2020学年江苏省南通市新高考高一数学下学期期末监测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯： A ．281盏
B ．9盏
C ．6盏
D ．3盏
2．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为（ ） A ．83
B ．4
C ．25
D ．35
3．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）
A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线
B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线
C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线
D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线
4．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，若1223AA AB ==，则该三棱柱外接球的表面积为（ ） A ．
323
π
B ．8π
C ．16π
D ．64π
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，sin sin C A ＝2，且S △ABC ＝154
， 则b 的值为( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1
sin 2
x ≤的概率为（ ） A ．
13
B ．
2π
C ．
12
D ．
23
7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．对于一个给定的数列{}n a ，定义：若(
)11n n n a a a n ∆+=-∈*
N ，称数列{}1n
a ∆为数列{}n
a 的一阶差
分数列；若(
)2111n n n a a a n ∆∆∆+=-∈*
N
，称数列{}2n
a ∆为数列{}n
a 的二阶差分数列．若数列{}n
a 的二
阶差分数列{}2n a ∆的所有项都等于1，且1820170a a ==，则2018a =（ ） A ．2018
B ．1009
C ．1000
D ．500
9．设A B C D ，
，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为3则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123B ．183C ．243D ．54310．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ） A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
11．若α是第四象限角，则πα-是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角
12．215是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
二、填空题：本题共4小题
13．5
1()(2)a x x x x
+-展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为__________．
14．若不等式22
1
ax x ax -<-的解集为空集，则实数a 的能为___________.
15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若553
S π
=
，则24cos()a a +=_______ 16．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则其公比q 为_________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图扇形的圆心角2
AOB π
∠=
，半径为2，E 为弧AB 的中点C ､D 为弧AB 上的动点，且//CD AB ，
记DOE θ∠=，四边形ABCD 的面积为ABCD S .
（1）求函数()ABCD S f θ=的表达式及定义域； （2）求()f θ的最大值及此时θ的值
18．已知三棱柱111ABC A B C -（如图所示），底面ABC 为边长为2的正三角形，侧棱1CC ⊥底面ABC ，
14CC =，E 为11B C 的中点.
（1）求证：1AC ∥平面1BA E ；
（2）若G 为11A B 的中点，求证：1C G ⊥平面11A B BA ； （3）求三棱锥1A EBA -的体积.
19．（6分）如图1，在Rt PDC ∆中，90D ∠=︒，A ，B ，E 分别是PD ，PC ，CD 中点，4PD =，
22CD =.现将PAB ∆沿AB 折起，如图2所示，使二面角P AB C 为120︒，F 是PC 的中点.
（1）求证：面PCD ⊥面PBC ；
（2）求直线PB 与平面PCD 所成的角的正弦值. 20．（6分）设函数()1m
f x x
=+，且(1)2f = (1)求m 的值；
(2)试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义加以证明； (3)若[]2,5x ∈求值域；
21．（6分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11
2AB AD AA ===，，点P 为1DD 的中点．
（1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求直线1PB 与平面PAC 的夹角． 22．（8分）16种食品所含的热量值如下： 111 123 123 164 430 190 175 236 430 320 250 280 160 150 210 123 （1）求数据的中位数与平均数；
（2）用这两种数字特征中的哪一种来描述这个数据集更合适？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
设塔的顶层共有1a 盏灯，得到数列{}n a 的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项公式，即可求解． 【详解】
设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 的公比为2的等比数列，
所以717(12)
38112
a S -==-，解得13a =，
即塔的顶层共有3盏灯，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 2．B 【解析】 【分析】
设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长． 【详解】
设圆锥的底面半径为r ，母线长为l
它的侧面展开图是圆心角为90的扇形 22
r l π
π=
⋅∴ 4l r ∴=
又圆锥的表面积为5π 2245r rl r r r πππππ∴+=+⋅=，解得：1r =
∴母线长为：44l r ==
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题． 3．B 【解析】 【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】
如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，
平面CDE ⊥平面ABCD ．
,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，
MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，
5
,2
MF BF BM =
=∴=BM EN ∴≠，故选B ．
【点睛】
本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性． 4．C 【解析】 【分析】
设球心为O ，ABC ∆的中心为1O ，求出1OO 与1O A ，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可. 【详解】
设球心为O ，ABC ∆的中心为1O ，则111
32
OO AA =
= 132
3123
O A =⨯=，球的半径22112R O O O A =+=， 所以球的表面积为2416S R ππ==. 故选：C 【点睛】
本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题. 5．C 【解析】
试题分析：根据正弦定理
sin sin a c
A C =可得sin 2sin C c
A a
,2c a ∴=.
