不等式的证明方法论文1413

不等式的证明方法论文
不等式的证明方法
摘要
不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．
关键词：不等式；证明；方法
Methods for Proving Inequality
Abstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers.
Key words: inequality; proof; method
目录
1 引言 (1)
2 文献综述 (1)
2．1 国内外研究状况 (1)
2．2 国内外研究评价 (1)
2．3 提出问题 (1)
3 构造法 (1)
3．1 构造几何图形 (1)
3．2 构造复数 (2)
3．3 构造定比分点 (2)
3．4 构造主元，局部固定 (3)
3．5 构造概率模型 (3)
3．6 构造方差模型 (3)
3．7 构造数列 (4)
3．8 构造向量 (4)
3．9 构造函数 (4)
4 换元法 (5)
4．1 代数换元 (6)
4．2 三角换元 (6)
5 放缩法 (6)
5．1 添加或舍弃一些正项（或负项） (6)
5．2 先放缩再求和（或先求和再放缩） (7)
5．3 先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） (7)
5．4 放大或缩小因式 (7)
5．5 固定一部分项，放缩另外的项 (8)
5．6利用基本不等式放缩 (8)
6 数学归纳法 (8)
7 结论 (9)
7．1主要发现 (9)
7．2启示 (9)
7．3 局限性 (9)
7．4 努力方向 (9)
参考文献 (10)
1引言
不等式具有丰富的内涵和突出的地位，并且它与数学理论、现实生活、科学研究有着紧密的联系．加之，不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，有些不等式用一般的方法（如比较法、分析法、综合法）很难证出来，或者是论证过程很冗长，亦或根本证不出来[1]．
于是，人们追寻不等式与其它知识的相互联系，构造新颖巧妙的组合，在不同知识体系的交汇处探究问题，逐步提高知识的“整合”能力，把需证明的不等式加以转换，使之以特殊的行之有效的方法得以证明，在此基础上还要注意从不同角度去分析不等式的结构与特征，应用联系、变化、对立统一的观点恰当地将问题转化，从而使不等式的证明化难为易[10]．探讨不等式证明的不同方法是一项有意义的工作，下文通过典型的例题，揭示了一些不等式证明方法在解题中的应用，旨在进一步拓宽人们证明不等式的能力．
2文献综述
2．1国内外研究状况
国内许多专家、学者研究过不等式的证明方法．在其一般方法（比较法、分析法、综合法）的基础上．早在1987年，闻厚贵就在文[1]编著了不等式证法，该书将不等式的证明方法整理归类．1990年，严镇军在文[2]中编著了不等式，该书归纳了不等式的性质、证明技巧以及应用．1987年，易康畏在文[3]中编著了不等式的图解、证明及演绎，该论著利用图解的形式详细的分析证明了不同的不等式． 2009年，刘美香在文[4]中讨论了构造概率模型证明不等式．2003年，赵会娟、尹洪武在文[5]中研究了不等式证明的几种特殊方法．2004年，李文标在文[6]中浅谈了证明不等式的几种非常规方法；朱胜强在文[7]中探讨了不等式证明的几类非常规方法．2008年余焌瑞在文[8]中研究了构造法在不等式中的运用．2002王廷文、王瑞在文[9]中讨论了构造函数证明不等式．1997年，王廷文在文[10]中总结了构造法证明不等式．2007年，常椒凤在文[11]中讨论了数学解题中的图形构造法；同年，王保国在文[12]中介绍了不等式证明的六种非常规方法；黄俊峰在文[13]中介绍了利用向量的性质证明不等式． 2008年，谭景宝在文[14]中介绍用构造法证明不等式；在文[15]中周燕华就利用转换视角、构造主元证明不等式的方法给出了系统、详尽的举例论证．2008年，耿道永在文[16]中提出了有关不等式的几种新颖构造性证法．
2．2国内外研究评价
从查到的国内外文献来看，国内外研究者对不等式证明方法介绍了很多，文献[1-17]分别就不等式的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种不等式证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如判别式法、构造函数法在形式上都是根据二次函数的性质来进行分解求解的，因此可以归为构造函数法．所以，有必要重新整理和归纳不等式证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性．
2．3提出问题
不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．因此在前人研究不等式证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法．
