全国高中数学竞赛专题-不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式
证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）
（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）
（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>⇒>> 对两个以上不等式进行运算的性质.
（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad d
b
c a c
d b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：
（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.
（4）.
||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++
证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。

） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0
A ＞
B ．）
例1 设a, b, c ∈R +，
试证：对任意实数x, y, z, 有x 2+y 2+z 2.))()((2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++++≥xz b a c yz a c b xy c b a a c c b b a abc 证明：左边-右边= x 2+y 2+z
2---
2222
b a
c b x y y z b c c a c a a b =
-++-+++++
22
a c z x a
b b c
+
-+++
2
2
2
0.⎫⎫⎫=+++≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 所以左边≥右边，不等式成立。

（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。

）
例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|.
解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,
|
)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11
>log (1-x)(1-x)=1
（因为0<1-x 2<1，所以x
+11
>1-x>0, 0<1-x<1）.
所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.
2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，
叙述方式为：要证……，只需证……。

）
例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -
只需证332abc ab c ≥+，
因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+， 所以原不等式成立。

例4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：
.)
1(1
)1(1)1(2a b b a c c -+-≤- 证明：因为0<a ≤b ≤c ≤
21
，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)， 所以)1(1
)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-，
所以)
1(2
)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-，
所以只需证明
)1(1
)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+
-≤-+-， 也就是证)
1)(1()1)(1(b a b b
a b a a b a ---≤
---， 只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。

所以命题成立。

3．综合法
例5 若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)。

证明:∵(a+b -c)+(b+c-a)=2b ＞0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c ＞0,
(c+a-b)+(a+b-c)=2a ＞0,
∴a+b -c,b+c-a,c+a-b 中至多有一个数非正.
(1) 当a+b-c,b+c-a,c+a-b 中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.
(2) a +b-c,b+c-a,c+a-b 均为正时,()()2
a b c b c a b +-++-≤
=
,a c
三式相乘得abc ≥(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)
例6 已知△ABC 的外接圆半径R=1，S △ABC =，a,b,c 是△ABC 的三边长，
令S=，t=。

求证：t>S 。

解：由三角形面积公式:1
sin 2bc A .正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.
所以2t=2bc+2ac+2ab.由因为a.b.c 均大于0。

所以所以t>s 。

4．反证法
例7 设实数a 0, a 1,…,a n 满足a 0=a n =0，且a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0，求证a k ≤0(k=1, 2,…, n-1). 证明：假设a k (k=1, 2,…,n-1) 中至少有一个正数，不妨设a r 是a 1, a 2,…, a n-1中第一个出现的正数，则a 1≤0, a 2≤0,…,
a r-1≤0, a r >0. 于是a r -a r-1>0，依题设a k+1-a k ≥a k -a k-1(k=1, 2, …, n-1)。

所以从k=r 起有a n -a k-1≥a n-1-a n-2 ≥…≥a r -a r-1>0.
因为a n ≥a k-1≥…≥a r+1≥a r >0与a n =0矛盾。

故命题获证。

5．数学归纳法
例8 对任意正整数n(≥3)，求证：n n+1>(n+1)n .
证明：1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。

2）设n=k 时有k k+1
>(k+1)k
，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2
>(k+2)k+1
，即1
2
)
2()1(++++k k k k >1. 因为1)1(1>++k k k k ，所以只需证12)2()1(++++k k k k k
k k k )1(1
+>
+， 即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k 2+2k+1>k 2+2k. 显然成立。

所以由数学归纳法，命题成立。

6.分类讨论法
例9 已知x, y, z ∈R +
，求证：.02
22222≥+-++-++-y
x x z x z z y z y y x
证明：不妨设x ≥y, x ≥z.
ⅰ）x ≥y ≥z ，则
z
y z x y x +≤+≤+111，x 2≥y 2≥z 2，由排序原理可得 y
x x x z z z y y y x z x z y z y x ++
+++≥+++++2
22222，原不等式成立。

ⅱ）x ≥z ≥y ，则z
y y x z x +≤
+≤+1
11，x 2≥z 2≥y 2，由排序原理可得 y
x x x z z z y y y x z x z y z y x ++
+++≥+++++2
22222，原不等式成立。

7.放缩法（即要证A>B ，可证A>C 1, C 1≥C 2,…,C n-1≥C n , C n >B(n ∈N +).）
例10 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长，m>0，求证：
.m
c c
m b b m a a +>+++ 证明：m b a m m b a b a m b a b m b a a m b b m a a ++-=+++=+++++>+++1m
c c
m c m +=+->1 （因为a+b>c ），得证。

8.引入参变量法
例11 已知x, y ∈R +
, l, a, b 为待定正数，求f(x, y)=23
23
y
b x a +的最小值。

解： 设k x y =，则k kl y k l x +=+=1,1，f(x,y)=
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++2332
2
)1(k b a l k 22333233333211111l k a k b k b k b k a k a b a l ≥⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+⋅++++ (a 3+b 3+3a 2b+3ab 2)=2
3)(l b a +， 等号当且仅当y b
x a =时成立。