在ABC ∆中,1cos 4B =
,2115sin 1cos 1164
B B ∴=-=-=. 211515
sin 244
ABC S ac B a ∆=
==
,21a ∴=,1,2a c ∴==. 2221
2cos 1421244
b a
c ac B ∴=+-=+-⨯⨯⨯
=,2b ∴=.故C 正确. 考点：1正弦定理;2余弦定理.
6．A 【解析】
1sin 2x ≤则π5π0,,π66x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，故概率为π
216π3
⋅
=.
7．D
【解析】试题分析：函数是定义在
上的奇函数，
，故答案为D ．
考点：奇函数的应用． 8．C 【解析】 【分析】
根据题目给出的定义，分析出其数列的特点为等差数列，利用等差数列求解. 【详解】
依题意知{}1n a ∆是公差为1的等差数列，设其首项为a ， 则()1111n a a n n a ∆=+-⨯=+-，即11n n a a n a +-=+-， 利用累加法可得()()()()()()1112111122
n n n n n a a n a a n a ---=+--+
=+-+， 由于182017
0a a ==，即11171360,
2016201510080,
a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩ 解得1016a =-，117136a =，故()201820162017
171362017101610002
a ⨯=+⨯-+=．选C.
【点睛】
本题考查新定义数列和等差数列，属于难度题. 9．B 【解析】 【详解】
分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥
D ABC -体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点， 当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大 此时，OD OB R 4===
23
93ABC
S
AB =
= AB 6∴=,
点M 为三角形ABC 的中心
2
BM 233
BE ∴=
= Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM =-=
DM OD OM 426∴=+=+=
()max 1
9361833
D ABC V -∴=⨯⨯=
故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到
2
BM 233
BE =
=，再由勾股定理得到OM ，进而得到结果，属于较难题型． 10．C
【解析】 【分析】 【详解】
如图，取中点，则平面，
故，因此AD 与平面11BB C C 所成角即为，
设，则
，
，
即， 故，故选C.
11．C 【解析】 【分析】
利用象限角的表示即可求解. 【详解】
由α是第四象限角，则()222
k k k Z π
παπ-
<<∈， 所以()2232
k k Z k ππππ
απ<-+-<-∈+， 所以πα-是第三象限角. 故选：C 【点睛】
本题考查了象限角的表示，属于基础题. 12．C 【解析】 【分析】
本题首先要明确平面直角坐标系中每一象限所对应的角的范围，然后即可判断出215在哪一象限中． 【详解】
第一象限所对应的角为π
2π,
2π2
k k k Z ；
第二象限所对应的角为
π
2π,π2π2
k k k Z ；
第三象限所对应的角为3π
π2π,2π2
k k k Z ；
第四象限所对应的角为
3π
2π,2π2π2
k k k Z ；
因为3π
215π2π,
2π2
k k k
Z ，
所以215位于第三象限，故选C ． 【点睛】
本题考查如何判断角所在象限，能否明确每一象限所对应的角的范围是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题．
二、填空题：本题共4小题 13．200 【解析】
令1x =，则14a +=，即3a =，因为5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()
()()
51
552155212k
k
k
k k k
k k T C x x C x ----+=-=-，所以5
312x x x x ⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭展开式中常数项为
()
()
3
2
3
2123553
1212x
C x C x x
--+
-，即常数项为()()3
2
322
35512312200C C -+⨯-=.
