最新-2018学年度高三上学期数学期末测试试卷及答案【

2018－2018学年度江苏省靖江高级中学高三数学
期末试卷
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．如果复数)1)((2mi i m ++是实数，则实数m ＝ ．
2．集合}120,,2{<<∈==n N n n x x A ，}80,,3{≤≤∈==m N m m y y B ，则集合B A 的所有元素之和为 ．
3．平面上两定点A 、B 之间的距离为10，动点P 满足6=-PA PB ，则点P 到AB 中点的距离的最小值为 ．
4．已知函数2sin cos )(++=x x a x f ，其图象关于直线6
π
=
x 对称，则实数a 的值为 ．
5．设点O 为ABC ∆的外心，13=AB ，12=AC ，则⋅＝ ．
6．某市的士收费办法如下：不超过2公里收7元（即起步价7元），超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃料费即附加费1元（不考虑其他因素），相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填 。

7．函数a ax x y +-=23
在（0,1）内有极小值的一个充分必要条件是 ． 8．对于多项式0111)(a x a x a x a x p n n n n ++++=-- ，当0x x =时，用直接求和的方法求)(0x P ，可做加法和乘法的次数分别记为1y 、2y ；利用秦九韶算法求)(0x P 可做加法和乘法的次数分别记为3y 、4y ，则当25=n 时=++))((4321y y y y ．
9．动点),(b a P 在不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥-≤-+000
2y y x y x 表示的平面区域内部及其边界上运动，则
1
3
--+=
a b a W 的取值范围是 ．
10．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的体积为 ．
俯视图
主视图
A
C
B
左视图
11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组［13，14）；第二组［14，15）……第五组［17，18］，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩且已知]18,17[)14,13[, ∈n m ，则事件“1>-n m ”的概率为 ．
12．已知}{n b 是等差数列，对于给定的正整数m ，若12
121=++m b b ，则
1221+++++m m m b b b 的最大值为 ．
13．若不等式y x k y x +≤+2对于任意正实数x 、y 成立，则k 的取值范围为 ． 14．通过研究函数12102)(24-+-=x x x x f 在实数范围内的零点个数，进一步研究可得),3(12102)(2N n n x x x x g n ∈≥--+=在实数范围内的零点个数为 ． 二、解答题
15．（14′）设)2
,0(π
α∈，函数)(x f 的定义域为]1,0[，且0)0(=f ，1)1(=f ，当y
x ≥时，)()sin 1(sin )()2
(
y f x f y
x f αα-+=+． （Ⅰ）求)21(f ，)4
1
(f ； （Ⅱ）求α的值；
（Ⅲ）求)2cos()2sin(3)(x x x g -+-=αα的单调增区间．
16．（15′）如图，E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点，沿EF 将AEF ∆折起到EF A '∆的位置，连结B A '、C A '．
（Ⅰ）求证：平面EC A '⊥平面BC A '； （Ⅱ）求证：A A '⊥平面BC A '；
（Ⅲ）过EF 作一平面EFPQ 同时与直线A A '、BC 平行设交B A '、C A '分别于P 、Q 两点，试指出P 、Q 的位置，并求截面EFPQ 分四面体ABC A '的两部分的体积比：
PQ EFBC AEFPQ A V V :'．
E
A
B C
A ′
F
17．（14′）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施，该设施的下部ABCD 是矩形，其中2=AB 米，5.0=BC 米。

