8.5.1直线与直线平行-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

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第八章 立体几何初步
所以EG∥C′D′，EG＝C′D′. 所以四边形EGC′D′是平行四边形. 所以ED′∥GC′，ED′＝GC′， 所以BF∥ED′，BF＝ED′， 所以四边形BFD′E是平行四边形.
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第八章 立体几何初步
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题型二 等角定理的应用
第八章
立体几何初步
8.5 空间中直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
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素养目标·定方向
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素养目标
学法指导
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[解析] (1)如图，连接 BD、B1D1，在△ABD 中， 因为 E、F 分别为 AB、AD 的中点，所以 EF 12BD.
同理，E1F1
1 2B1D1．
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 DD1，
所以四边形 BB1D1D 为平行四边形，所以 BD B1D1， 又 EF 12BD，E1F1 12B1D1，所以 EF E1F1．
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所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E. 同理可证A1F∥CE1． 因 为 ∠ EA1F 与 ∠ E1CF1 的 两 边 分 别 对 应 平 行 ， 且 方 向 都 相 反 ， 所 以 ∠EA1F＝∠E1CF1． [归纳提升] 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或
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关键能力·攻重难
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题型探究 题型一 证明直线与直线平行
典例 1 如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四 边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
60°.
[正解] 因为角α，β的两边分别平行，所以α，β相等或互补，又α＝
60°，所以β＝60°或120°.
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【对点练习】❸ 下列结论中，正确的结论有
(B )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相
等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所
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[证明] (1)因为空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为 AB，BC， CD，DA 的中点，
所以 EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝21AC， 所以 EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形.
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第八章 立体几何初步
1．掌握基本事实4及等角定理.(逻
辑推理)
借助长方体，通过直观感知，了解空
2．会用基本事实4证明线线平行.( 间中直线与直线平行的关系.
逻辑推理)
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必备知识·探新知
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知识点1 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线__平__行___.
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素养作业·提技能
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【对点练习】❶ 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E，F 分别为AA′，CC′的中点，求证：四边形BFD′E是平行四边形.
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第八章 立体几何初步
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[证明] 如图所示，取BB′的中点G，连接GC′，GE. 因为F为CC′的中点， 所以BG∥FC′，且BG＝FC′. 所以四边形BFC′G是平行四边形. 所以BF∥GC′，BF＝GC′， 又因为EG∥A′B′，EG＝A′B′， A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，
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[归纳提升] 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)定义法 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一 平面内；二是两条直线没有公共点. (3)基本事实4 用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时 b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
典例 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1 分 别是棱 AB、AD、B1C1、C1D1 的中点.求证：
(1)EF E1F1； (2)∠EA1F＝∠E1CF1．
[分析]
(1) EF
21BD，E1F1
1 2B1D1
→
BD
B1D1 → EF E1F1
(2) CF1∥A1E，A1F∥CE1 → ∠EA1F＝∠E1CF1
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Байду номын сангаас
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(2)取 A1B1 的中点 M，连接 F1M、BM，则 MF1 B1C1． 又 B1C1 BC，所以 MF1 BC， 所以四边形 BMF1C 为平行四边形， 所以 BM∥CF1． 因为 A1M＝12A1B1，BE＝12AB，且 A1B1 AB， 所以 A1M BE， 所以四边形 BMA1E 为平行四边形，
成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等
或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ②④是正确的.
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课堂检测·固双基
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等角定理理解不准确
易错警示
典例 3 设已知空间两个角α，β且α，β的两边分别平行，α＝ 60°，则β＝____6_0_°__或__1_2_0_°_.
[错解] 60°
[错因分析] 在应用等角定理解题时一定要注意“两组边对应平行
且方向相同”这一条件，在求解本题时容易忽略此条件而出错误答案
相似.
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【对点练习】❷ 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱 CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
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[证明] 因为 F 为 BB1 的中点，所以 BF＝12BB1， 因为 G 为 DD1 的中点，所以 D1G＝12DD1． 又 BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以 BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形 D1GBF 为平行四边形. 所以 D1F∥GB，同理 D1E∥GC. 所以∠BGC 与∠FD1E 的对应边平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E.
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知识点2 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个
文字语言 角__相__等___或__互__补___
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
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[知识解读] 1．对基本事实4的认识 (1)基本事实4，它表述的性质通常叫做平行线的传递性. (2)基本事实4是论证平行问题的主要依据. 2．对等角定理的两点认识 (1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实 4的直接应用. (2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们 互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
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(2)因为空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD， DA 的中点，
所以 EH∥BD，EH＝12BD. 因为 EF＝12AC，AC＝BD，所以 EH＝EF. 又因为 EFGH 是平行四边形，所以四边形 EFGH 是菱形.
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