所以f(x, y)min =.)(2
3l
b a +
例12 设x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1，求证：(x 1+x 2+x 3+x 4)2≤4x 1x 2x 3x 4. 证明：设x 1=k(x 2+x 3+x 4)，依题设有
3
1
≤k ≤1, x 3x 4≥4， 原不等式等价于(1+k)2
(x 2+x 3+x 4)2
≤4kx 2x 3x 4(x 2+x 3+x 4)，即k
k 4)1(2
+(x 2+x 3+x 4) ≤x 2x 3x 4，
因为f(k)=k+k 1在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,31上递减，
所以k k 4)1(2
+(x 2+x 3+x 4)=)21(41++k k (x 2+x 3+x 4)≤4
2313++·3x 2=4x 2≤x 2x 3x 4. 所以原不等式成立。

9.局部不等式
例13 已知x, y, z ∈R +，且x 2+y 2+z 2=1，求证：2
22111z z y y x x -+
-+-.23
3≥ 证明：先证
.23312
2
x x
x ≥- 因为x(1-x 2
)=3
323221)1(22
1
3
222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤-⋅x x , 所以.2333
32)
1(12
22
22x x x x x x x =≥-=- 同理
2
2
2331y
y y ≥-，222331z z z ≥-， 所以
.233)(2331112
222
22=++≥-+-+-z y x z z y y x x
例14 已知0≤a, b, c ≤1，求证：1
11+++++ab c
ca b bc a ≤2。

证明：先证
.21c
b a a
bc a ++≤+ ① 即a+b+c ≤2bc+2.
即证(b-1)(c-1)+1+bc ≥a.
因为0≤a, b, c ≤1，所以①式成立。

同理
.21,21c
b a c
ab c c b a b ca b ++≤+++≤+ 三个不等式相加即得原不等式成立。

10.利用函数的思想
例15 已知非负实数a, b, c 满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=
a c c
b b a +++++1
11的最小值。

解：当a, b, c 中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=25，以下证明f(a, b, c) ≥2
5
.
不妨设a ≥b ≥c ，则0≤c ≤
3
3
, f(a, b, c)=.111222
b a
c b a c c ++++++ 因为1=(a+b)c+ab ≤4
)(2
b a ++(a+b)
c ，
解关于a+b 的不等式得a+b ≥2(12+c -c).
考虑函数g(t)=
t c t 112
++, g(t)在[+∞+,12
c ）上单调递增。

又因为0≤c ≤3
3
，所以3c 2≤1. 所以c 2+a ≥4c 2. 所以2)1(2c c -+≥.12+c
所以f(a, b, c)=b a c b a c c ++++++111222≥)
1(21
1)1(2122222c c c c c c c -+++-+++ =1112222+++++c c
c c c =2132111222
2+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c c c c
≥42
c +53(1.2
22
c
=++
下证≥++-c c )11(320 ① ⇔+≥+⇔1332c c c 2+6c+9≥9c 2+9⎪⎭
⎫
⎝⎛-⇔c c 43≥0 .43≤⇔c
因为4
3
33<≤
c ，所以①式成立。

所以f(a, b, c) ≥25，所以f(a, b, c)min =.25
11.构造法
例16 证明：
≤。

提示：构造出（x ，0）到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点
共线时取最大值，从而结论得证。

12.运用著名不等式
（1）平均值不等式：
设a 1, a 2,…,a n ∈R +，记H n =
n
a a a n
11121+++ , G n =n n a a a 21, A n =
12,n
a a a n
++
+
n Q =
则H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a 1=a 2=…=a n .
当n=2时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例 证明：由柯西不等式得A n ≤Q n ，再由G n ≤A n 可得H n ≤G n ，以下仅证G n ≤A n .
1）当n=2时，显然成立；
2）设n=k 时有G k ≤A k ，当n=k+1时，记k k k a a a a ++1121 =G k+1. 因为a 1+a 2+…+a k +a k+1+(k-1)G k+1≥k k k k k k G a k a a a k 1
1121-++⋅+
≥==+-++k k
k k k k k G k G a a a k 22121112122 2kG k+1,
所以a 1+a 2+…+a k+1≥(k+1)G k+1，即A k+1≥G k+1. 所以由数学归纳法，结论成立。

例17 利用基本不等式证明.2
22ca bc ab c b a ++≥++ 【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法. 【略解】ca a c bc c b ab b a 2,2,2223222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证. 【评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
如n n x x x x x x x x x +++≥+++ 211
232
2
221，可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++
再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不等式.
（2）基本不等式有各种变式 如2
)2(2
22b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.
例18 已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8
1
4
4
≥
+b a 【思路分析】不等式左边是a 、b 的4次式，右边为常数8
1
，如何也转化为a 、b 的4次式呢.
【略解】要证,814
4
≥
+b a 即证.)(8
1
444b a b a +≥+ （2）柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则
).)(()(2
22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++
等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立.
证明：不妨设),,2,1(n i a i =不全为0，i b 也不全为0（因为i a 或i b 全为0时，不等式显然成立）.
记A=22221n a a a +++ ，B=2
2221n b b b +++ . 且令),,,2,1(,n i B
b
y A a x i i i i ===
则.1,12
222122221=+++=+++n n y y y x x x 原不等式化为.12211≤+++n n y x y x y x
即≤+++)(22211n n y x y x y x 2222122221n
n y y y x x x +++++++ . 它等价于.0)()()(2222211≥-++-+-n n y x y x y x
其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i == 从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是).(B
A
k ka b i i =
= 变式1：若a i ∈R , b i ∈R , i=1, 2, …, n ，则.)()()(
2
12112∑∑∑===≥n
i i n
i i n
i i
i
b a b a 等号成立条件为a i =λb i ,(i=1, 2, …, n)。