3构造法
所谓构造法，就是指通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、方程、或其等价命题等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学方法．构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性．
3．1构造几何图形
有些不等式若是按常规的代数方法证明，则繁难无比．若是能揭去不等式抽象的面纱，恰当地赋予几何意义，并构造出相应的几何图形，将题设条件及数量关系直接在图形中得到体现，使条件与结论的关系明朗化，就能直观揭露出不等式问题的内在实质，由此获得具体、形象、简洁的证明方法．构造几何图形证明不等式，关键是构造出恰当的几何图形，把不等式由图形来表示出来．常用到 “两点间直线段最短”，“三角形中大边对大角”，“三角形两边之和大于第三边”，“直角三角形斜边大于直角边”等几何知识．
例1已知正数111a b c a b c ,,,,,满足条件111a a b b c c k +=+=+=,求证：2111ab bc ca k ++<．
2k 看作边长为k 的正方形的面积，从中构
分析：如果我们把1ab ，1bc ，1ca 均看作三个矩形的面积，造出前面的这三个矩形．
DF a =，1DG AH b ==，AG BH b ==，
证明：构造边长为k 的正方形ABCD (如图１)，且令
1BE c =，1CF a =，并作出相应的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．
2111ab bc ca k ++<．
图1 由
ABCD S S S S I II III
>++，可得
利用数形结合解题的关键是理解代数式的几何意义，把
已知条件或要证不等式中的代数量直观化
为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式．因此，对于函数的图象和常见曲线要熟记，以便在应用时，能够得心应手，信手拈来．
3．2构造复数
复数之间不存在大小关系，但复数的模、实部、虚部作为实数，它们之间是可以比较大小的，因此复数的模、实部、虚部各自或彼此之间存在一系列不等关系．构造复数证明不等式的思路是，根据待证不等式和已知条件构造复数，然后代入复数模的不等式中，再把模的不等式化为无理不等式或线段不等式．当求证的不等式中出现“平方和的算术根”的形式的时候很容易联想到复数的模．从而可通过构造复数并利用复数模的性质121212Z Z Z Z Z Z +≥+≥-来证明不等式．
例2 设a ，b ，c ∈R ，求证：()2222222a b b c c a a b c +++++≥++． 分析：根据求证式的结构特点，联想复数模的性质121212Z Z Z Z Z Z +≥+≥-． 证明：构造复数1Z a bi =+，2Z b ci =+，3Z c ai =+，则
221Z a b =+， 222Z b c =+， 223Z c a =+， ()()123Z Z Z a b c b c a i ++=+++++()22a b c a b c =++≥++，
而123123Z Z Z Z Z Z ++≥++，所以
()2222222a b b c c a a b c +++++≥++．
构造复数证明不等式有很大的局限性，只有当不等式出现“平方和算术根”时，我们才考虑构造复数．
3．3构造定比分点
设1P ，2P 是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P ，2P 的任意一点，则存在一个实数λ使21PP P P λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所
成的比．显然，当点P 在线段12PP 上时，λ>0；当点P 在线段12PP 或21P P 的延长线上时，λ<0．如果这条直线l 就是x 轴，且1P ，P ，2P 在x 轴上的实数分别为1p ，p ，2p (其中12p p <)，则12p p p <<的充要条件是λ>0．这样，我们就可以将证明一个不等式的问题转化为对一个实数的符号的判断问题．
例3
求证：()()()()
22
2341221x x x x ---≤
≤++． 分析：此题我们通常用判别式法去证．如果设4-，()()()()
22
23221x x x x --++，1分别是有向线段上的三点，则可通过定比λ的值确定内、
外分点来证得．
证明：设4-，()()()()
22
23221x x x x --++，1分别对应数轴上的点1P ，P ，2P ，P 分有向线段12
PP 所成的比为λ，则 ()()()()()()()()
()()22
2
2
22
234221312321221x x x x x x x x x x λ--++++==
--+-
++，
所以，0λ≥或λ不存在，故点P 不是21P P 的外分点；
