高一上学期期末考数学试卷及答案(偏难)

高一上学期期末数学试卷

总分：150分答题时间：120分钟日期：2016年1月6日

姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________

说明：本试卷适合高一学生使用，难度：偏难

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 设集合，集合．若中恰含有一个整

数，则实数的取值范围是 ( )

A. B. C. D.

2. 函数的定义域为 ( )

A. B.

C. D.

3. 已知两个非零向量和，且、的夹角是钝角或直角，则

的取值范围是 ( )

A. B. C. D.

4. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，秒旋转一周．已知时间

时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是 ( )

A. B.

C. D. 和

5. 已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围为 ( )

A. B.

C. D.

6. 已知为锐角，，，则的值为 ( )

A. B. C. D.

7. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，

则的单调递增区间是 ( )

A. B.

C. D.

8. 如果函数（，）在区间上单调递减，那么

的最大值为 ( )

A. B. C. D.

9. 已知的内角满足，面积满足

，记分别为所对的边，则下列不等式一定成立的是 ( )

A. B.

C. D.

10. 如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是，与间的距离是，

正三角形的三顶点分别在、、上，则的边长是

A. B. C. D.

11. 已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函

数取得最小值，则下列结论正确的是 ( )

A. B.

C. D.

12. 在中，，分别为，中点．为上任一点，实数满足

．设的面积分别为，，，，记，，，则当取最大值时，的值为

( )

A. B. C. D.

二、填空题（共4小题；共16分）

13. 在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过

作于，于，则．

14. 数列中，，则；若有一个形

如的通项公式，其中均为实数，且，则此通项公式为 (要求写出的数值) ．

15. 已知，其中，为参数，且，当

，时，是一个与无关的定值．

16. 已知是的外心，，，若且，则

．

三、解答题（共6小题；共74分）

17. 已知集合，，，

且，，求，的取值或取值范围．

18. 已知向量，，设（）．

(1) 若，求当取最小值时实数的值；

(2) 若，则是否存在实数，使得向量与向量的夹角为？若存在，请求出实数；

若不存在，请说明理由．

19. 已知向量和，，且，求

的值．

20. 设函数．

(1) 讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

(2) 记，求函数在上的最大值；

(3) 在（2）中，取，求满足时的最大值．

21. 已知函数的部分图象如图所示．

(1) 求函数的解析式；

的单调递增区间．

22. 已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将

函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．

(1) 求函数与的解析式；

(2) 是否存在，使得，，按照某种顺序成等差数列？若存在，请

确定的个数，若不存在，说明理由；

(3) 求实数与正整数，使得在内恰有个零点．

答案

第一部分

1. B

2. C

3. D

4. D

5. C

6. D

7. C

8. B

9. A 10. D

11. A 12. D

第二部分

13.

14. ；

15.

16. 或

第三部分

17. (1) ，，

因为，

所以，

因为或．

所以或．

因为，

所以．

若，则，

所以．

若，则，

所以，此时，．

若，则，

所以，

此时，

所以．

综上所述，或，．

18. (1) 当时，，，

，

当时，取得最小值．

18. (2) 假设存在满足条件的实数．由条件得

，

，，，，

，且，得，

存在满足条件．

19. (1) 由题可得，

所以

由，解得

由二倍角公式，得

解得

由，得

则

因此，

20. (1) ，．

，．

因为，所以，．

（i），时，函数单调递增，无极值．

（ii），时，函数单调递减，无极值．

（iii）对于，在内存在唯一的，使得．

时，函数单调递减；时，函数单调递增．

因此，时，函数在处有极小值．

．

20. (2) 时，，当时，取等号成立，

当时，取，等号成立．

由此可知，在上的最大值为．

20. (3) 即为，此时，，

从而．

取，，则，并且．

因此可知，满足条件时的最大值为．

21. (1) 由题设图象知，周期

所以

因为点在函数图象上，所以

即

又因为，所以