点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为1,1,0-）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别. 14．
1
2
【解析】 【分析】
根据分式不等式,移项、通分并等价化简,可得一元二次不等式.结合二次函数恒成立条件,即可求得a 的值. 【详解】
将不等式22
1ax x ax -<-化简可得2201ax x ax --<-
即
2
01x ax -<-的解集为空集 所以
2
01
x ax -≥-对于任意x 都恒成立 将不等式等价化为()()120ax x --≥ 即()22120ax a x -++≥恒成立
由二次函数性质可知()2
21420a a a >⎧⎪⎨⎡
⎤∆=-+-⨯≤⎪⎣⎦⎩ 化简不等式可得()2
210a -≤
解得1
2a =
故答案为:1
2
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法,将不等式等价化为一元二次不等式,结合二次函数性质解决恒成立问题,属于中档题. 15．12
-
【解析】 【分析】
利用等差数列前n 项和，可得1523
a a π
+=；利用等差数列的性质可得1524a a a a +=+，然后求解三角函数值即可． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为()155552
3
a a S π
+⨯=
=，所以15252533
a a ππ+=
⨯=； 又1524a a a a +=+，所以()2421
co c 2
o s 3s a a π==-+． 故答案为：1
2
-． 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握()12
n n a a n S +⨯=
和若
m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+是解题的关键．
16．2- 【解析】
试题分析：1n S +、n S 、2n S +成等差数列1212220n n n n n S S S a a ++++∴+=∴+=2q ∴=- 考点：1．等差数列性质；2．等比数列通项公式
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）()f θ=4sin cos cos )2,θθθθ---04πθ⎛
⎫
<< ⎪⎝
⎭
（2）当12
π
θ=
时，()f
θ取最大值1.
【解析】 【分析】
（1）取OE 与DC ､AB 的交点分别为M ､N ，在Rt ODM 中，分别求出OM ，ON ，再利用梯形的面积公式求解即可；
（2）令sin cos t θθ-=，则ABCD S =2
212t ⎛-++ ⎝
⎭，()1,0t ∈-，再求最值即可.
【详解】 解：（1）
DOE θ∠=，OE 与DC ､AB 的交点分别为M ､N ，
由已知可知OM CD ⊥，
在Rt ODM 中，sin sin 2sin DM OD DOE R θθ=∠==.2cos OM θ=，2ON =，
梯形ABCD 的高2cos 2h MN OM ON θ==-=-， 则
()(4sin 22)(2cos 2)
()22
ABCD DC AB h S f θθθ++-==
=
4sin cos 22(sin cos )2,θθθθ=---04πθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭.
（2）设sin cos t θθ-=，则2sin 4t πθ⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，()1,0t ∴∈-，
则 2
2
(sin cos )12sin cos t θθθθ=-=-，22sin cos 1t θθ∴=-， 则
2()4sin cos 22(sin cos )222222
ABCD S f t t θθθθθ==---=---2
2222221t t t ⎛⎫
=--=-++ ⎪ ⎪⎝
⎭. ()1,0t ∈-，∴当22
t =-时，max ()1f θ=，
此时2
2sin 4πθ⎛⎫
-
=- ⎪⎝
⎭，即1sin 42πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 04
π
θ<<
，04
4
π
π
θ∴-
<-
<，4
6
π
π
θ∴-
=-
，故12
π
θ=
.
故()f θ的最大值为1，此时12
π
θ=
.
