2018版高考数学全国用文科一轮专题练习：阶段滚动检测

一、选择题
1．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <0} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{x |－3<x ≤－2}
D ．{x |x ≤－3}
2.(2016·重庆第一次诊断)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( ) A. 2 B ．2 C. 5
D ．5
3．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x
1＋x
是奇函数，则下列命题为假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2) C ．p 1∨p 2
D ．p 1∧(綈p 2)
4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x ＋y －2≥0，
3x －y ＋2≥0，目标函数z ＝2x ＋y ，则z 的取值范围是( )
A ．[－3,3]
B ．[－3,2]
C ．[2，＋∞)
D ．[3，＋∞)
5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的1
2，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x ＝π
2对称，则φ的最小值是( )
A.π4
B.π3
C.3π4
D.3π8
6．(2016·河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( ) A ．1 024 B ．2 012 C ．2 026
D ．2 036
7．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )
A.25
B.14
C.35
D.45
8．(2016·烟台诊断)甲、乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如茎叶图所示，依此判断( )
A ．甲成绩稳定且平均成绩较高
B ．乙成绩稳定且平均成绩较高
C ．甲成绩稳定，乙平均成绩较高
D ．乙成绩稳定，甲平均成绩较高
9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥β
C ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥n
D ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
10.如图，设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )
A.25 B ．－25
C.55
D ．－
55
11．被戏称为“最牛违建”的北京“楼顶别墅”已拆除．围绕此事件的种种纷争，某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到下表：
附：
K 2
＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d
A ．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”
B ．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别无关” 12．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
二、填空题
13．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－1
2
在区间[－3,5]内的所有零点之和为________．
14．假设你家订了一盒牛奶，送奶人可能在早上6：30～7：30之间把牛奶送到你家，你离开家去学校的时间在早上7：00～8：00之间，则你在离开家前能得到牛奶的概率是________． 15．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)上，且AB ⊥x 轴，AC ∥x 轴，则
|AC |·|AB |
|BC |2
的最大值为________．
16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． 三、解答题
17．(2016·乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －1
2 (a >0)的图象与直线y ＝b 相
切，并且切点的横坐标依次成公差为π
2的等差数列．
(1)求a ，b 的值；
(2)若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤x 0，x 0＋π2上的单调增区间．
18．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b . (1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；
(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
19.(2016·辽宁朝阳三校协作体联考)如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，PD ＝6，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．
(1)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
(2)若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P —EAD 的体积．
20．(2016·晋江第四次联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－10
3
a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且n ∈N *)，若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列． (1)求实数λ；
(2)求数列{a n }的通项公式； (3)设S n ＝∑n
i ＝1 1a i ，求证：S n
<32.
21.已知函数f(x)＝1－x
1＋x2
e x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2<0.
22．(2016·云南腾冲第一次联考)已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1 (a>b>0)的离心率e＝
6
3，过点A(0，－b)
和B(a,0)的直线与原点的距离为
3 2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设F1，F2为椭圆的左，右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．
答案精析
1． A [A ＝{x |x 2＋x －2≤0}＝{x |－2≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }＝{x |0≤x ≤2}，
所以∁U B ＝{x |x <0或x >2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－2≤x <0}，故选A.] 2．C [由(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，得a ＋1＋(1－a )i ＝3＋b i ，
根据复数相等的条件知⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋1＝3，
1－a ＝b ，
解得a ＝2，b ＝－1，所以复数a ＋b i ＝2－i ，故其模为22＋（－1）2＝ 5.] 3．D [函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]的定义域是(－1,1)且是偶函数，命题p 1为真命题； 函数y ＝ln
1－x
1＋x
的定义域是(－1,1)且是奇函数，命题p 2是真命题． 故命题p 1∧p 2、p 1∨(綈p 2)、p 1∨p 2均为真命题，只有命题p 1∧(綈p 2)为假命题．] 4．C [画出满足约束条约的平面区域，如图所示：
由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，
显然直线y ＝－2x ＋z 过(0,2)时，z 最小，最小值为2，无最大值．故选C.]