当0λ>时，()()()()2
2
2341221x x x x ---<<++；当0λ=时，()()()()2
2
23221x x x x --=-4++；当λ不存在时，()()()()
2
2
231221x x x x --=++． 综上所述，可知 ()()()()
22
2341221x x x x ---≤≤++． 3．4构造主元，局部固定
一些不等式的证明，若从整体上考虑很难入手，则当条件或结论中出现多个变量时，我们可以选取其中一个变量为主元局部固定，抓住这个主元逐一证明不等式．通常是先暂时固定某些变量，而考查个别变量的变化、结果，然后再确定整个问题的结果．
例4 设1a ≤，函数()2f x ax x a =+-，求证：当1x ≤时，()5
4
f x ≤
． 分析：该问题一般是通过绝对值不等式的几次放缩来证明，但我们若换一个视角，以a 为主元，将题中关于x 的函数看成a 的一次函数，则原命题的陈述方式可改为：一次函数()()21g a x a x =-+的最值不超过
54
． 证明：设()()21g a x a x =-+，[]1,1a ∈-，[]1,1x ∈-．
当210x -=，即1x =±时，()1g a =±．显然()()5
4f x g a =≤
成立． 当210x -≠时，()g a 是a 的一次函数，故只需证明()5
14
g ±≤．
因为()2
2
151124g x x x ⎛
⎫=+-=+- ⎪⎝
⎭，所以()5114g -≤≤，即()11g ≤；
而()2
2151124g x x x ⎛
⎫-=-++=--+ ⎪⎝
⎭，所以()5114g -≤-≤，即()514g -≤．
综上所述， ()54g a ≤
，即()5
4
f x ≤． 3．5构造概率模型
概率论是研究随机现象的一门数学分支，它既有其独特的概念和方法，又与其它学科分支有着密切的联系．因此在解答有关数学问题时，若能依据题设条件构建概率模型，可使这些数学问题简捷巧妙解决．构造概率模型解题，关键在于要找到恰当的概率模型．一旦运用成功，它能从某些方面体现出问题的本质规律和数学的内在美，往往给人以耳目一新的感觉．
例5 已知0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求证：
4sin 2214x x π+≥⎛⎫++ ⎪⎝
⎭． 分析：原式即
42sin cos 21sin cos x x
x x
+≥++，由条件知0sin 1x ≤≤，0cos 1x ≤≤．于是只需证2sin cos 1sin cos x x x x +≥++，亦只需证
sin cos sin cos 1x x x x +-≤成立，显然利用概率模型来证极为简单．
证明：设两独立事件A 和B ，即()sin P A x =，()cos P B x =， 则 ()()()()P A B P A P B P AB +=+-sin cos sin cos 1x x x x =+-≤， 于是 2sin cos 1sin cos x x x x +≥++．
因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，故sin 0x ≥，cos 0x ≥．即得
42sin cos 21sin cos x x x x +≥++
，所以4sin 2214x x π+≥⎛⎫+ ⎪⎝
⎭． 对于一类涉及0与1的不等式，常可考虑利用概率性质()01P A ≤≤及加法公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，
或()()()()()()()()P A B c P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+来证．其关键是求证式要符合概率加法公式的基本形式．
3．6构造方差模型
方差()()
()
2
2
2
1
2
2
n x x x x x x
S
n
-+-++-=
(其中x 是n 个数据1x ，2x ，，n x 的平均数)，是用于描述数据波动情况的一个量．方
差的表达式可以写成
()
()
2
222
12
122n n x x x x
x x n
S n
++
+++
+-=
．
显然有20S ≥(当且仅当12n x x
x x ===
=时等号成立)
．利用方差这一变式，我们可以通过构造方差来解决一类有关n 个实数的和与
其平方和之间的关系问题．
例6 设
3
52
x ≤≤，证明：
．(2003年全国高中联赛试题) 证明:
设原不等式的左边为u （0u >）
2
2
2
2
2
2
44
u S +
+
+-=
()21114044x u
⎡⎤
=
+-≥⎢
⎥⎣⎦
，
（352x ≤≤） 所以
u ≤≤=
= 故u <,原不等式成立．
通过构造方差模型，使得复杂的无理不等式的证证明问题得以简捷解决．
3．7构造数列
