2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题

2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题
一.填空题(共10小题,每小题6分,满分60分)
1.已知非空集合{}1,2,
,2012A ⊆,且满足:当a A ∈时,有2013a A -∈,则符合题意的集合A 共有 10062-1
2.已知(),P a b 关于直线l 的对称点为()1,1P b a '+-，则园22:620C x y x y +--=关于直线l 对称的园C '的标准方程为()()22
2210x y -+-=
3.已知分段函数()()3,01,0x x f x f x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x a =+有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围是程(),2-∞
4.设,a b 分别是方513log 20120x x +-=和51320120x x +-=的根，则a b +=2012
5.已知四面体A BCD -中，213,AB CD ==41,BC AD ==61,AC BD ==则该四面体的体积是 40
6.定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，已知{}1,2A =,{}
2|10B x x ax =++=,其中()C A 表示集合A 中元素的个数,若*1A B =,由a 的所有可能值构成的集合是S ,那么()C S =3
7.已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为31+，底面边长为2，Q 是侧棱PA 的中点，一条折线从点A 出发，绕侧面一周到点Q ，则这条折线长度的最小值是 1552
+ 8.已知函数()y f x =的定义域是D ,若对于任意的12,x x D ∈,当12x x <时,都有()()12f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为非减函数,设函数()y f x =在[]0,1上为非减函数,满
足条件:①(0)0f =;②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③()()11,f x f x -=-则1132012f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭65128
9.（选做题）.
(必修3）在6个产品中有4个正品和2个次品,现每次取出一个作检查(检查完后不放回),直到2个次品都找到为止,则恰好经过4次检查将2个次品全部找到的概率是 415
(必修4)如图1所示,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,P 是以A 为圆心,AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点,设向量(),,AC DE AP R λμλμ=+∈则λμ+的最小值是 12
10.已知m N ∈,且函数()21010f x x m x m =---+存在整数零点,则符合题意的一切m 的取值构成的集合是 {}0,3,14,30
二、（本题满分20分) 如图2所示,KL 和KN 是C 的两条切线,其中,,L N 为切点.在KN 的延长线上取一点M ,KM L ∆的外接圆与C 的另一交点为P ,ML 和C 的另一交点为R ,延长PR 交MK 于T .过N 作NQ ML ⊥于Q ,连接QP .
证明:(1)M TR ∆∽;PTM ∆(2)2.MPQ KML ∠=∠
证明:(1) 连接.PL 因为KL 为切线,所以.KLM RPL ∠=∠
180180180TMP KLP KLM PLM RPL PLR ∠=︒-∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠
;.LRP TRM MTR PTM MTR =∠=∠∠=∠∴∆∽.MTP ∆
(2)连接TQ ,由(1)知,M TR ∆∽;PTM ∆2.TM TR TP ∴=•由于TN 为C 的切线,则2,.TN TR TP TM TN =•∴=,NQ ML ⊥T ∴是MNQ ∆的斜边中点,22TQ TN TR TP ∴== TRQ ⇒∆∽2.TPQ TPQ TQR KML MPQ KML ∆⇒∠=∠=∠⇒∠=∠
三.（本题满分20分) 如图3所示,已知单位正方体ABCD EFGH -的棱长AD 和BC 上
分别有动点Q,P ..若直线PQ 和BD 交于点N ,直线GQ 和平面BDE 交与点M,BE 的中点是S,设AQ =()x x 0≤≤1，MN=y .(1)求证:D,M,S 三点共线;(2)求y 的最小值关于x 的解析式.
证明：(1)连接AF ，DG .因为点Q 在边AD 上,所以直线GQ 在平面ADGF 内.又因为直线GQ 和平面BDE 交与点M ,所以M 是平面ADGF 和平面BDE 的交点.而BE 的中点是S ,故S 是AF 的中点,所以S 是平面ADGF 和平面BDE 的交点.显然D 是平面ADGF 和平面BDE 的交点,因此D,M,S 三点共线.
（2）过M 作MN BD '⊥于N '，连接QN '并延长交直线BC 于点P '，取点P '为P ，点N '为N ，此时y=MN 最小。

连接DS （经过点M )并延长交GF 的延长线于T ，连接TE ，则TE //BD 。

记E （也就是T ）到直线BD 的距离为d 。

由于BDE ∆是边长为2的正三角形，
故36222d =⨯=，1,2
DM x MT -=()()()61101323x MN DM x y x d DT x x --∴==⇒=≤≤--。

四、（本题满分20分）（必修3）函数()()
22log 416.f x x =+-（1）求函数的值域；
（2）若在区间[]4,1-上随机取一个数a ，求方程()()210f x af x ++=有实数根的概率。

解：()[]12,3。

（2）设f(x)=t ，则210t at ++=在[]2,3上有实根。

由于两根之积为1，故该方程在[]2,3上仅有一根。

设()21g t t at =++，()()230,g g ∴≤10532
a -≤≤-。

故概率是105132.56-= （必修4）已知对于任意的0,,sin 2x x x π⎛⎫∈< ⎪⎝⎭
恒成立，利用此结论证明：（1）存在唯一的实数对(),c d ，其中,0,2c d π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使sin(cosc)=c,cos(sind)=d 成立；（2）在（1）的条件下
证明：c<d 。

证明：（1）构造函数()sin(cos ),()cos(sin ),0,.2f x x x g x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭ (0)sin10,()022(0)10,cos1022f f g g ππππ⎧=>=-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪=>=-< ⎪⎪⎝⎭⎩，因此由零点定理知：存在,0,2c d π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()0,()0.f c g d ==由复合函数的单调性知(),()f x g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减。

因此存在唯一的实数对(),c d ，其中,0,2c d π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使sin(cos ),cos(sin ).c c d d == （2）cos(sin ),sin(cos(sin ))sin .d d d d =∴=()0,,sin 0,10,,22d d ππ⎛⎫⎛⎫∈∴∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由（1）中的唯一性知，sin .c d =而sin ,d d <因此.c d <
五、（本题满分20分）函数3221,0sgn()0,0,()log (1).1,0x x x f x x x x x x >⎧⎪===+-+-⎨⎪-<⎩
（1）求证：函数f(x)是定义在R 上的奇函数；（2）对于任意实数,(0)a b a b +≠，求 ()()33sgn .f a f b a b ⎛+⎫ ⎪+⎝⎭
的值。

解：（1）
21,()x x x f x +>≥∴的定义域是R 。

()()()()()()()()()322
2232
232
2322
()log 111log 11log 1log 1()f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x -=-+---+--+++-=---+-=---+-=-+-+-=-()f x ∴是定义在R 是的奇函数。

（2） ()()
322
()log 1(1)(1)log 1log 1.f x x x x x x x x x x x x x x x x x 2232
2322=+-+-+-++=+-++=++++因此()f x 在[)0,+∞上显然递增。

由于()f x 是定义在R 的奇函数，因此函数()f x 在R 上是递增的。

()()()()2
3322202sgn sgn .a b b b a ab b a a b f a f b f a f b a b a b 33+3⎛⎫=-+=-+> ⎪+4⎝
⎭⎛+⎫⎛+⎫∴= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()()()()()()()()()()()00;00.0,sgn sgn 1.a b a b f a f b f a f b f a f b a b a b f a f b f a f b f a f b f a f b f a f b f a f b a b a b a b 33+>⇒>-⇒>-⇒>-⇒+>+<⇒<-⇒<-⇒<-⇒+<+⎛+⎫⎛+⎫∴
>∴== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭。