甘肃省张掖市高台县第一中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

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高台一中2019-2020学年上学期期中试卷
高一数学
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合{}
2
|230A x Z x x =∈--<,{}1,0,1,2B =-,则A B =I
A. {}0,1
B. {}0,1,2
C. {}1,0,1-
D.
{}1,0-
【答案】B 【解析】
由题得{}
2
|230A x Z x x =∈--<={}
|1x 3A x Z <<=∈-={x|0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选B.
2.满足{}1{1,A ⊆⊆2,3}的集合A 的个数是( ) A. 2 B. 3
C. 4
D. 8
【答案】C 【解析】 【分析】
由条件{}1A ⊆⊆{1,2,3},根据集合的子集的概念与运算,即可求解.
【详解】由题意,可得满足{}1{1,A ⊆⊆2,3}的集合A 为:{}1,{}1,2,{}1,3,{1,2,3},共4个. 故选:C .
【点睛】本题主要考查了集合的定义,集合与集合的包含关系的应用,其中熟记集合的子集的概念,准确利用列举法求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
3.函数
y =
的定义域为( )
A. (
3
4,+∞) B. (–∞,
34
) C. (3
4
,1] D. (
3
4
,1) 【答案】D 【解析】 【分析】
根据解析式得到不等关系()1
2430log 430x x ->⎧⎪
⎨->⎪⎩,解出不等式即可
【详解】由题, ()12430log 430x x ->⎧⎪⎨->⎪⎩,即341
x x ⎧>⎪⎨
⎪<⎩,3,14x ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭ 故选:D
【点睛】本题考查函数的定义域,考查对数的计算,考查解不等式,考查运算能力
4.若()20
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,,,则()()2f f -=( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数解析式,由内到外逐步代入,即可求出函数值.
【详解】因为()20
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,,,所以(2)(2)2-=--=f ,
所以()()2
2(2)24-===f f f .
故选:B
【点睛】本题主要考查由分段函数求函数值的问题,根据函数解析式,直接代入计算即可,属于常考题型. 5.函数()ln(1)
x f x x
+=
的定义域为( ) A. (–1,+∞)
B. (–1,0)
C. (0,+∞)
D. (–1,0)∪(0,+∞)
【答案】D 【解析】 【分析】
由解析式可得不等关系10
0x x +>⎧⎨≠⎩
,解出不等式即可
【详解】由题,可知100x x +>⎧⎨≠⎩,1
x x >-⎧∴⎨≠⎩,()()1,00,x ∴∈-⋃+∞
故选:D
【点睛】本题考查函数的定义域,考查对数的定义,考查解不等式 6.函数y =f (x ),x ∈R 的图象与直线x =2018的交点个数是( ) A. 0 B. 0或1 C. 1 D. 1或2018
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的定义,定义域内对任意的自变量x 在对应法则下只有唯一确定的y 与之对应,由此可得出答案
【详解】由函数定义可得,定义域内一个自变量x 只有唯一确定的y 与之对应,
x R ∈Q ,∴2018x =与函数()y f x =只有一个交点,
故选:C
【点睛】本题考查函数的定义,属于基础题
7.已知3
log 4a =,1
3
14b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,131log 5c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A. c a b >> B. b a c >> C. c b a >>
D.
a b c >>
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用指数函数与对数函数的单调性即可比较大小.
【详解】1
03
11144b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,1
3331log log 5log 415c a ==>=> ∴c a b >> 故选:A
【点睛】本题考查实数的大小比较,考查单调性的应用,涉及指数与对数函数的单调性,属于基础题.
8.若函数()()01x x
f x a a a a -=->≠且在R 上为减函数,则函数2()lo
g (23)
a f x x x =+-的单调递增区间( ) A. (),1-∞-
B. (1,)-+∞
C. (),3-∞-
D.
