是单调函数，从而方程有且只有一解，因此问题转化为方程有两个解，通过的图象得出两解的范围与表达式及的范围，然后可以把表表示出来，再由导数求出此关于的函数的最小值.本题还考查了逻辑思维能力、转化与化归思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知复数满足，则等于__________．【答案】【解析】分析：可先求出，再根据复数模的定义求出模．详解：由题意，则．故答案为．点睛：复数，由，本题也可根据模的性质求解：，．14. 斜率为2的直线被双曲线截得的弦恰被点平分，则的离心率是__________．【答案】【解析】分析：设出弦两端点的坐标，代入双曲线方程后作差可得的关系式，从而求得离心率．详解：设直线的与双曲线的两个交点为，则，两式相减得，即，又由已知，，∴，即，，所以．故答案为．点睛：设斜率为的直线与双曲线交于两点，弦的中点为，则，即．证明方法可用“点差法”．15. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是__________．【答案】2【解析】分析：由三视图还原出几何体，分析结构图即可．详解：如图是原几何体，其在正方体中的位置，正方体棱长为2，则该四面体高的最大值为2.故答案为2.点睛：本题考查由三视图还原几何体问题，解题时必须掌握基本几何体的三视图，再由基本几何体得出一些组合体的三视图．16. 等边的边长为1，点在其外接圆劣弧上，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：引入一个参数，设，利用正弦定理把用表示，这样可把也用表示出来，然后由三角函数的性质可求得最大值．详解：设，则，外接圆半径为，在中，，同理，，，则.当时，的最大值为.点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是建立三角函数的模型，题中点P在劣弧AB上移动，因此选为变量，把面积和表示的函数，结合三角函数知识求得最大值．解决此类问题必须掌握两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、正弦函数的性质、三角形的面积公式等知识，本题同时考查了学生的运算求解能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出，利用成等差数列求出参数，从而可得数列的通项公式；（2）把变形为，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前项和．详解：（1）（法一）由，令，得到∵是等差数列，则，即解得：由于∵，∴（法二）∵是等差数列，公差为，设∴∴对于均成立则，解得，（2）由18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为的中点，.（1）证明:平面平面；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）在直角梯形中，由已知得是等边三角形，这样结合可得，再有，因此有平面，从而可证面面垂直；（2）只要作于点，则可得平面，从而得是中点，，计算得，以为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值．详解：（1）证明：由是直角梯形，，可得从而是等边三角形，，平分∵为的中点，，∴又∵，∴平面∵平面，∴平面平面（2）法一：作于,连,∵平面平面,平面平面∴与平面平面∴为与平面所成的角，，又∵,∴为中点,以为轴建立空间直角坐标系，，设平面的一个法向量，由得，令得，又平面的一个法向量为，设二面角为，则所求二面角的余弦值是.解法二：作于点,连，∵平面平面，平面平面∴平面∴为与平面所成的角,又∵,∴为中点，作于点,连,则平面，则，则为所求二面角的平面角由，得,∴,∴.点睛：在立体几何中求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）常常是建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，由空间向量的夹角与空间角的关系，采用向量法求得空间角．19. 某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）【答案】（1）3.95；（2）见解析【解析】分析：（1）由频率分布直方图求出补贴分别是3万元，4万元，4.5万元的概率，即得概率分布列，然后可计算出平均值；（2）由频数分布表计算出每天需要充电车辆数的分布列，分别计算出两种方案中新设备可主观能动性车辆数，从而得实际充电车辆数的分布列，由分布列可计算出均值，从而计算出日利润．详解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)点睛：本题考查统计与概率的相关知识，如频率分布直方图，随机变量的分布列，期望，分布表等，考查数据处理能力，运用数据解决实际问题的能力．20. 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为的上顶点，的内切圆面积为.（1）求的方程；（2）过的直线交于点，过的直线交于，且，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由离心率得，由圆面积得圆半径，而的面积，一方面等于，另一方面等于，两者相等得，再结合可解得，得椭圆方程；（2）利用可求得两直线交点的轨迹是单位圆，单位圆在椭圆内部，即点M在椭圆内部，因此有，下面分两类求面积，一类是中有一个斜率不存在，求得面积为6，第二类是中斜率都存在，设为，，由直线与椭圆方程联立消元后可得，，同理方程为，得，这样就表示为的函数，变形注意先把作变整体变形，然后用换元变为的函数，最后可求得的范围．详解：（1）设内切圆的半径为，则，得设椭圆的焦距，则，又由题意知，所以，所以，结合及，解得，所以的方程为.（2）设直线的交点为，则由知，点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为.该圆在椭圆内，所以直线的交点在椭圆内，从而四边形面积可表示为.①当直线与坐标轴垂直时，.②当直线与坐标轴不垂直时，设其方程为，设，联立，得，其中，，所以.由直线的方程为，同理可得.所以.令，所以，令，所以，从而.综上所述，四边形面积的取值范围是.点睛：本题以椭圆与直线的位置关系为背景，以椭圆的轨迹方程为主要考查内容，考查观察分析、推理论证、数学运算等数学能力，考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想．对直线与椭圆相交问题，本题中的解法常称为“设而不求”．21. 设函数，.（1）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；（2）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）求得导函数，题意说明有两个零点，即有两个解，或直线与函数的有两个交点，可用导数研究的性质（单调性，极值等），再结合图象可得的范围；（2）首先题意说明，从而有且，其次时，恒成立，因此的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出的范围．详解：（1) ）当时，，，所以有两个极值点就是方程有两个解，即与的图像的交点有两个.∵，当时，，单调递增；当时，，单调递减.有极大值又因为时，；当时，.当时与的图像的交点有0个；当或时与的图像的交点有1个；当时与的图象的交点有2个；综上.（2）函数在点处的切线与轴平行，所以且，因为，所以且；在时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当时，恒成立，即，令，∴设，，因为，所以，∴，∴在单调递增，即在单调递增，∴，当且时，，所以在单调递增；∴成立当，因为在单调递增，所以，，所以存在有；当时，，单调递减，所以有，不恒成立；所以实数的取值范围为.点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想．解题时转化的方法有多种多样，第（1）小题人等价转化还可这样转化求解：当时，，，令，①时，，∴在单调递增，不符合题意；②时，令，，∴在单调递增；令，，∴在单调递减；令，∴又因为，，且，所以时，有两个极值点.即与的图像的交点有两个.22. 在直角坐标系中，曲线，曲线(为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将曲线，曲线消去参数可得普通方程，然后利用即可得的极坐标方程；（2）将分别代入的极坐标方程可得，，，换元后，结合三角函数的有界性，利用二次函数的性质求解即可.详解：（1），∵，故的极坐标方程：.的直角坐标方程：，∵，故的极坐标方程:.（2）直线分别与曲线联立，得到，则，，则，∴令，则所以，即时，有最大值.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 已知函数，其中.（1）求函数的值域；（2）对于满足的任意实数，关于的不等式恒有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）将函数，写成分段函数形式，判断函数的单调性，利用单调性可得函数的值域；（2）先利用作差法证明，再由，利用基本不等式可得，结合（1）可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴∴故.（2）∵，∴，∵，∴，∴.当且仅当时，，∴关于的不等式恒有解即，故，又，所以.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将“任意实数，关于的不等式恒有解”转化为“”是解题的关键.。