成都大学附属中学选修二第一单元《数列》检测(有答案解析)

一、选择题
1．数列{}n a 中，112
a =，()
*
,m n m n a a a m n +=∀∈N ，则6a =（ ） A ．
116
B ．
132
C ．
164
D ．
1128
2．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+
B ．2
()4f x x =
C ．3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．4()log f x x =
3．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足
1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}
n a 的最小项是（ ） A ．第6项
B ．第7项
C ．第12项
D ．第13项
5．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．2020
6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8
B ．13
C ．26
D ．162
7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．11
1143
3⨯- B ．12
1143
3⨯- C ．10
1243
3
⨯+
D ．11
1243
3
⨯+
8．数列{}n a 的通项公式为1
2n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式
()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A ．3λ
B ．4λ
C ．2
3λ D ．34λ
9．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足
“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项
B ．133项
C ．134项
D ．135项
10．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()
*
21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记数列{}
2n
n a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
11．已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）
A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
12．在等差数列{}n a 中，10a >，10110a a ⋅<，若此数列的前10项和1036S =，前18项和
1812S =，则数列{||}n a 的前18项和18T 的值是（ ）.
A ．24
B ．48
C ．60
D ．84
二、填空题
13．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12
-，前n 项和为n S ，则当n *∈N 时，1n
n S S -的最大值与最小值之和为_________.
14．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.
15．已知递增数列{}n a 共有2020项，且各项和均不为零，20202a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和
2020S =______．
16．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？
17．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________. 18．已知正项等比数列
满足：
,若存在两项
使得
,则
的最小值为
．
19．牛顿迭代法（Newton 's method ）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton –Raphsonmethod ），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()
00,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标
()
()
()()01000'0'f x x x f x f x =-
≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线
()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值.重复以
上过程，直到r 的近似值足够小，即把n x 作为()0f x =的近似解.设123,,,,n x x x x 构成
数列{}n x .对于下列结论：
①()
()
()12'n n n n f x x x n f x -=-
≥； ②()
()
()1112'n n n n f x x x n f x ---=-≥；
③()()()
()()
()12112'''n n n f x f x f x x x f x f x f x =----； ④()()()
()
()
()
()12111212'''n n n f x f x f x x x n f x f x f x --=-
---
≥.
其中正确结论的序号为__________．
20．数列{}n a 满足()211122,3,
1
n n n
n n a a a a n a -+--+==+，21a =，33a =，则
7a =________.
三、解答题
21．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知(
)*
1382,5a a a n N +=-=∈.
（1）求n a ； （2）若数列()()11
44n n n b a a +=
++，求数列n b 的前n 项和n T .
22．数列{}n a 满足()1121n
n n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）. （1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值； （ii ）求{}n a 的通顶公式；
（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：
48411114
n S S S ++⋅⋅⋅+< 23．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足33n n
S a =-，()
*
32
3log 1n n b a n N =+∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）记2
n n n c a b λ=-，若数列{}n c 为递增数列，求λ的取值范围.
24．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，21
2
b =
，1
2n b +2
11n n b b +=
+，(n ∈N *). （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）数列{c n }满足n n n a c b =
，求证：1233
4
n c c c c ++++<…. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
2
n n S a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21
n
n b a n =
+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{}n a 满足1
112,22n n n a a a ++=-=．
（1）证明2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【分析】
由,m n 的任意性，令1m =，可得112
n n a a +=，即数列{}n a 是首项为12，公比为1
2得等
比数列，即可求出答案. 【详解】
由于*,m n ∀∈N ，有m n m n a a a +=，且11
2
a = 令1m =，则1112
n n n a a a a +==
，即数列{}n a 是首项为12，公比为1
2得等比数列，
所以1
11111222n n n n a a q --⎛⎫
⎛⎫==⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，故6
611264a ⎛⎫
==
⎪⎝⎭ 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列，解题的关键是特殊值取法，由,m n 的任意性，令
1m =，即可知数列{}n a 是等比数列，考查学生的分析解题能力与运算能力，属于一般题.
2．D
解析：D 【分析】
把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知
1
n n
x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】
对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于B ，函数2
()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2
4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为
常数，
因此1n n y y +-＝()
2222
14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于C ，函数3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为常数，
因此1n n y y +-＝133()()44n n x x
+-＝3
3
()()144n q
x
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等
差数列；
对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x
，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11
444
4log log log log n n n n
x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；
故选：D ． 【点睛】 方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.
3．B
解析：B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
，求得1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1为首项的等差数列，
所以21
14(1)43n
n n a =+-=-，
因为0n a >
，所以n a =
，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
22
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n
b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
4．B
解析：B 【分析】
可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】
由题意12130,0S S ><及()()()121126713113713
66,132
S a a a a S a a a =+=+=
+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .
【点睛】
等差数列的前n 项和n S 具有以下性质
()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.