上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点，EMN ∆是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB 、DC 不重合）
（Ⅰ）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积；
（Ⅱ）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数)(x f S =；
（Ⅲ）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求
出这个最大面积．
18．（15′）如图，椭圆12
:22
=+y x E 的右焦点为F ，过焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设弦AB 、CD 的中点分别为M 、N ．
（Ⅰ）求证：直线MN 恒过定点T ，并求出T 的坐标；
（Ⅱ）求以AB 、CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程，并判断定点T 与轨迹的位置关系．
A B M
N D C
E m E
A B
C D M
N
m 图1 图
2
19．（16′）已知函数x x p
Px x f ln )(--=，)21(ln )(2
2P
e e x P x x g -+-=，其中无理数 17828.2=e ．
（Ⅰ）若0=P ，求证：x x f ->1)(；
（Ⅱ）若)(x f 在其定义域内是单调函数，求P 的取值范围；
（Ⅲ）对于区间（1,2）中的任意常数P ，是否存在00>x ，使)()(00x g x f ≤成立？若存在，求出符合条件的一个0x ；否则说明理由．
20．（16′）定义数列}{n a ：11=a ，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧∈+=∈=+=*
-*
-N k k n a N k k
n r
a a n n n 12221
1
其中0≥r 常数．
（Ⅰ）若当0=r 时，n n a a a S +++= 21；
（1）求：S n ；（2）求证：数列}{2n S 中任意三项均不能构成等差数列．
（Ⅱ）求证：对一切*
∈N n 及0≥r ，不等式421212<∑=-n
k k
k k
a a 恒成立．
江苏省靖江高级中学2018－2018学年度
高三数学最后一卷（附加题）
21．选做题：本大题共4小题，请从A 、B 、C 、D 这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题10分，共20分。

解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A ．ABC ∆中，AC A
B <，AD 、AE 分别是B
C 边上的高和中线，且EAC BA
D ∠=∠，证明BAC ∠是直角．
B ．变换T 1是逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=11012M ．
（Ⅰ）求点)1,2(P 在T 1作用下的点P '的坐标；
（Ⅱ）求函数2
x y =的图象依次在T 1 、T 2变换作用下所得曲线的方程．
C ．已知直线4)4
sin(:=-
π
θρl 和圆)0()4
cos(2:≠+
=k k C π
θρ，若直线l 上的点
到圆C 上的点的最小距离等于2． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）求实数k 的值． D ．已知x 、y 、z 为正数，求证：
z
y x xy z zx y yz x 111++≥++．
必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人浏览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否浏览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有浏览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数13)(2+-=x x x f ξ在),4[+∞上单调增”为事件A ，求事件A 的概率；
23．已知数列}{n a 满足11=a ，且)(92411*++∈=+-N n a a a a n n n n ． （1）求1a 、2a 、3a 、4a 的值；
（2）由（1）猜想}{n a 的通项公式，并给出证明．
江苏省靖江高级中学2018－2018学年度期末模拟卷
高三数学参考答案
1．－1 2．36 3．3 4．35．225
-
6．)2(268-+=x y 7．
)
23,0(a a ∈8．700
9．),2[]2,(+∞--∞ 10．2311．4412．)
1(210
+m
13．
),216
[
+∞
14．⎩⎨
⎧为奇数时为偶数时
n n 32
15．（Ⅰ）令1=x ，0=y ，α
ααsin )0()sin 1(sin )1()21
(=-+=f f f 令
21=
x ，0=y ，α
α2sin sin )21
()41(==f f ．……………………………4′
（Ⅱ）令1=x ，
21
=
y ，)21()sin 1(sin )1()43(f f f αα-+=
α
ααααsin 2sin sin )sin 1(sin 2+-=-+=． 令
43
=
x ，41=y ，
αααα23sin 3sin 2)4
1
()sin 1(sin )43()21(+-=-+=f f f αααsin sin 3sin 223=+-∴
2
1
sin =∴α
)
2,0(π
α∈
6π
α=
∴ ………………………………………………………9′
（Ⅲ）
)
26
cos(
)26
sin(
3)(x x x g -+-=π
π
)322sin(2)23
sin(
2)6
26
sin(
2π
π
π
π
+=-=+
-=x x x 要使)(x g 单调增区间，则
z
k k x k ∈+≤+
≤-
2
23222
2ππππ
π
∴单调增区间是：
)(]12,127[z k k k ∈--
π
πππ ……………………………14′
16．（Ⅰ）∵AC 是直角ABC ∆的直角边F E 、分别是AC 、AF 中点
∴EF ∥BC
AC BC ⊥ AC EF ⊥∴
E A E
F '⊥ E A BC '⊥∴
EC A AC E A E
AC E A '⊂'='平面、
C E A BC '⊥∴平面C B A BC '⊂平面又
∴平面EC A '⊥平面BC A ' ………………………………………………5′
（Ⅱ）C E A BC '⊥平面 C E A A A '⊂'平面 A A BC '⊥∴
又A E EC EA '== ︒='∠∴90C A A C A A A '⊥'∴
C C A BC =' BC A C A BC '⊂'平面、
∴A A '⊥平面BC A ' …………………………………………………………
10′
（Ⅲ）取B A '、C A '的中点P 、Q ，PQ ∴ BC
21，EF BC 21
EF ∴ PQ Q P F E 、、、∴四点共面，易知平面EFPQ
同时与A A '、BC 平行。

