2016年高考理科数学模拟试题(一)

2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设z 是纯虚数，若
2
1+-z i
是实数，则=z （ ） A ．i 2- B ．i - C ．i D ．i 2
2.定义{}
B x A x x B A ∉∈=-且.若{
}5,4,3,21，=M ，{}6,3,2=N ，则=-M N （ ） A ．M B ．N C ．{
}5,4,1 D ．{}6
3.已知向量)4,3(=→
a ，)1,2(-=→
b ，如果向量→
→
+b x a 与→
b 垂直，则x 的值为（ ） A ．
52 B ．52- C ．54 D ．5
4
- 4.如果2cos sin =+x x ，那么=+x x cot tan （ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 5.数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且731,,a a a 为等比数列{}n b 的连续三
项，则等比数列{}n b 的公比q 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．4
D ．4-
6.如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（ ）
A ．
54 B ．45 C ．65 D ．56
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A . 8π16+ B . 8π8+ C . π6116+ D . 16π8+
8.过圆42
2
=+y x 外一点)24(，P 作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则ΔABP 的外接圆方程是（ ） A ．1)2()4(2
2
=-+-y x
B ．4)2(2
2
=-+y x C ．5)1()2(2
2
=+++y x D ．5)1()2(2
2
=-+-y x
9.正四棱锥S-ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为（ ）
A ．21+
B ．32+
C ．22
D ．32
10.已知点),(b a M 在由不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥200y x y x 所确定的平面区域内，则点),(b a b a N -+所在平面区域的
面积是（ ）
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
11.如图，平面上两点)1,0(P 、)6,3(Q ，在直线x y =上取两点M 、N ，使),0(2为常数a a a MN >=且使NQ MN PM ++的值取最小，则N 的坐标为（ ） A ．),(a a B ．)2,2(a a
C ．)431,431(a a ++
D ．)4
323,4323(a a ++
12.已知抛物线C ：y x 42
=，直线1-=kx y 与C 交于第一象限的两点A 、B ，F 是C 的焦点.若
FB AF 3=，则=k （ ）
A ．3
B ．
33 C ．2
3 D ．
3
3
2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题，考生根据要求作答.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若n
x
x )1(2-
的展开式中第6项为常数项，则=n _________. 14.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB .若二面角1C AB C --的大小
为︒60，则点C 到平面1ABC 的距离为 . 15.在ΔABC 中，BC AB =，8
1
cos -=B ，若以A 、B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为 .
16.在数列{}n a 中，0>n a ，21
1=
a ，如果1+n a 是1与21412n
n n a a a -++的等比中项，那么=+++
210022
1100
2a a a ___________． 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在ΔABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，平面向量),2(b c a m +=→
与平面向量
)cos (cos C B n ，=→
垂直.
（1）求角B ；
（2）若42=+c a ，设ΔABC 的面积为S ，求S 的最大值.
18.一位同学分别参加了三所大学自主招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为
43、32、2
1
，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响. （1）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；
（2）设该同学通过笔试的大学所数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
19.如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=
2
1
AP=2，D 是AP 的中点，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将ΔPCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD . （1）求证：AP ∥平面EFG ； （2）求二面角G-EF-D 的大小.
20.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,1(-A ，)0,1(B ，动点C 满足条件：ΔABC 的周长为222+.记动点C 的轨迹为曲线W ．
（1）求W 的方程；
（2）已知点)0,2(M ，)1,0(N ，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与MN 共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．
21.已知函数x x f ln )(=，)0(2
7
21)(2<++=
m mx x x g ，直线l 与函数)(),(x g x f 的图象都相切，且与函数)(x f 的图象的切点的横坐标为1． （1）求直线l 的方程及m 的值；
（2）若))()(')((')1()(的导函数是其中x g x g x g x f x h -+=，求函数)(x h 的最大值； （3）当0>>b a 时，比较)(2b a af a ++与)2(2a af b +的大小．
请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分. 22.选修4-1：几何证明选讲
如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，
F E ，分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B ，E ，F ，C 四点共圆.
（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；
（2）若DB BE EA ==，求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值.
23.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα=⎧⎨=+⎩为参数）
，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ．
（1）求2C 的方程；
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2
C 的异于极点的交点为B ，求AB .
24.选修4-5：不等式选讲
设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．
（1）当1=a 时，求不等式()32f x x ≥+的解集．
f x≤的解集为{}1-≤x x，求a的值．（2）若不等式()0。