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题 18．（1）见解析（2）见解析（323
【解析】
【分析】
（1）在平面1
BA E找一条直线平行
1
AC即可．
（2）在平面11
A B BA内找两条相交直线垂直
1
C G即可．
（3）三棱锥
11
A A BE E ABA
V V
--
=即可
【详解】
（1）连接1
AB，
11
A B AB O
⋂=
因为直棱柱，则11
ABB A为矩形，则O为
1
AB的中点
连接OE，在11
AB C
△中，OE为中位线，则
1
AC OE
1
111
1
//
AC OE
AC A BE AC
OE A BE
⎫
⎪
⊄⇒
⎬
⎪
⊂⎭
平面
平面
平面1A BE
（2）连接1
C G，
1
CC⊥底面
1
ABC BB
⇒⊥底面
111
A B C
1
C G⊂底面
11111
A B C C G B B
⇒⊥①
G为正111
A B C
△边
11
A B的中点
111
C G A B
⇒⊥②
由①②及11111
A B BB B C G
⋂=⇒⊥平面
11
A B BA
（3）因为
11
A A BE E ABA
V V
--
=
1
1
1
4
2
ABA
S AB AA
=⨯=
△
取1
GB的中点F，连接EF，则
1
//
EF C G EF
⇒⊥平面
11
A B BA，即EF为高，3
EF= 111
1
3
A A BE E ABA ABA
V V S EF
--
==⨯
△
1323
4
3
=⨯=
【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的证明，以及三棱锥的体积公式，证明直线与平面平行往往转化成证明直线与直线平行．属于中等题． 19．（1）见解析（2）6
6
【解析】 【分析】
（1）证明BF ⊥面PCD 得到面PCD ⊥面PBC .
（2）先判断BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角，再计算其正弦值. 【详解】
（1）证明：法一：由已知得：AB PA ⊥且AB AD ⊥，PA AD A ⋂=，∴AB ⊥面PAD . ∵AB CD ∥，∴CD ⊥面PAD .
∵PD ⊂面PAD ，∴CD PD ⊥，又∵EF PD ，∴CD EF ⊥，
∵CD BE ⊥，BE
EB E =，∴CD ⊥面BEF .
BF ⊂面BEF ，∴CD BF ⊥.
又∵PB BC =且F 是PC 中点，∴PC BF ⊥，∴PC CD C =，∴BF ⊥面PCD .
∵BF ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PCD . 法二：同法一得CD ⊥面PAD . 又∵BE
AD ，AD ⊂面PAD ，BE ⊄面PAD ，∴BE 面PAD .
同理EF 面PAD ，BE EF E =，BE ⊂面BEF ，EF ⊂面BEF .
∴面PAD 面BEF .
∴CD ⊥面BEF ，BF ⊂面BEF ，∴CD BF ⊥. 又∵PB BC =且F 是PC 中点，∴PC BF ⊥，∴PC CD C =，∴BF ⊥面PCD .
∵BF ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PCD .
（2）由（1）知BF ⊥面PCD ，∴PF 为直线PB 在平面PCD 上的射影. ∴BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角， ∵AB PA ⊥且AB AD ⊥，∴二面角P
AB C 的平面角是PAD ∠.
∵2PA AD ==，
∴PD =
∴1
2
EF PD =
=又∵BF ⊥面PCD ，∴BF EF ⊥.在Rt BFE ∆
中，1BF ==.
在Rt PDC ∆
中，PC =
=∴在Rt PFB ∆
中，sin BF BPC PB ∠==
. 【点睛】
本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20． (1)m=1;（2）单调递减，证明见解析；（3）63[,]52
. 【解析】 【分析】
（1）由由f （1）2=即可解得；（2）利用减函数的定义可以判断、证明；（3）利用函数的 单调性求函数的值域. 【详解】
（1）由f （1）2=，得12m +=，1m =． （2）()f x 在(0,)+∞上单调递减． 证明：由（1）知，1()1f x x
=+
， 设120x x <<，则21121212
11
()()(1)(1)x x f x f x x x x x --=+
-+=． 因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （3）由于函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． 所以max min 1316
()(2)1,()(5)12255
f x f f x f ==+===+=. 所以函数的值域为63[,]52
. 【点睛】
本题考查函数的单调性及其应用，定义证明函数单调性的常用方法，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平，属于基础题. 21． (1)见证明；(2)见证明；(3) 2
π 【解析】
【分析】
（1）连接BD ，交AC 于O ，则O 为BD 中点，连接OP ，可证明1OP BD ∥，从而可证明直线1BD ∥平面PAC ；（2）先证明AC ⊥BD ，1DD AC ⊥，可得到AC ⊥平面11BDD B ，然后结合AC ⊂平面PAC ，可知平面PAC ⊥平面1BDD ；（3）连接1PB ，由（2）知，平面PAC ⊥平面1BDD ，可知1B PO ∠即为1PB 与平面PAC 的夹角，求解即可. 【详解】
（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，则O 为BD 中点，连接OP ， ∵P 为1DD 的中点，∴1OP BD ∥， ∵OP ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC ， ∴1BD ∥平面PAC ；
（2）证明：长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ， 又1DD ⊥面ABCD ，则1DD AC ⊥．
∵BD ⊂平面11BDD B ，1DD ⊂平面11BDD B ，1BD DD D =，
∴AC ⊥平面11BDD B ．∵AC ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面1BDD ；
（3）解：连接1PB ，由（2）知，平面PAC ⊥平面1BDD ，
∴1B PO ∠即为1PB 与平面PAC 的夹角， 在长方体1111ABCD A B C D -中，
∵11
2AB AD AA ===，， ∴()