取BC 的中点R 连PR 、FR 设S S BRF =∆，P 到平面ABC 的距离为h
Sh
Sh Sh V BFEQC 34
31=+=∴
38sh
V ABC A =
-' ∴PQ EFBC AEFPQ A V V :'＝1：1 ……………………………
15′
17．解：（Ⅰ）由题意，当MN 和AB 之间的距离为1米时，MN 应位于DC 上方，且此时EMN
∆中，MN 边上的高为0.5米，又∵
121
==
=DC EN EM 米，可得3=MN 米。

∴
4321=⋅=
∆h MN S EMN 平方米，即三角通风窗EMN 的通风面积为43
平方米．……4′
＝ ∥ ＝ ∥ ＝ ∥ E
A
B
C A ′ F
R
Q
P
（Ⅱ）（1）如图（1）所示，当MN 在矩形区域滑动，即
)
21,0(∈x 时，EMN ∆的面积 x x MN x f S -=-⋅⋅=
=21
)21(21)(； ……………………………………………
…6′
（2）如图（2）所示，当MN 在半圆形区域滑动，即
)
23
,21(∈x 时， 2
)21
(12--=x MN ，
可得EMN ∆的面积
)21()21(1221)21(21)(2-⋅--⋅=-⋅=
=x x x MN x f S
2
)21
(1)21(--⋅-=x x ； …………………………………
8′
综合（1）（2）可得
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧∈--⋅-∈+-==)32,21(,)21(1)21()21,0(21)(2x x x x x x f S …………………9′
（Ⅲ）（1）当MN 在矩形区域内活动时，)(x f 在区间
)
21
,0(上单调递减， 则有
21
)0()(=
<f x f ； …………………………………………………………
11′
（2）当MN 在半圆形区域内滑动时
2
222)]21
(1[)21()21(1)21()(---=---=x x x x x f
212)]21(1[)21(2
2=--+-≤
x x 此时
)23,21()21(21∈+=x
)21(21
+=
∴x （米）时，每个三角通风窗 EMN 得到最大通风面积，
最大通风面积为
21
max =
S （平方米） ……………………………………14′
18．解：
（Ⅰ）)0,1(F ，不妨设AB 的斜率存在且不为零
设)1(:-=x k y AB 0224)1(2
2)1(22222
2=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=∴k x k x kx y x x k y
)21,212(2
22k k
k k M +-+∴，同理)2,22(22++k k k N ……………………………3′
∴MN 过定点（0
,32
），当AB 的斜率不存在或为零时
同样MN 过定点（0,32），∴T （0,32
）． ………………………………………7′
（Ⅱ）以AB 为直径的圆M 的方程为：
22
2224222222
2
=+-++++-+k k y k k x k k y x
① …………9′
同理以CD 为直径的圆N 的方程为：
212121221422
222
2
=+-++-+-+k k y k k x k y x
② ………
11′
①－②得公共弦直线方程为
51
64=--+
y k k
x
③
又MN 直线方程
32)1(322=--
y k k x
④
由③、④消去R 得两圆公共弦中点的轨迹方程为： …………………………
15′
)45
)(32(2=+--y x x ∴点T 在圆上
19．（Ⅰ）证明：当0p =时，()ln f x x
=-．令()l n 1
m x x x =-+，则
()111x
m x x x -'=
-=．
若
()01,0
x m x '<<>，
()
m x 递增；若
()1,0x m x '><，
()
m x 递减，则1x =是
()
m x 的极（最）
大值点．于是
()()10
m x m ≤=，即l n
1x x -+≤．故当0p =时，有
()1f x x
≥-． ……………………4′
（Ⅱ）解：对()ln p
f x px x
x =--求导，得()2221p px x p f x p x x x -+'=+-=．
①若0p =，()1
0f x x '=-<，则()f x 在()0,+∞上单调递减，故0p =合题
意． ……………6′
②若0p >，
()2
2111244h x px x p p x p p p p p ⎛⎫=-+=-+-≥- ⎪
⎝⎭． 则必须
()1
0,04p f
x
p
'-
≥≥，故当
12p ≥
时，()f x 在()
0,+∞上单调递
增． ……………8′ ③若0p <，
()
h x 的对称轴
1
02x p
=
<，则必须
()()00,0
h f x '≤≤，故当0p <时，
()
f x 在
()
0,+∞上单调递减．综合上述，
p
的取值范围是
(]
1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭．
…………………………………10′
（Ⅲ）解：令
()()()222ln e e
F x f x g x px x px
-=-=-+
．则问题等价于找一个00x >使
()0
F x ≤成立，故只需满足函数的最小值
()min 0
F x ≤即
可． ………………………………………12′
因
()()()222
22222px e px e e e p e e F x p x x x px px x p p --+⎛⎫⎛⎫
--'=--==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 而
220,12,
0,0e e x p p p p
-><<>><，故当
0e
x p
<<
时，
()0
F x '<，
()
F x 递减；当
e x p
>
时，()0F x '>，()F x 递增．于是，()min 22ln 222ln 40
e F x F e p e e p p ⎛⎫
==-++-=+-> ⎪⎝⎭．
与上述要求
()m i n
0F x ≤相矛盾，故不存在符合条件的
0x ． ………………………………………16′
20、解：（1）当0r =时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8.从而猜出数
列
{}
21k a -、
{}2()
k a k N *∈均为等比数
列。

