数学建模论文试卷的合理均衡分配与评判和反评判指标体系的构建

试卷的合理均衡分配与评判和反评判指标体系的构建

摘要

本文通过对试卷均衡分配，将传统的评阅方式改进提出更好的试卷排名的评判指标体系，给出每个评委的水平给出评价的反评判指标体系和对出现的“不公平”进行调整来保证竞赛评卷体系的公平性，并提出了对不同评委组所评试卷进行总排名和评委总排名的合理方案。

试卷分配中，采用MATLAB编程计算，在分配方案时避免了本校评委评阅本校的试卷的不公平分配现象，通过当某一评委组合分配完后就从组合矩阵删除的方法避免出现相同评委评阅不同试卷的情况，通过限制评委的最大评阅数达到评委间的工作量平衡。最后在计算机计算出的100个方案中筛选出方案满足工作平衡性好，不出现试卷集中在某评委现象的均衡性较好的方案。

评卷中，考虑每个评委评判试卷的标准并不完全一致，有的评委有判高分倾向，有的评委有判低分倾向。定义评委判分合理差异系数，给出判断评委判分是否过高过低的标准，并在试卷最终成绩中根据该差异系数对每位评委的评分加以调整，使分数更加合理。采用分数平均值作为排名标准，有效避免了传统试卷评卷中去掉最低分带来的误差。最后根据假设生成一组合理的数据，并验证了改进后模型的合理性。

为提高评卷体系公平性，选定以某位评委给出的所有分数的相对差值平均值的波动性为参数来衡量公平性，从而给出对评委打分排名的反评判指标体系。并在一份试卷的评判过程中，按照4 位评委阅卷公平性的不同，分配以相应的权值，进而得出最终的分数调整计算公式。

对决定全部试卷的最好真实排名和全部评委排名的问题，以平均分代替数学期望，用全部试卷的总平均分除以子模块内所有试卷的平均分作为该子模块系数值，建立了无偏处理模型；根据优势等价性原则，定义试卷优势度，建立了相对优势等价模型。

关键词：均衡分配公平性权值无偏处理

一．问题重述

数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人开始关注竞赛评卷的公平性。一个好的竞赛评卷体系不仅可以增加参与者的积极性，更重要是的能够扩大数学教育在整个社会的影响。

在大学生数学建模竞赛A 题的评卷工作中，来自不同学校的M 个评委要完成N 份试卷的打分，竞赛试卷来自K 个学校，第j 个学校有竞赛试卷j l 份，∑==K

j j l N 1为节省人力，

每份试卷只要由其中p （ p< M < K << N ）个评委进行打分就行，

1．根据回避原则，要求评委不能阅自己学校的试卷，给出试卷合理的均衡分配方案的数学模型，使各评委阅卷工作量均衡；试卷分配均衡分散。用MATLAB 或C 语言编写出试卷合理的均衡分配方案的计算机程序。输入参数为p ，M ， K ，N ，输出为各评委分别阅卷的号码，就一个实例给出问题的答案。 实例：某省有竞赛试卷368份，16个评委阅卷，40所学校，p 取3-5自己设定，j l

如下表1：

均衡分散解释：（1）

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛111000111000111000000111

000111000111

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛001011100110110001011010010101101100

(a) (b)

矩阵第i 行第j 列为1，表示第i 个评委阅第j 份试卷，称上述矩阵为缺失评分矩阵。

矩阵(b)表示任意两份试卷评阅中，最多有2个评委相同，而矩阵(a)存在着相同的3个评委同阅两份试卷。均衡分散性好是指任意两份试卷评阅中，出现相同评委越少越好。 （2）均衡分散性好是指：分配在每一个评委手中的试卷质量最好是好、中、差分布较为均匀，且同一个学校试卷不要集中在一个评委手中。

2．传统的评阅方式是：每份试卷只要由3~4个评委进行打分（若取4个评委，则去掉一个最低分）按剩下的有效分求和，按分数排名决定名次。给出更好的试卷排名的评判指标体系，说明比传统的评阅方式好在哪里。

3．给出对评委打分排名的反评判指标体系。该方法要求对每个评委的水平(公平性)给出评价。注意：某评委给出分数普遍偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可给出最终的分数调整计算公式来进行调整。

4．文献资料证明：对于完全评分矩阵(即全体评委评阅全部试卷)，无论评委评分尺度如何，总可以给出试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名。基于这一思想，全部

试卷分配时按矩阵(a)类似情形分成3~5个完全评分子块(两省联合阅卷能做到试卷合理的均衡分配方案)，每一子块当然能决定该子块试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名，给出由这些结果如何决定全部试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名的方法。

二．模型的建立与求解

问题1 试卷的合理均衡分配

1.1符号说明与假设

1.1.1符号说明:

M 参加竞赛的学校数

N 试卷总数

p 每份试卷的分配的评委数

M 评委数

YJS

第i的评委的阅卷数

i

PJYJ 表示每位评委的评价阅卷数

ZDYJS 表示每位评委的最大阅卷数

JS

表示第i学校的试卷

i

1.1.2 模型假设:

1)M评委来自不同学校

2)试卷的质量分布均匀与所来自学校无关

1.2问题分析和模型的建立

对于试卷的均衡分配我们首先建立了合理指标（详见1.2.1）。

为了减小程序的复杂度，我在取每一分初等方案（限制B1,B2,B4,没有限制B4）的过程中对每份试卷的分配都采取选择操作来达到满足B1,B2,B4的目的,而不是在取到随机方案后再筛选出满足B1,B2,B4的方案。

首先对指标B1能绝对满足的必要条件是不同评委的随机组合数大于总的阅卷数。当不同评委的组合数小于总阅卷数时B1是不可能达到满足的。在可以得到满足的情况下，为了实现我们可以先取到所有的评委组合建立一个组合矩阵（详细说明见1.2.2的步骤1），当该组合被分配时我们就从该组合矩阵中删除该组合，这就可以避免了在下份试卷分配时取到同样的组合。

对于指标B2，在试卷分配都来自本校评委时，该试卷重新从组合矩阵中去组合，但不从中矩阵中删除该评委组合。直至分配成功。

对于B4，为了减少计算机筛选的次数，我们首先可以定义每位评委的最大阅卷数ZDYJS,最大阅卷数大于且越逼近每位评委的平均阅卷数时，每位评委的工作量差就越小。当最大阅卷数与平均阅卷数相等时，每位评委的阅卷量方差就等于0，这是理想的情况。这种情况不一定存在。我们通过从组合矩阵中删除含有评卷数超过ZDYJS的评委的评委组合，从而在后面的试卷分配评委组合时就分配不到含有该评委的组合。这样评卷数超过ZDJYS的评委的评卷数就不会再增加了。从而在一定程度上限制了评委间的工作量差，减少计算机筛选的次数，降低了程序的时间复杂度。

对于B3的指标我们就可以从计算机提供的一定数量可行方案中筛选中满足较好的方案。这样就可以得到试卷分配较为合理均衡的方案。

1.2.1 建立试卷合理分配指标