一个不等式有时涉及多个变量．如果能根据题设条件将某些变量看成是数列的项．则可借助数列中项之间的关系来沟通变量间的联系，使问题获解．通过构造等比数列或等差数列．将不等式中出现的多个变量都用公比或公差来表示．实现了化多元为一元．从而简化了不等式证明的难度．有些不等式中含有与自然数有关的变量，这时如果将这一变量看成是某一数列的项数，构造数列，则可结合数列的知识来证明不等式．
例7 求证：1
31212654321+<-⋅⋅n n n ．
分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决．跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列．我们来构一个数列{}n a ．
证明： 令=n a 132********+⋅-⋅⋅n n
n ， 则()()()()4312132222
2
1+⋅++⋅+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+n n n n a a n n =1419281242028122323>++++++n n n n n n 所以，n n a a >+1，从而有，1121=>>>>--a a a a n n n ．因此原不等式得证．
3．8构造向量
向量这部分知识由于独有的形与数兼备的特点，使得向量成了数形结合的桥梁．对于某些不等式的证明，若能依据不等式的条件
和结论，将其转化为向量形式，利用向量和及数量积关系式n m n m
⋅
≤⋅，往往避免复杂的凑配技巧，使证明过程直观而又容易理解．
例8 已知,a b R +∈，1a b +=
证明：设()1,1=m
，(
2n a =
+，则
2m n a ⋅=+2m =，2n
=．
由m n m n ⋅≤⋅，得
≤
构造向量时，要充分考虑待证不等式的结构特征，才能有的放矢．
3．9构造函数
函数揭示了变量之间的对应关系，同样也蕴含着变量之间的不等关系．我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及
函数的单调性等性质证明某些不等式问题．如果能根据题目的条件与所证的不等式的结构特征．合理构造函数，常可使原本复杂的证明变得简便易行．
构造函数证明不等式．其关键在于寻找恰当的函数模型．这往往需要将所证的不等式直接改造成函数关系式，或者将其看成某一函数解析式中的系数满足的关系．来探求函数解析式． 3．9．1构造一次函数
由一次函数b kx y +=的图像可知，如果()0f m >,()0f n >，则对一切(,)x m n ∈均有()0f x >．我们将这一性质称为一次函数的保号性．利用一次函数的保号性可以证明一些不等式．
例9 已知1a <、1b <、1c <,求证:2abc a b c +>++. 分析：首先将不等式化为20abc a b c +--->并整理得
(1)20bc a b c -+-->，可将其看成是关于a 的一次函数式.
证明:构造函数()(1)2f x bc x b c =-+--,这里1b <、1c <、1x <,则1bc <. 因为
(1)12(1)(1)(1)0f bc b c bc b c -=-+--=-+-+->，
(1)12(1)(1)0f bc b c b c =-+--=-->，
所以,一次函数()(1)2f x bc x b c =-+--,当(1,1)x ∈-时,图象在x 轴的上方.这就是说,当1a <、1b <、1c <时,有
(1)20bc a b c -+-->,即2abc a b c +>++.
从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行: ⑴将不等式先移项使右边为零;
⑵将不等号左边的式子整理成关于某一未知数x 的一次式()0f x >;
⑶根据x 的取值范围(,)m n ,确定()f m 与()f n 的符号,确定当(,)x m n ∈时()f x 的符号进而证得不等式.
构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题,从而收到了以简驭繁的效果. 3．9．2构造二次函数
通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程．证明中借助于二次方程的判别式，从而使不等式得证．
),0(x f 2>++=a c bx ax ）（设二次函数则02≥++c bx ax 恒成立的充要条件是，0ac 4-b 2≤=∆，根据这一等价关系，我们可以将关于其中一个不等式的证明转化为对另一个不等式的证明．
例10 若b a 10<
<，求证：1
1
2+<-a b b . 分析：结论即0112>++-a b b ，可将左式看成是以b 为主元的二次函数（其中a a 1
0<<），再予以证明. 证明：令x b =，由b a 10<<，得)1,0(a b x ∈=.构造二次函数)1,0(,11)(2a x a x x x f ∈++
-=.其对称轴为2
1
=x . ⑴当211≤a ，即2≥a 时，f(x)在(0，a
1
)上单调递减.