………………………………………………………2′
∵22122212212,22k k k k k k a a a a a a --+-====，∴数列{}21k a -、{}2()k a k N *
∈均为等比
数列，∴
12122k k k a a --==。

………………………………………………………4′
①∴
2135212()k k S a a a a -=+++
+2(21)k =-=122k +-，
11212221222322k k k k k k S S a -----=+=-+=⨯-，
∴121
222,2,.322,21,n
n n n k S k N n k +-⎧-=⎪=∈*⎨⎪⨯-=-⎩
…………………………………………
6′
②证明（反证法）：假设存在三项
,,(,,,)
m n p S S S m n p N m n p *∈<<是等差数列，即
2n m p
S S S =+成立。

因,,m n p 均为偶数，设12m m =，12n n =，12p p =，（111,,m n p N *
∈）， ∴11122(21)2(21)2(21),n m p ⨯-=-+-即
111
2222,n m p ⨯=+ ∴11111
2
12n m p m -+-=+，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。

……………………
10′ （2）∵
221222k k k a a r a r --=+=+，∴2222()k k a r a r -+=+，∴{}2k a r +是首项为
12r +，公比为2的等比数列，∴1
2(12)2k k a r r -+=+⋅。

又∵
2122122()k k k a a a r +-==+，∴212122(2)k k a r a r +-+=+，∴{}212k a r -+是首项为
12r
+，
公
比
为
2
的
等
比
数
列
，
∴
1212(12)2k k a r r --+=+⋅ 。

…………………………………12′
∴
11
21222(12)22(12)2k k
k k k k a a r r r r ---==⎡⎤⎡⎤+⋅-⋅+⋅-⎣⎦⎣⎦1
21
2(12)2(12)2k k k r r r r ---=⎡⎤⎡⎤+⋅-⋅+⋅-⎣⎦⎣⎦
21211
12(12)2(12)2k k r r r r r --⎡⎤⋅-
⎢⎥++⋅-+⋅-⎣⎦，
∴21112122211
12(12)2(12)2k n
n k k k k k k
a a r r r r r --==-⎡⎤=-=⎢⎥++⋅-+⋅-⎣⎦∑∑ 1121112(12)2(12)2n r r r r r --⎡⎤-<⎢⎥++⋅-+⋅-⎣⎦2241212212r r r r ⋅=++-+。

∵0r ≥，∴4
412r ≤+。

∴121224
k n
k k k
a a =-
<∑。

……………………………………16′。