5．C
解析：C 【分析】
根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2
10111a =，再利用
11,01a q ><<求解即可.
【详解】
根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，
因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >， 所以2
12021220201011...1a a a a a ====， 因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，
所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关
键是根据定义和等比数列性质得出2
10111a =以及11,01a q ><<进行判断.
6．B
解析：B 【分析】
先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据
()
11313713132
a a S a +=
=求解出结果.
【详解】
因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，
又()
1131371313131132
a a S a +=
==⨯=， 故选：B. 【点睛】
结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，
（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.
7．D
解析：D 【分析】 当2n ≥时，1n
n a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得
22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,
,2，结合等比数列的求
和公式，即可求解. 【详解】
由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===， 当2n ≥时，1n
n a S -=，又由1n n a S +=，
两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即
1
2n n
a a +=， 则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即2
2,2n n a n -=≥，
又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +
<∈，所以“和谐项”共有12项，
则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，
可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为
111110
(112
44)11416413
431-++++
+=+=⨯+-.
故选：D. 【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
8．A
解析：A 【分析】
将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*
n N ∈恒成立，转化为27
1
n n n λ
-++对任意*n N ∈恒成立，由2min
71n n n λ⎛⎫
-+ ⎪+⎝⎭求解.
【详解】 依题意得，()24122412
n n n
T +-==--，
∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为2
2log 2(1)73n n n n λ+-++，
即2
7
(1)n n n λ-++.又*n N ∈，
∴27
1
n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.
只需满足2min
71n n n λ⎛⎫
-+ ⎪+⎝⎭即可.
设1n t +=，则*t N ∈，2t ，
∴279
31n n t n t
λ-+=+-+.
∵99
3233t t t t
+
-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min
731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.
∴
3λ，
故选：A. 【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；
()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 9．D
解析：D 【分析】
由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则
()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：2135
15
n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.
10．B
解析：B 【分析】
由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1
122n n T n +=-⋅+，即可得解.
【详解】
由题意，()()*
21n n n S a a n N
=+∈，
当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，
所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，
因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，
所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，
()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，
所以()()2
3
4
1
11212222222
212212
n n
n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=
-⋅=-⋅--，
所以()1
12
2n n T n +=-⋅+，
所以876221538T =⨯+=，9
87223586T =⨯+=，
所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用.
11．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
12．C
解析：C 【分析】
根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列{||}n a 的前18项和． 【详解】 解：
10a >，10110a a <，
0d ∴<，100a >，110a <，
181101118101810()60T a a a a S S S ∴=+⋯+--⋯-=--=．
故选：C ． 【点睛】
求数列{||}n a 的前n 项和，关键是求出其正负转折项，然后转化成等差数列求和，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】求出讨论n 的奇偶利用数列单调性求出的最值即可得出【详解】依题意得当为奇数时随着的增大而减小随着的增大而增大；当为偶数时随着的增大而增大随着的增大而增大因此的最大值与最小值分别为其最大值与最小
解析：14
【分析】
求出n S ，讨论n 的奇偶利用数列单调性求出n S 的最值即可得出. 【详解】
依题意得，
31
1
221
1
12
1
2
n
n n
S
⎡⎤
⎛⎫
--
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥⎛⎫
⎣⎦
==--
⎪
⎛⎫⎝⎭
--
⎪
⎝⎭
.
当n为奇数时，
1
1
2
n n
S=+随着n的增大而减小，∴
1
13
11
22
n n
S S
<=+≤=，
1
n
n
S
S
-随着
n
S的增大而增大，∴
15
6
n
n
S
S
<-≤；
当n为偶数时，
1
1
2
n n
S随着n的增大而增大，∴
2
31
11
42
n n
S S
=≤=-<，1
n
n
S
S
-随着
n
S的增大而增大，
71
12n
n
S
S
-≤-<.
因此
1
n
n
S
S
-的最大值与最小值分别为5
6
，
7
12
-，其最大值与最小值之和为
571
6124
-=.故答案为：
1
4
.
【点睛】
本题考查求数列的最值问题，解题的关键是讨论n的奇偶根据单调性求出范围. 14．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；
解析：1347
【分析】
当2
n≥时
1
31
n n n
S a a
+
=+则
11
31
n n n
S a a
--
=+，两式相减得到
11
3
n n
a a
+-
-=，得到
31
,
22
3
1,
2
n
n n
a
n n
⎧
-
⎪⎪
=⎨
⎪-
⎪⎩
为奇数
为偶数
，代入数据计算得到答案.
【详解】
解：当1
n=时，
2
112
312
S a a a
=+∴=
当2
n≥时，由
1
31
n n n
S a a
+
=+则
11
31
n n n
S a a
--
=+，两式相减得到()
11
3
n n n n
a a a a
+-
=-
因为0
n
a≠
11
3
n n
a a
+-
∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为首项，3为公差的等差数列；
所以31,22
31,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨
⎪-⎪⎩为奇数为偶数 当k 为奇数时，2020134731
22k a k k ==-=∴，成立； 当k 为偶数时，404220203
312k a k k ∴==-=，不成立； 故答案为：1347 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是解题的关键.
