九年级下册数学课件(北师版)切线长定理

⑴ △PDE的周长是 14 ；
P ⑵ ∠DOE= 70°.
DA
C
O
E B
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，
F，且AB=13 cm，BC=14 cm，CA=9 cm，求AF，BD，CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？
A
理由是什么？
F
解: 设AF=x cm，则AE=x cm.
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
第三章 圆
7 切线长定理
学习目标
1.经历探究切线长定理的过程，体会应用内切圆相关 知识解决问题，渗透转化思想．
2.知道三角形内切圆、内心的概念，理解切线长定理， 并会用其解决有关问题.
重点难点
重点：切线长定理及其应用． 难点：定理的探求、延伸.
温故知新
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
E O
∴CE=CD=AC－AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB－AF=13-x(cm).
由 BD+CD=BC，可得
CD
B
(13-x)+(9-x)=14，解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相 等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
（1）写出图中所有的垂直关系：
A
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
E O CD
P
（2）写出图中与∠OAC相等的角：
B
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形： △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形：△ABP ， AOB.
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
2.这样的切线能画出几条？ 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
A
O 130°
B
P
50°
讲授新课
一 切线长的定义
¤ 切线长的定义
A
过圆外一点画圆的切线，这
O.
P
点和切点之间的线段长叫作
这点到圆的切线长．
B
¤ 切线长与切线的区别
线段PA,PB是点P到 ⊙O的切线长.
练一练:
PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.
A （1）若AP=4，则OP= 5 ;
O
P
（2）若∠BPA=60 °，则OP= 6 . B
典例精析
例1 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B是切点，在 弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于 点D，E.已知PA=7，∠P=40°.则
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量．
二 切线长定理
思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A
重合的点为B．
OB是⊙O的一条半径吗？
A
PB是⊙O的切线吗？
O.
P
PA，PB有何关系？ B
∠APO和∠BPO有何关系？
C是⊙O上异于A，B的点，则∠ACB= 65°或11.5°
A
P O
B 第2题
A
F
E
O
BD
C
第3题
3.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D，E，F三点，如图，已知
AF＝3，BD+CE＝12，则△ABC的周长是 30 .
课堂小结
切线长
切线 长定
理
原理
图形的轴对称性
作用 辅助线
提供了证线段和 角相等的新方法
（利用图形轴对称性解释）
B
若从⊙O外的一点引两条切
线PA，PB，切点分别是点
A、点B，连接OA，OB，
。
P
OP，你能发现什么结论？
O
证明你所发现的结论.
PA = PB ∠OPA=∠OPB
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB，OP=OP，
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
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∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.
¤ 切线长定理
A
过圆外一点所画的圆的两条
切线，它们的切线长相等.
O
P
¤ 几何语言
B ∵PA，PB分别切⊙O于A，B ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB.
★切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
问题：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交 ⊙O于点D，E，交AB于C.
要点归纳
切线长问题辅助线添加方法
A
（1）分别连接圆心和切点；
。
（2）连接两切点；
O
P
（3）连接圆心和圆外一点.
B
随堂练习
1.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，如 果AP＝4，∠APB＝40°，则∠APO＝ 20°，PB＝ 4 .
A
O
P
B 第1题
2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A，B，∠P＝ 50°，点