2
2
2
222
112623211232222OP PB OB ⎛⎫⎛⎫=+==+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，．
在1OPB ∆
中，
2
2
2
1
cos 0B PO +-∠=
=．
∴直线1PB 与平面PAC 的夹角为π2
． 【点睛】
本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考查了线面角的求法，考查了学生的空间想象能力和计算求解能力，属于中档题.
22．（1）中位数为：182.5，平均数为：217.1875；（2）用平均数描述这个数据更合适. 【解析】 【分析】
（1）根据中位数和平均数的定义计算即可； （2）根据平均数和平均数的优缺点进行选择即可. 【详解】
（1）将数据从小到大排列得：
111，123，123，123，150，160，164，175，190，210，236，250，280，320，430，430. 所以中位数为：175190
182.52
+=， 平均数为：
1111231231231501601641751902102362502803204304310
6
+++++++++++++++
217.1875=；
（2）用平均数描述这个数据更合适，理由如下：平均数反映的是总体的一个情况，中位数只是数列从小到大排列得到的最中间的一个数或两个数，所以平均数更能反映总体的一个整体情况. 【点睛】
本题考查数据的数字特征的计算及应用，考查基础知识和基本技能，属于常考题.
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中,,,m n αβ为已知实常数，x ∈R ，则下列命题中错误的是（ ）
A ．若(0)()02
f f π
==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；
B ．若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；
C ．若()02
f π
=，则函数()f x 为偶函数；
D ．当22
(0)()02
f f π
+≠时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-= （k ∈Z ）．
2．己知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0>ω，2
π
ϕ<）的图象（部分）如图所示，则()
f x 的解析式是（）
A ．()2si 3n ()f x x x R ππ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 2()6f x x R ππ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭
C ．()2sin ()6f x x x R ππ⎛
⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 2()3f x x x R ππ⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
3．函数5()3cos 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图像的一个对称中心是（ ）
A ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β C ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥n
D ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β
5．ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()a c b a b c ab -+++=，则角C 的大小是（ ） A ．
3
π
B ．
2
π C ．
23
π D ．
56
π 6．直线()
2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2
B ．2或3-
C ．3-
D ．2-或3-
7．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）
A ．高一学生被抽到的可能性最大
B ．高二学生被抽到的可能性最大
C ．高三学生被抽到的可能性最大
D ．每位学生被抽到的可能性相等
8．设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ） A ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥
B ．若m α
γ=，αγ⊥，βγ⊥，则m β⊥
C ．若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥
D ．若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥
9．为研究需要，统计了两个变量x ，y 的数据·情况如下表:
x
1x 2x 3x
n x
y
1y 2y
3y
n y
其中数据x 1、x 2、x 3…x n ，和数据y 1、y 2、y 3，…y n 的平均数分别为x 和y ，并且计算相关系数r ＝-1.8，回归方程为y b x a ∧∧∧
=+，有如下几个结论：
①点(x ，y )必在回归直线上，即y ＝b x +a ∧
；②变量x ，y 的相关性强； ③当x ＝x 1，则必有1y y ∧
=；④b ＜1．
其中正确的结论个数为 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
10．在中，角
对应的边分别是，已知，，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
12．下列命题中正确的是（ ）
A ．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
D ．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 二、填空题：本题共4小题
13．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r ，则r =______.（精确到0.1%）（参考数据1
102 1.072≈）
14．已知变量,x y 之间满足线性相关关系 1.31y x =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：m =_____.
x
1 2 3 4 y
0.1 m
3.1
4
15．在数列
中，
，则
.
16．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞
+-⎫
⎪⎝⎭
=⎛，则首项1a 的取值范围是
________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2 4 5 6 8
（1）画出散点图；
（2
）求线性回归方程；
（3）试预测广告费支出为10万元时，销售额为多少？
附：公式为：
^^^
1
22
1
,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y b x
x nx
=
=
-⋅
==-
-
∑
∑
，参考数字：
5
2
1
145
i
i
x
=
=
∑，5
1
1380
i i
i
x y
=
=
∑. 18．已知向量a, b的夹角为60, 且||2
a=, ||1
b=.
(1) 求a b⋅；
(2) 求||
a b
+.
19．（6分）已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，1
434
n n n
a a b
+
-
=+，
1
434
n n n
b b a
+
-
=-.
（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；
（2）求{a n}和{b n}的通项公式.
20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若E为BC的中点，60
ABC︒
∠=，求证：平面PAD⊥平面PAE.
21．（6分）已知数列{a n}中，a1＝1且a n﹣a n﹣1＝3×（
1
2
-）n﹣2（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{a n}的通项公式：
（2）若对任意的n∈N*，不等式1≤ma n≤5恒成立，求实数m的取值范围.
22．（8分）如图，已知圆M：()22
19
x y
-+=，点()2,1
A-.
围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式.
对于A 选项，将(0)0,()02
f f π
==化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出A 选项为真命题.
对于B 选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出B 选项为真命题.
对于C 选项，将()02
f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出C 选项为真命题.
对于D 选项，根据22
(0)()02
f f π
+≠、12()()0f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，由此求得
12x x k π-= （k Z ∈），进而判断出D 选项为假命题.
【详解】
()()()cos cos sin sin cos cos sin sin f x m x x n x x ααββ=-+-()()cos cos cos sin sin sin m n x m n x αβαβ=+-+.
不妨设 11221122()(cos cos )cos (sin sin )sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数. 若(0)0f =，则得 1122cos cos 0k k αα+=；若()02
f π
=，则得1122sin sin 0k k αα+=． 于是当(0)()02
f f π
==时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；
当(0)0f =时，1122()(sin sin )sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题B 是真命题； 当()02
f π=时，1122()(cos cos )cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题C 是真命题；
当22
(0)()02
f f π
+≠时，令()0f x =，则
上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠． 将该方程的两边同除以cos x 得
11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=
+，令1122
1122
cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠），
则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．
不妨取 11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈）， 则1212()x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题D 是假命题． 故选：D 【点睛】
本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题. 2．C 【解析】 【分析】
根据图象可知514263T ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
，利用正弦型函数2T πω=可求得ω；根据最大值和最小值可确定A ，
利用123f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
及2πϕ<可求得ϕ，从而得到函数解析式.
