传递函数阵

传递函数阵
传递函数矩阵指的是在多输入、多输出线性时不变系统下，将系统各个输入与各个输
出之间的关系统一表示为矩阵的形式。

该矩阵被称为传递函数矩阵。

系统的物理特性可以用数学模型来描述，通常采用微分方程的形式来表示。

而当系统
具有多个输入和多个输出时，为了方便描述，我们可以采用矩阵的形式表示系统的状态，
即将状态向量、输入向量和输出向量都表示为矩阵的形式：
$$
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \quad
\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{bmatrix} , \quad
\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_p \end{bmatrix}
$$
其中$\mathbf{x}$表示状态量矩阵，$\mathbf{u}$表示输入量矩阵，$\mathbf{y}$表
示输出量矩阵。

$n, m, p$分别表示状态量、输入量和输出量的个数。

在线性时不变系统中，系统的状态方程可用矩阵形式表示：
$$
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{Ax}+\mathbf{Bu} \\
\mathbf{y} &= \mathbf{Cx}+\mathbf{Du}
\end{aligned}
$$
我们可以根据线性时不变系统的传输特性，将输入矩阵$\mathbf{B}$和直流增益矩阵$\mathbf{D}$组成一个$m\times p$的矩阵，称为传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$:
其中，$\mathbf{G}_{ij}(s)$表示第$i$个输入对第$j$个输出的传递函数。

传递函数
矩阵$\mathbf{G}(s)$反映了系统各个输入与各个输出之间的传递特性。

根据传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$，我们可以方便地计算系统的频率响应、稳定性、性能等特性。

例如，系统的频率响应可以用传递函数矩阵的谱分解来表示：
$$
\mathbf{G}(j\omega)=\mathbf{U}e^{j\Omega}\mathbf{V}^H
$$
其中，$\omega$为角频率，$\mathbf{U}$和$\mathbf{V}$分别为传递函数矩阵的左奇异向量和右奇异向量，$\Omega$为对角阵，其对角线上的元素为传递函数矩阵的特征值。

通过对传递函数矩阵的特征值分析，可以判断系统的稳定性，并优化系统的性能。