变式2：设a i , b i 同号且不为0(i=1, 2, …, n)，则
.)(1
2
1
1∑∑∑===≥n
i i
i n
i i n
i i
i
b
a a
b a 等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .
例19 设+
∈R x x x n ,,,21 ，求证：.211
221
32
2221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-
【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.
【详解】 ∵0,,,21>n x x x ，故由柯西不等式，得
))((1
22132
2
221132x x x x x x x x x x x x n n n n ++++++++-
21
113
232
12)(x x x x x x x x x x x x n n
n n ⋅
+⋅
++⋅
+⋅
≥- 2121)(n n x x x x ++++=- ，
∴.211
221
32
2221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 【评述】这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.
（3）排序不等式：（又称排序原理）设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤
则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）
1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）
其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.
当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.
证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项),(n k b a n k ≠
则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+ ① 事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a
由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++= 11（n j n ≠）中n b 与n j 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和 n n b a b a b a +++ 2211jn n j j b a b a b a +++≥ 2211 ②
这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a === 21或n b b b === 21时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在n j 及k ，使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.
例20 .222,,,3
33222222ab
c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤
++∈+
求证 【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
【略解】不妨设a
b c c b a c b a 1
11,
,2
2
2
≥≥≥≥≥≥则， 则b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）c c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和）， 同理b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）c
c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和） 两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组ab
ac bc c b a 1113
33≥≥≥≥及， 仿上可证第二个不等式.
例21 设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，求证：.321312112
23221n a a a a n n ++++≤++++
【思路分析】不等式右边各项
2
21
i a i a i i ⋅=；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. 【略解】设n n a a a b b b ,,,,,,2121 是的重新排列，满足n b b b <<< 21，又.1
31211222n
>>>>
所以2
23
221232213232n
b b b b n a a a a n n ++++≥++++
.由于n b b b ,,21是互不相同的正整数， 故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n n
b b b b n 1
211322
23221+++≥++++ ，原式得证.
【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22a b b a b a ⋅+⋅≥+
.3222333abc ab c ac b bc a ca c bc b ab a a c c b b a c b a =⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅≥++
例22 在△ABC 中，试证：
.2
3
π
π
<++++≤
c b a cC bB aA
【思路分析】 可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.
【详解】 不妨设c b a ≤≤，于是.C B A ≤≤由排序不等式，得
.
,,bC aB cA cC bB aA aC cB bA cC bB aA cC bB aA cC bB aA ++≥++++≥++++≥++ 相加，得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π，得
3
π
≥++++c b a cC bB aA ①
又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<
有).
(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ 得
.2
π
<++++c b a cC bB aA ②
由①、②得原不等式成立.
例23 设n b b b ,,,21 是正数n a a a ,,,21 的一个排列，求证
.22
11n b a b a b a n
n ≥+++ 【思路分析】 应注意到),,2,1(11
n i a a i
i ==⋅
【略证】 不妨设n a a a ≥≥≥ 21，因为n a a a ,,,21 都大于0. 所以有n
a a a 11121≤≤≤ ，
又
n
n a a a b b b 1
,,1,11,,1,12121 是的任意一个排列，于是得到 .1
1111122112211n
n n n b a b a b a a a a a a a n +++⋅≤⋅++⋅+⋅
=
例24 设正数c b a ,,的乘积1=abc ，试证：.1)1
1)(11)(1
1(≤+
-+-+-a
c c b b a
【略解】 设x
z c z y b y x a ===,,，这里z y x ,,都是正数， 则原需证明的不等式化为y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然
中最多只有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若
y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数，则z y x ,,是某三角形的三边长. 容易验证)].()()([(31))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤
-+-+-+
故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+ 【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc 证明.2
3)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a 证明：设1,1,1,1====xyz z c y b x a 则，且所需证明的不等式可化为2
3222≥+++++y x z x z y z y x ， 现不妨设z y x ≥≥，则y
x z x z y z y x +≥+≥+， 据排序不等式 得y
x z x z y z y x +++++2
22y x z y x z y x z y x z +⋅++⋅++⋅≥ 及y
x z x z y z y x +++++2
22y x z x x z y z z y x y +⋅++⋅++⋅≥ 两式相加并化简可得)(22
22y
x z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x （4）切比雪夫不等式：
若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，则.21212211n
b b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++
证明：由题设和排序不等式，有n n b a b a b a +++ 2211=n n b a b a b a +++ 2211，
132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ ，……
.11212211-+++≥+++n n n n n b a b a b a b a b a b a 将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式.。