【详解】
由图象可知，()f x 的最小正周期：514263T ⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
又2T π
ω
=
ωπ∴=
又()max 2f x =，()min 2f x =-且0A > 2A ∴=
12sin 233f πϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 232k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，即26k πϕπ=+，k Z ∈
2
π
ϕ<
6
π
ϕ∴=
()()2sin 6f x x x R ππ⎛
⎫
∴=+
∈ ⎪⎝
⎭
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确A 由最大值和最小值确定；ω由周期确
【解析】 【分析】 由题得54+62x k k Z ππ
π+=∈，,解出x 的值即得函数图像的一个对称中心. 【详解】 由题得54+62
x k k Z ππ
π+=∈，, 所以()412
k x k Z ππ
=
-∈， 所以5()3cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的对称中心是,0()412k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭． 当k=1时，函数的对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选B 【点睛】
本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，m 与β相交、平行或m β⊂；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面平行的性质定理得//m β． 【详解】
由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故A 错误； 在B 中，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，故B 错误； 在C 中，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若//αβ，m α⊂，则由线面平行的性质定理得//m β，故D 正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 5．C
将()()a c b a b c ab -+++=进行整理，反凑余弦定理，即可得到角C . 【详解】
因为()()a c b a b c ab -+++= 即222a b c ab +-=-
故可得2221
22
a b c cosC ab +-==-
又()0,C π∈ 故23
C π
=
. 故选：C. 【点睛】
本题考查余弦定理的变形，属基础题. 6．B 【解析】 【分析】
两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解. 【详解】
当10m +=即1m =-时，
两直线为240x +=，320x y -+-=， 两直线不平行，不符合题意； 当0m =时，
两直线为240x y ++= ，320y -= 两直线不平行，不符合题意；
当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时， 直线2(1)40x m y +++=的斜率为2
1
m -+ ， 直线320mx y +-=的斜率为3m -
， 因为两直线平行，所以213
m
m -
=-+， 解得2m =或3-，
本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况. 7．D 【解析】 【分析】
根据分层抽样是等可能的选出正确答案. 【详解】
由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D. 【点睛】
本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】
根据线面、面面有关的定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
A 选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：m 在平面α内或者平行于α，这个条件，才
能判定m β⊥.B 选项不正确，因为m 可能平行于β.C 选项不正确，因为当αβ⊥时，
//m β或者m β⊂.D 选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到//αβ，直线m α⊥，则可得到m β⊥.综上所述，本小题选D. 【点睛】
本小题主要考查空间线面、面面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】
根据回归方程的性质和相关系数的性质求解. 【详解】
回归直线经过样本中心点(,)x y ，故①正确；
变量的相关系数的绝对值越接近与1，则两个变量的相关性越强，故②正确；
根据回归方程的性质，当1x x =时，不一定有1ˆy
y =，故③错误； 由相关系数0.80r =-<知,x y 负相关，所以0b <，故④正确； 故选C.
10．A 【解析】 【分析】 根据正弦定理求得，根据大边对大角的原则可求得.
【详解】 由正弦定理
得：
本题正确选项： 【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】
由流程图循环4次，输出k ，即可得出结果.． 【详解】
初始值9k =，1S =，是，
第一次循环：9
10S =，8k =，是， 第二次循环：4
5S =，7k =，是，
第三次循环：7
10S =，6k =，是，
第四次循环:S 3
5
=，5k =，否，输出5k =．
故选C ． 【点睛】
本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题． 12．D 【解析】 【分析】
利用定理及特例法逐一判断即可。

【详解】
反例：如果该直线本身就垂直于已知平面的话，
那么可以找到无数个平面与已知平面垂直，故B 不正确；
如果这两条直线都在平面内且平行，那么这直线不平行于这个平面，故C 不正确； 如果两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行， 所以这两条直线共面，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了线线平行的判定，面面垂直的判定，线面平行的判定，线面垂直的性质，考查空间思维能力，属于中档题。

二、填空题：本题共4小题 13．7.2% 【解析】 【分析】
根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ，结合题意可得10(1)2a r a +=，解可得r 的值，即可得答案． 【详解】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ， 则有10(1)2a r a +=， 即10(1)2r +=， 解可得：0.072r ≈， 故答案为：7.2%． 【点睛】
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r 的方程，属于基础题． 14．1.8 【解析】 【分析】
根据回归直线方程过样本点的中心()
,x y ，代入数据即可计算出m 的值. 【详解】 因为1234
2.54x +++=
=，0.1 3.14 1.80.254
m y m +++==+，
【点睛】
本题考查根据回归直线方程过样本点的中心()
,x y 求参数，难度较易. 15
．
【解析】 【分析】 【详解】 因为
,
,
.