(3,)-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得01a <<,令2230t x x =+->,求得()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞,函数()log a f x t =是减函数,本题即求函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上的减区间,再利用二次函数的性质可得结果. 【详解】由函数()()01x
x
f x a a
a a -=->≠且在R 上为减函数,可得01a <<,
令2230t x x =+->,求得()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞, 且函数()log a f x t =是减函数,
所以本题即求函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上
减区间,
利用二次函数的性质可得函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上的减区间是(,3)-∞-, 故选C.
【点睛】该题考查的是有关对数型函数的单调区间,在解题的过程中,注意首先根据题意确定出参数的取值范围,之后根据复合函数的单调性法则以及结合函数的定义域求得结果. 9.若幂函数()f x 的图像过点()4,2,则()2
f a
=( )
A. a
B. –a
C. a ±
D. a
【答案】D 【解析】 【分析】
利用待定系数法可求得函数解析式,代入2x a =求得函数值. 【详解】设()f x x α
=,则42α=,解得:12
α=
()()
1
2
22
f a
a a ∴===
本题正确结果:D
【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、函数值的求解问题,属于基础题. 10.若f (x )的图象向左平移一个单位后与y=e x 的图象关于y 轴对称,则f (x )解析式是 A. e x+1
B. e
x –1
C. e
–x+1
D. e
–x –1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的平移满足左加右减的原则得到平移之后的解析式.
【详解】与y=e x 的图象关于y 轴对称的函数为y=e –x ,然后将y=e –x 向右平移一个单位得到y=e –(x –1)=e –x+1,即f (x )=e –x+1. 故选C .
【点睛】这个题目考查了函数的平移变换,函数平移满足左加右减,上加下减的原则,注意这里的加减只是针对x 来讲的,x 的系数都要提出来之后再进行加减. 11.已知函数f (x )=ln (–x 2
–2x +3),则f (x )的增区间为 A. (–∞,–1) B. (–3,–1) C. [–1,+∞) D. [–1,1)
【答案】B 【解析】
【详解】由2230x x --+>,得31x -<<,
当31x -<<-时,函数2
23y x x =-+单调递增, 函数2
()ln(23)f x x x =--+单调递增; 当11x -<<时,函数2
23y x x =-+单调递减, 函数2
()ln(23)f x x x =--+单调递减, 选B.
点睛:解决对数函数综合问题

注意点(1)要分清函数的底数a ∈(0,1),还是a ∈(1,+∞);
(2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行;(3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 12.当1x ≤时,函数1
422x
x y +=-+的值域为( )
A. [1,)+∞
B. [2,)+∞
C. [1,2)
D. [1,2]
【答案】D 【解析】
()
()
2
2
14222222211x x x
x x y +=-+=-⋅+=-+,设2,1,02x t x t =≤∴<≤Q ,则函数
等价为()2
11y t =-+,02,12t y <≤∴≤≤Q ,即函数的值域为[]1,2,故选D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知log 23=t ,则log 4854=_________(用t 表示). 【答案】
134
t
t ++ 【解析】 【分析】
利用换底公式换底数为2,得到248213log 3
log 54log 34
+=
+,将2log 3t =代入即可
【详解】由题,可得()()3
2222248422222log 23log 54log 23log 313log 3
log 54log 48log 34log 2log 34
log 32⨯++====++⨯,
2log 3t =Q
4813log 544t
t +∴=
+ 故答案为:134
t
t ++
【点睛】本题考查换底公式的应用,考查对数的计算,考查运算能力
14.已知指数函数f (x )的图象过点(–2,4),则不等式f (x )>1的解集为_________. 【答案】(–∞,0) 【解析】 【分析】
设指数函数()(0x
f x a a =>且1)a ≠,将点()2,4-代入可得()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,再由不等式求
解即可
【详解】设函数为()(0x
f x a a =>且1)a ≠,将()2,4-代入可得24a -=,12
a ∴=
()12x
f x ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
()1f x >Q ,即0
11122x
⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 由于()f x 在R 上单调递减,0x ∴<,即解集为()
,0-? 故答案
:()
,0-?