5．D [将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的1
2，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π
4的图象，此图象关于直线x ＝π2对称，故2×π2－2φ＋π4＝π2＋k π (k ∈Z )，解得φ＝3π8－k π
2(k ∈Z )，
又φ>0，故φmin ＝
3π
8
，故选D.] 6．C [因为a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，则0<n ＝2k －2≤2 016，即2<2k ≤2 018，解得1<k ≤10，故所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22（1－29）1－2
－18＝211－22＝2 026，故选C.]
7．D [由(x ＋1)(x －3)≤0，解得－1≤x ≤3，在[－2,3]上随机取一个数是等可能的，所以符合几何概型的条件，所以所求事件的概率P ＝3－（－1）3－（－2）＝4
5
，故选D.]
8．D [由题意得，x 甲＝2×80＋5×90＋157＝6257，x 乙＝3×80＋4×90＋237＝623
7＝89，
显然x 甲>x 乙，且从茎叶图来看，甲的成绩比乙的成绩离散程度大，说明乙的成绩较稳定，故选D.]
9．B [对于A ，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．]
10．D [等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的两条渐近线方程为y ＝±x ，所以M (－a ，－a )，N (a ，a )，则|AN |2
＝(a ＋a )2
＋a 2
＝5a 2
，|AM |2
＝a 2
，|MN |2
＝8a 2
，则cos ∠MAN ＝5a 2＋a 2－8a 225a 2
＝－5
5.]
11．A [因为K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
≈3.030>2.706，所以有90%以上的把
握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”．]
12．B [由程序框图可知；①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5.第⑤步后输出k ，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15，故选B.] 13．4
解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称， 可得－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫
12－x ，
又因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，所以－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭
⎫1
2＋x ， 再令x 取x ＋1可得－f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋x ，所以有f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭
⎫1
2＋x ，
可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－1
2在区间[－3,5]
内的所有零点之和为1
2×2×4＝4.
14.78
解析 设牛奶送达的时间为x ，我离开家的时间为y ，则样本空间Ω＝{(x ，y )|⎩
⎪⎨⎪⎧
6.5≤x ≤
7.5，
7≤y ≤8，
在离开家前能得到牛奶的事件A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪
⎧
6.5≤x ≤
7.5，7≤y ≤8，
y ≥x ，
作图如下，可得所求概率P ＝1－12×12×1
21×1＝7
8
.
15.1
2
解析 不妨设椭圆上的点A (m ，n ) (m >0，n >0)，由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )，则|AC |＝2m ，|AB |＝2n ，|BC |＝2m 2＋n 2，则|AC |·|AB |
|BC |2
＝
2m ·2n m 2＋n 2
＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝1
2
(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)． 16．②
解析 根据题意，f (x )－log 2x >0且是唯一的值，设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝t ＋log 2x ，又f (t )＝3，所以3＝t ＋log 2t ，此方程有唯一解t ＝2，所以f (x )＝2＋log 2x .方程f (x )－f ′(x )＝2，即方程log 2x －1x ln 2＝0.设h (x )＝log 2x －1
x ln 2，则该函数为(0，＋∞)上的增函数．
又h (1)＝－1ln 2<0，h (2)＝1－1
2ln 2>0，
所以方程f (x )－f ′(x )＝2的解在区间(1,2)内．
17．解 (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax －1
2
＝－sin ⎝
⎛⎭⎫2ax ＋π
6， ∵y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 相切， ∴b 为f (x )的最大值或最小值， 即b ＝－1或b ＝1.
∵切点的横坐标依次成公差为π
2的等差数列，
∴f (x )的最小正周期为π
2
，
即T ＝
2π|2a |＝π
2
，a >0， ∴a ＝2，即f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由题意知sin ⎝⎛⎭⎫4x 0＋π
6＝0， 则4x 0＋π
6＝k π (k ∈Z )，
∴x 0＝k π4－π
24
(k ∈Z )，
由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此x 0＝5π24 或x 0＝11π24.
当x 0＝5π
24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π24，π3和⎣⎡⎦⎤7π12，17π24； 当x 0＝11π
24
时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎤7π12，5π6. 18．解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b 包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个． (1)∵直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，∴5a 2＋b
2＝1， 整理得a 2＋b 2＝25. 由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，
∴满足条件的情况只有a ＝3，b ＝4或a ＝4，b ＝3两种情况． ∴直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118.
(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形， ∴当a ＝1时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝2时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝3时，b ＝3,5，共2个基本事件； 当a ＝4时，b ＝4,5，共2个基本事件； 当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件； 当a ＝6时，b ＝5,6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个． ∴三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝7
18.
19．(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，
∴AC ⊥PD .∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD .
又∵PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD .
∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD .
(2)解 ∵PD ∥平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD ＝OE ，PD ⊂平面PBD ，
∴PD ∥OE .
∵O 是BD 的中点，∴E 是PB 的中点．
取AD 的中点H ，连接BH ，
如图所示．
∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴BH ⊥AD .
又∵BH ⊥PD ，AD ∩PD ＝D ，
∴BH ⊥平面P AD .
又BH ＝32AB ＝3，∴V P —EAD ＝V E —P AD ＝12V B —P AD ＝12×13×S △P AD ×BH ＝16×12×2×6×3＝22
. 20．(1)解 由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，
∵a n ＋1－103
a n ＋a n －1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝－103，λμ＝－1，
∴λ＝－13或λ＝－3. (2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－13
时， a n －13
a n －1＝3n －1，① n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝1
3n －1.② 由①②可得a n ＝38⎝
⎛⎭⎫3n －13n (n ≥2)， 当n ＝1时，也符合．
∴a n ＝38(3n －13n )，n ∈N *. (3)证明 由(2)知，a n ＝38⎝
⎛⎭⎫3n －13n >0， ∵a n －3a n －1＝13
n －1，∴a n >3a n －1， ∴1a n <13·1a n －1
(n ≥2)． ∴S n <1a 1＋13⎝⎛⎭
⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1 ＝1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1
＋1a n －13a n <1a 1＋13S n . ∴S n <32
. 21．(1)解 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．
f ′(x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2e x ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 2－2x －1（1＋x 2）2＋1－x 1＋x 2e x ＝－x [（x －1）2＋2]（1＋x 2）2
e x . 当x <0时，
f ′(x )>0；
当x >0时，f ′(x )<0.
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)证明 当x <1时，由于1－x 1＋x 2>0，e x >0，故f (x )>0； 同理，当x >1时，f (x )<0.
当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2，
由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．
下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )，
即证1－x 1＋x 2e x <1＋x 1＋x 2
e －x . 此不等式等价于(1－x )e x －1＋x e x <0. 令g (x )＝(1－x )e x －1＋x e x ， 则g ′(x )＝－x e －
x (e 2x －1)． 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，从而g (x )<g (0)＝0.
即(1－x )e x －1＋x e x <0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )．
而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)<f (－x 2)，
从而f (x 1)<f (－x 2)．
由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，
f (x )在(－∞，0)上单调递增，
所以x 1<－x 2，即x 1＋x 2<0.
22．解 (1)直线AB 的方程为x a ＋y －b
＝1， 即bx －ay －ab ＝0.
原点到直线AB 的距离为
ab a 2＋b
2＝32， 即3a 2＋3b 2＝4a 2b 2.①
e ＝c a ＝63⇒c 2＝23
a 2.② 又a 2＝
b 2＋
c 2，③
由①②③可得a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2.
故椭圆的方程为x 23
＋y 2＝1. (2)F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 当直线PQ 斜率不存在时，易得r ＝23. 由于直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ＝ky ＋2，
联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋2，
x 23＋y 2＝1
⇒(k 2＋3)y 2＋22ky －1＝0， 故⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－22k k 2＋3，y 1y 2＝－1k 2＋3， ④
而1F PQ S ∆＝1212F F P F F Q S S ∆∆+＝12
|F 1F 2||y 1－y 2|＝ 2 （y 1＋y 2）2－4y 1y 2，⑤ 将④代入⑤，得1F PQ S ∆＝ 2 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22k k 2＋32＋4k 2＋3＝26k 2＋1k 2＋3.
又S △F 1PQ ＝12(|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |)·r ＝2a ·r ＝23r ，所以26k 2＋1k 2＋3
＝23r ， 故r ＝2k 2＋1k 2＋3＝2k 2＋1＋2k 2＋1≤12，当且仅当k 2＋1＝2k 2＋1，即k ＝±1时，取得“＝”． 故△PQF 1的内切圆半径r 的最大值为12
.。