16．[)()2,33,4
【解析】 【分析】
根据极限存在得出()
(]1,00,1q ∈-，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况讨论得出1a 与q 之
间的关系，可得出1a 的取值范围. 【详解】
由于13lim 1n n q q a →∞
+-⎫ ⎪⎝⎭
=⎛，则()(]1,00,1q ∈-.
①当10q -<<时，则11
33lim 1n n q q
q a a →∞⎛⎫
=⎪+⎝⎭+-=，()132,3a q ∴=+∈；
②当01q <<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭
+-=，()133,4a q ∴=+∈； ③当1q =时，11
3lim 114
n n q q a a →∞
⎛⎫
⎪⎝=⎭+--=，解得12a =.
综上所述：首项1a 的取值范围是[)()2,33,4，故答案为：[)()2,33,4.
【点睛】
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(1)散点图见详解；(2) 6.515
ˆ7.
y x
=+；(3)82.5万元.
【解析】
【分析】
（1）根据表格数据，绘制散点图即可；
（2）根据参考数据，结合表格数据，分别求解回归直线方程的系数即可；
（3）令（2）中所求回归直线中10
x=，即可求得预测值.
【详解】
（1）根据表格中的5组数据，绘制散点图如下：
（2）由表格数据可知：
()()
11
245685,304050607050
55
x y
=++++==++++=
5
1
1380
i i
i
x y
=
=
∑，52
1
145
i
i
x
=
=
∑
故可得
^
1
22
1
5
5
5
13805550
6.5
145525
5
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
=
-⋅
-⨯⨯
===
-⨯
-
∑
∑
^^
50 6.5517.5
a y
b x
=-=-⨯=
故所求回归直线方程为 6.5175
ˆ.
y x
=+.
（3）由（2）知， 6.5175
ˆ.
y x
=+
令10
x=，解得ˆ82.5
y=.
故广告费支出为10万元时，销售额为82.5万元.
【点睛】
本题考查散点图的绘制，线性回归直线方程的求解，以及应用回归直线方程进行预测，属综合性基础题.
18．（1）1；（2 【解析】 【分析】
（1）利用向量数量积的定义求解； （2）先求模长的平方，再进行开方可得. 【详解】
（1）a •b =|a ||b |cos60°=2×1×1
2
=1； （2）|a +b |2=（a +b ）2 =2a +2a •b +2b =4+2×1+1 =7.
所以|a +b 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解. 19．（1）见解析；（2）1
122n
n a n
，112
2n
n
b n
．
【解析】 【分析】
(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列
{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果． 【详解】
(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b ，111a b -=，
所以1
144323442n
n n n n n n n a b a b b a a b ，即1112
n n n n a b a b ，
所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为1
2
的等比数列，1
12
n n n a b ， 因为1
1443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ，
所以1
1
2n
n n n a b a b ，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n
a b n ．
(2)由(1)可知，1
12
n n n a b ，21n n
a b n ，
所以111
2
2
2n
n n n n n
a a
b a b n
，11122
2n
n n n n n
b a b a b n
．
【点睛】
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题． 20．（1）证明见解析，（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据底面ABCD 为菱形得到BD AC ⊥，根据线面垂直的性质得到PA BD ⊥，再根据线面垂直的判定即可得到BD ⊥平面PAC .
（2）首先利用线面垂直的判定证明AE ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定证明平面PAD ⊥平面PAE 即可. 【详解】
（1）因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥.
PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以PA BD ⊥.
BD AC BD PA
BD PA AC A ⊥⎧⎪
⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
平面PAC . （2）因为底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠= 所以ABC 为等边三角形.
因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥. 又因为//AD BC ，所以AE AD ⊥.
PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，
所以PA AE ⊥.
AE AD AE PA
AE PA AD A ⊥⎧⎪
⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
平面PAD . 因为AE ⊂平面PAE ，所以平面PAD ⊥平面PAE . 【点睛】
本题第一问考查线面垂直的判定和性质，第二问考查面面垂直的判定，属于中档题. 21．（1）a n ＝3﹣2×（12-）n ﹣1（2）{m|1≤m 5
4
≤} 【解析】。