【点睛】本题考查指数函数的定义,考查指数的计算,考查解不等式
15.若(m +1)x 2-(m -1)x +3(m -1)<0对任何实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是__________. 【答案】13(,)11
-∞- 【解析】
① 当m =-1时,不等式的解集为x<3,不合题意; ② 当m ≠-1时,
解得m<-
.
所以实数m 的取值范围是13,11⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
. 点睛:二次函数在R 上恒大与0或恒小于0的问题只需考虑二次的判别式即可。

当判别式大于0时,二次函数图象与x 轴有两个交点; 当判别式等于0时,二次函数图象与x 轴只有一个交点; 当判别式小于0时,二次函数图象与x 轴无交点. 16.已知f (
1
2
x –1)=2x +3,且f (m )=17,则m 等于____________. 【答案】
52
【解析】 【分析】
先令2317x +=,解出x ,则m 为
1
12
x -的值 【详解】由题,令1123172f x x ⎛⎫
-=+= ⎪⎝⎭
,∴7x =,则15122x -=,即52m =
故答案为:
5
2
【点睛】本题考查已知函数值求自变量,属于基础题
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知对数函数f (x )=(m 2–m –1)log m +1x . (1)求m 的值; (2)求f (27). 【答案】(1)m =2(2)3 【解析】 【分析】
(1)根据对数函数定义可得到211
1011m m m m ⎧--=⎪
+>⎨⎪+≠⎩
,求解即可;
(2)由(1)将27x =代入求解即可
【详解】(1)Q ()()
2
11log m f x m m x +=--是对数函数,
∴2111011m m m m ⎧--=⎪
+>⎨⎪+≠⎩
解得2m =
(2)由(1)可得()3log f x x =,
()33327log 27log 33f ∴===
【点睛】本题考查对数函数的定义,考查对数计算,属于基础题
18.(1
)计算:31log 2
338166
1()3(log 4)(log 27)2log log 28--⨯⨯+;
(2
)计算:22log 33
21
272log 2lg 8
-⨯+.
【答案】(1)3-(2)19 【解析】 【分析】
(1)由指数的运算性质,对数换底公式,对数的运算性质,即可求解; (2)由对数换底公式,对数的运算性质,指数的运算性质,即可求解; 【详解】(1)原式133661lg 4lg 27
2log 3log 22lg 3lg8
⎛⎫
⨯- ⎪⎝⎭
⎛⎫
=-⨯
⨯-- ⎪⎝⎭
()662lg 23lg 3
22log 3log 2lg 33lg 2
=-⨯
⨯-+ 6222log 6=-⨯-
241=-- 3=-
(2
)原式23323
23
3log 2⨯-=-⨯+
233(3)lg(33=-⨯-++
99lg(64)=+++
181=+
19=
【点睛】本题考查指数的运算性质,以及对数的运算性质,对数换底公式的化简、求值问题,解答时需熟记指数、对数的运算性质与公式,准确运算是解答关键,着重考查运算能力
19.(1)已知f +1)=x ,求f (x ),f (x +1),f (x 2
); (2)已知2g (x )+g (
1x
)=10x
,求g (x ). 【答案】(1)f (x )=x 2
–1(x ≥1),f (x +1)=x 2
+2x (x ≥0),f (x 2
)=x 4
–1(x ≤–1或x ≥1)
(2)g (x )=1
21101033
x
x ⨯-⨯
【解析】 【分析】
(1)设()11t t =≥,则()2
1x t =-,代回即可求得()f x ,再分别将1x +和2x 代入即
可;
(2)用1x 替换x ,得到()1
1210x g g x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
,与题干中式子联立求解即可
【详解】(1)设()11t t ≥,()11t t =-≥,即()()2
11x t t =-≥
()()()()2
212111f t t t t t ∴=-+-=-≥,
()()211f x x x ∴=-≥,
()()()2
211120f x x x x x ∴+=+-=+≥,
()241(1f x x x ∴=-≤-或1)x ≥
(2)由题,用1x 替换x 可得()1
1210x g g x x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
,
两式联立,消去1g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得()1
21101033
x
x g x =⨯-⨯
【点睛】本题考查换元法求解析式,换元时要注意新元的取值范围; 考查方程组法求解析式,已知()f x 与1f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
之间的关系式,再根据已知条件再构造出另一个组成方程组,通过解方程组求出()f x
20.函数f (x )是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的x ,y ∈(0,+∞),都有f (x +y )=f (x )+f (y )–1,且f (4)=5. (1)求f (2)的值;
(2)解不等式f (m –2)≥3.