于是 ）（x f >）（a 1f =)
1(1111122+=++-a a a a a >0
⑵当
2
1
1>a ，即20<<a 时， 有 041
-11)21()(>+=
〉a f x f 综上，当)1,0(a x ∈时，01
1
)(2>++-=a x x x f 恒成立,即不等式112+<-a b b 成立.
4换元法
通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量），从而更容易达到证明的目的，这种证明不等式的方法称之为换元法．换元法多用于条件不等式的证明，换元法分为代数换元和三角换元．此法证明不等式的一般步骤是：
(1)认真分析不等式，合理换元；(2)证明换元后的不等式；(3)得证后，导出原不等式．
4．1代数换元
对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，把冗长而又复杂的不等式化为简单明了的代数式，则可简洁明快的解决问题．
例11 设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.
分析:经过观察,我们发现,把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令
=-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式可化为:
()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.
这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式． 证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则
()z y a +=
21
,(),21z x b +=()y x c +=2
1. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；
当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x ,
0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾),
因此02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z
()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,
综上所述,恒有，()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+
把z y x ,,代入上式得: ()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥
4．2三角换元
三角换元除了要正确换元外，还要熟练掌握三角函数的诱导公式以及三角函数的有界性等必要知识．对于含有根式的不等式或带有绝对值符号的不等式，可用三角换元法．把问题变成了熟悉的求三角函数值域．为什么会想到如此设，其中主要应该是发现
值域的联系，又有去根号的需要．如变量x 、y 适合条件）
（0r r y x 2
22>=+时，则可作三角代换θrcos x =、θrsin y =化为三角问题．
例12 若,122≤+y x 求证:2222≤-+y xy x .
分析:由,122≤+y x 知点()y x ,在圆122=+y x 的内部或边界上,因此可以考虑变换:,sin θr x =θcos r y = ()
πθ20,10<≤≤≤r . 证明:设,sin θr x =θcos r y = ()
πθ20,10<≤≤≤r , 则
222y xy x -+θθ2sin 2cos 2+=r ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤42cos 22πθr 22r ≤2≤.
5放缩法
在不等式证明中，经常用“舍掉一些正（负）项”而使不等式的各项变小（大），或在分式中利用放大或缩小分式的分子、分母，从而达到证明的目的．这种证明不等式的方法称之为放缩法．在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果．但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象．因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要．要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点．掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法．
5．1添加或舍弃一些正项（或负项）
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负值，多项式的值变小．由于证明不等式的需要，有时需要舍
去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的．
例13 已知*21().n n a n N =-∈求证：*12231
1...().23n n a a a
n n N a a a +-<+++∈
证明：
111211111111
.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232
k k k k k k
k k a k n a +++-==-=-≥-=--+- 1222311111111
...(...)(1),2322223223
n n n n a a a n n n a a a +∴
+++≥-+++=-->-
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +∴-<+++<∈ 本题在放缩时就舍去了22k -，使分式值变小，从而使和式得到化简．
5．2先放缩再求和（或先求和再放缩）
若分子, 分母同时存在变量, 要设法使其中之一变为常量．分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．具体可根据题目特征，选择先放缩再求和（或先求和再放缩）．
例14 函数f （x ）=
x
x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +
)(2
1
21*1
N n n ∈-+． 分析：此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和． 证明：由f (n )=
n
n 414+=1-
11
11422
n n
>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n
2211221
122112
1⋅-
++⋅-
+⋅-
)(21
2
1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=+++
+-=+- .
