20-21版：2.2.2 椭圆的几何性质(二)（创新设计）

2.2.2椭圆的几何性质(二)

学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．

[知识链接]

已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？

答案直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断．

Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切；

Δ<0⇔直线和椭圆相离．

[预习导引]

1．点P(x0，y0)与椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的位置关系：

点P在椭圆上⇔x20

a2＋y20

b2＝1；

点P在椭圆内部⇔x20

a2＋y20

b2<1；

点P在椭圆外部⇔x20

a2＋y20

b2>1. 2．直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立

⎩⎪

⎨

⎪⎧y＝kx＋m，

x2

a2＋

y2

b2＝1.

消去y得到一个关于x的一元二次方程

3.弦长公式

设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2

a2＋y2

b2＝1

(a>b>0)或y2

a2＋x2

b2＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，

∴|AB|＝(x1－x2)2＋(kx1－kx2)2

＝1＋k 2(x 1－x 2)2

＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝(1k y 1－1

k

y 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1

k 2(y 1－y 2)2 ＝

1＋1

k

2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程得到．

题型一 直线与椭圆的位置关系的判断

例1 在椭圆x 24＋y 2

7＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短

距离．

解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝3

2x ＋m ，

代入x 24＋y 2

7

＝1，

并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ⇒m 2＝16⇒m ＝±4，

故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝3

2

x －4，

显然y ＝32x －4，即3x －2y －8＝0距l 最近，d ＝|－16＋8|32＋(－2)2＝8

13，

切点为P ⎝⎛⎭⎫32

，－74. 规律方法 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．

跟踪演练1 已知椭圆x 225＋y 2

9＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l

的距离最小？最小距离是多少？

解 如图，由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交．设直线m 平行于

直线l ，则直线m 的方程可以写成4x －5y ＋k ＝0.①

由方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

4x －5y ＋k ＝0，x 225＋y 29＝1，

消去y ，得25x 2＋8kx ＋k 2－225＝0.② 令方程②的根的判别式Δ＝0， 得64k 2－4×25(k 2－225)＝0.③ 解方程③得k 1＝25，或k 2＝－25.

由图可知，当k ＝25时，直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为4x －5y ＋25＝0.

直线m 与直线l 间的距离d ＝|40－25|

42＋(－5)2＝154141.

所以，最小距离是15

4141.

题型二 直线与椭圆的相交弦问题

例2 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为

2

2

，求椭圆的方程． 解 方法一 由⎩

⎪⎨⎪⎧

ax 2＋by 2＝1，

x ＋y ＝1，

得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得

a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋

b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而

y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2

＝k OC ＝2

2，

代入上式可得b ＝2a .

再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，