【答案】(1)f (2)=3(2){}|24m m <≤
【解析】
【分析】
(1)令2x y ==,代入题中关系式求解即可;
(2)()23f m -≥,由(1)可得()()22f m f -≥,根据单调性和定义域得到不等关系2220m m -≤⎧⎨->⎩
,求解即可 【详解】(1)由题,令2x y ==,
()()()42215f f f ∴=+-=,
()23f ∴=
(2)()23f m -≥Q ,
由(1)∴()()22f m f -≥
()f x Q 在()0,+?是减函数,
∴2220m m -≤⎧⎨->⎩
,解得24m <≤ ∴不等式的解集为{}|24m m <≤
【点睛】本题考查赋值法求函数值,考查利用函数单调性解不等式,考查运算能力
21.2(=2(1)22x x f x m --+函数)在[]0,2x ∈只有一个零点,求m 取值范围. 【答案】1142⎛⎤ ⎥⎝⎦
,. 【解析】
试题分析:复合函数的零点问题可用换元法解决,将问题转化为熟悉的函数,再用零点存在性定理构造关于参数的不等式解决.
试题解析:令因为所以,即
由在(0,2)上只有一个零点,可以推出在(1,4)上只有一个零点,
当时,故在[1,4]上有零点1,2.与题意矛盾! 当时,故在[1,4]上只有零点4.满足题意. 综上,当
考点:1、零点存在性定理;2、复合函数;3、二次函数.
【易错点晴】本题主要考查的是零点存在性定理的应用,零点存在性定理要求在上连续,并且那么在区间内有零点,即存在使得而本题要求在闭区间只有一个零点,应用零点存在性定理只能保证在开区间上只有一个零点,所以要另外讨论端点取值是否满足要求.
22.已知一次函数y =f (x )满足f (x +1)=x +3a ,且f (a )=3.
(1)求函数f (x )的解析式;
(2)设()()
1f x g x x =+,若x ≠–1,求g (x –2)+g (–x );
(3)在(2)的条件下,用函数单调性的定义证明函数g (x )在(–1,+∞)上是减函数.
【答案】(1)f (x )=x +2(2)2(3)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)设()f x mx n =+()0m ≠,先将1x +代入,可得()3mx m n x a ++=+,进而解得()31f x x a =+-,再将a 代入,即可求得解析式;
(2)由(1)可得()21
x g x x +=+,分别将2x -和x -代入,整理即可; (3)设211x x >>-,证明()()210g x g x -<即可
【详解】(1)由题,设()f x mx n =+()0m ≠
()()()113f x m x n mx m n x a ∴+=++=++=+,
∴1
3m m n a =⎧⎨+=⎩,即131m n a =⎧⎨=-⎩,()31f x x a ∴=+- 又()313f a a a =+-=Q ,
1a \=,
()2f x x ∴=+
(2)由(1)知()2f x x =+,()21
x g x x +∴=+ ()()()()
22222222211111x x x x x g x g x x x x x x -+-+--∴-+-=+=+==-+-+--- (3)证明:由(2)可得,()21111x g x x x +=
=+++ 在()1,-+∞上任取211x x >>-
则()()()()
1221212112111111111111x x g x g x x x x x x x ⎛
⎫⎛⎫--=+-+=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ Q 211x x >>-
110x ∴+>,210x +>,120x x -<,
()()210g x g x ∴-<,即()()21g x g x <
()g x ∴在()1,-+∞上是减函数.
【点睛】本题考查待定系数法求解析式,考查代入法求解析式,考查函数单调性的证明。

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