评注：本题通过左边的合理变形和放缩，最终和右边式子的结构特征一致，轻松得到了所证结果．
5．3先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
若不等式证明中涉及较复杂的分式，可根据题目特征，对分式作适当的放缩，以便于裂项化简分式（或先裂项再放缩），达到证
明目的．
例15 已知a n =n ，求证：∑n k=1 k a 2k
＜3． 证明：∑n
k=1
2k
a =∑n
k=1
＜1＋∑n
k=2
1
(k －
1)k (k ＋1)
＜１＋∑n
k=2
2(k －1)(k ＋1) ( k ＋1 ＋k －1 ) =1
n
k =
+=1＋ ∑n k=2 (
1(
k －1) －1
(k ＋1)
) =1＋1＋
2－1(n ＋1) ＜2＋2＜3．
评注：本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标．
5．4放大或缩小因式
若因式中存在变量时，可以选择适当放缩使其中一部分变为常量，具体可根据题目特征选择放大或缩小因式．
例16 已知数列{}n a 满足2
111,0,2n n
a a a +=<≤求证：121
1
().32n
k k k k a a a ++=-<∑
证明
2
2112131110,,,.2416
n n a a a a a a +<≤=∴=≤≤
231
1,0,16
k k a a +∴≥<≤≤
当时 12
1111
1111()()().161632
n
n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==∴-≤-=-<∑∑
评注：本题通过对因式2k a +放大，而得到一个容易求和的式子11
()n
k k k a a +=-∑，最终得出证明．
例17 设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n
求证：2
)1(2)1(2
+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 2
12)21()1(2+=+<+n n n n ∴ 2
12)1(+<+<n n n n ∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n ， ∴2
)1(2)1(2
+<<+n a n n n
评注：本题利用212
n n +<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的． 5．5固定一部分项，放缩另外的项
一些不等式的证明，如若从整体考虑很难入手，通常可以先暂时固定某些项，而通过放缩个别项来达到化简和证明的目的． 例18 求证：
2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n <=--- 2222211111111151171()().123
2231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 评注：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处．
5．6利用基本不等式放缩
针对一些特殊形式的不等式，我们可以运用基本不等式（例：m n a a +）进行放缩求解．
例19 已知
54n a n =-1对任何正整数m n ，都成立.
1，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，
故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++
即只要证 202037m n +->
因为558m n a a m n +=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，
所以命题得证.
评注：本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由m n a a +放大即可.
6数学归纳法
一个与自然数n 有关的数学命题，如果：
（1）能证明当0k n =（0k 是使命题成立的最小整数）时，命题成立；
（2）假设当k n =（0k k ≥的任意正整数）时，命题成立，证明当1k n +=时，命题成立．
那么可以断言，这个数学命题对所有自然数n 都成立．这种证明不等式的方法称之为数学归纳法．
例20 证明不等式n n 21
31
21
1<++++ (n ∈N)．
证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．
②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++
． 那么当n =k +1时，
11
1
31
21
1++++++k k
1
1
1211
2+++=++<k k k k k ()()
1211211
1+=++=++++<k k k k k k ．
这就是说，当n =k +1时，不等式成立．
综上所述：由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．
评注：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是
121113
1
21
1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211
2+<++k k k ．
7结论
7．1主要发现
不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．本文系统地归纳整理了几大类不等式的证明方法．如若学生在掌握不等式的基础知识以后，能够灵活应用文中几类方法，以其为指导，不等式问题将能够迎刃而解，使得解决不等式问题时思路清晰，运算简便．尤其是应用构造法，架起一座连接条件和结论的桥梁，在解决一些非常规不等式时作用很大．
7．2 启示
从文中可以看出不等式与几何图形、复数、概率、方差、数列、向量、函数有着密切的联系，在处理不等式问题时，若能灵活运用这些思想与方法，则会取得事半功倍的效果．教师在讲解具体数学内容和方法时，应该高度重视不等式方法的挖掘和渗透，重视理论和实践的结合，让学生切实领悟其价值，滋生应用的意识．同时学生在解题和学习的过程中也应认真思考，发现和归纳不等式的新方法．
7．3局限性
本文把理论和实践相结合，归纳了几类不等式证明的方法在解题中的应用，其中主要工作属归结概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知识体系间寻求“交汇”跨度大、难度高，不易发现其中的本质联系；二是由于本文整理归纳了较多不等式的证明方法，多则不精，广而不深．
7．4努力方向
不等式的证明方法种类繁多，不同知识体系间的跨度大、难度高．在教学实践中，并不是短时间可以全部学习掌握的，需要长期学习并积累，而对于不等式的证明方法新的研究与发展，则要在大量的实践中不断摸索．。