15．2021【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和求和的应用求出结果【详解】解：因为递增数列共有2020项且各项均不为0所以所以若则与是数列中的项矛盾所以所以即对上式累加得所以故答案为：2021【点睛
解析：2021 【分析】
直接利用数列的递推关系式的应用和求和的应用求出结果． 【详解】
解：因为递增数列{}n a 共有2020项，且各项均不为0，20202a =， 所以12201920202a a a a <<⋯<<=，所以
2020201920202018202010a a a a a a <-<-<<-，
若10a <，则202012a a ->，与20201a a -是数列{}n a 中的项矛盾， 所以10a >，
所以202020191202020182202012019,,
,a a a a a a a a a -=-=-=，即
20191201821201920202a a a a a a a +=+=
=+==，
对上式累加，得202022019222S =⨯+⨯，所以20202021S =．
故答案为：2021． 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
16．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形
解析：50 【分析】
根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2
n n S a =，代入求
出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】
记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为
n S ，
设第n 个正方形的边长为n a ,则第n
n ， 所以第n +1
个正方形的边长为1n n a +=
，
1n n a a +∴
=， 即数列{n a }是首项为15a =
的等比数列，
1
52
n n a -∴=⋅， 数列{n S }是首项为125S =，公比为
1
2
的等比数列， 123125(1)
1250(1)1212
n n n
S S S S -
+++⋯+=
=⋅-∴-，
所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：50
17．【分析】先证明出当三点共线（该直线不过原点）且时可得出然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当三点共线（该直线不过原点）时则与共线则存在使得即可得因为且三点共线（该直线不过原点）则由等差数列求 解析：50
【分析】
先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，
1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值.
【详解】
当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线， 则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()
OB OA OC OA λ-=-，可得
()1OB OA OC λλ=-+，
OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，
因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则
11001a a +=，
由等差数列求和公式可得()11001001001001
5022
a a S +⨯===.
故答案为：50. 【点睛】
本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.
18．【详解】存在两项使得比较可得当时有最小值为【点睛】本题考查了基本不等式；等比数列的通项基本不等式求最值应注意的问题（1）使用基本不等式求最值其失误的真正原因是对其前提一正二定三相等的忽视要利用基本不 解析：
【详解】
7652a a a =+，25552a q a q a ∴=+，220q q ∴--=，2q ∴=，存在两项
使得
12m n a a a =，214m n a a a ∴=，24m n q +-∴=，4m n ∴+=，
，比较可得当
时，有最小值为
. 【点睛】
本题考查了基本不等式；等比数列的通项.基本不等式求最值应注意的问题（1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．（2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
19．②④【分析】①②；根据过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标称是的一次近似值过点作曲线的切线则该切线与轴的交点的横坐标为称是的二次近似值重复以上过程利用归纳推理判断③；④根据①②判定的结果利用累加法判断
解析：②④ 【分析】
①，②；根据过点()()
00,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标
()
()
()()01000'0'f x x x f x f x =-
≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线
()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值.重复以
上过程，利用归纳推理判断。

③；④根据①，②判定的结果，利用累加法判断。

【详解】
由过点()()
00,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标
()
()
()()01000'0'f x x x f x f x =-
≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线
()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值.重复以
上过程， 则有()
()
()()1111'0,2'n n n n n f x x x f x n f x ----=-
≠≥，故②正确.
根据题意有：()()1211'f x x x f x =-
，()()
232
2'f x x x f x =-，()
()3433'f x x x f x =-，…， ()
()
()1112'n n n n f x x x n f x ---=-≥，两边分别相加得：
()()()
()
()
()
()12111212'''n n n f x f x f x x x n f x f x f x --=-
---
≥，故④正确.
故答案为：②④ 【点睛】
本题主要考查数列的递推和累加法求通项公式，还考查了归纳推理和运算求解的能力，属于中档题.
20．【分析】由等式变形可得出利用等比中项法可判断出数列为等比数列求出该等比数列的公比利用等比数列的通项公式即可求出的值【详解】即由等比中项法可知数列为等比数列且公比为解得故答案为：【点睛】本题考查了数列 解析：63
【分析】
由等式211121
n n n n n a a a a a -+--+=+变形可得出()()()2
11111n n n a a a +-++=+，利用等比中项法
可判断出数列{}1n a +为等比数列，求出该等比数列的公比，利用等比数列的通项公式即可求出7a 的值. 【详解】
()()()2
2
2
11111111121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --+---+-++-+===-+++，即()2
11111
n
n n a a a +-++=+， ()()()2
11111n n n a a a +-∴++=+，
由等比中项法可知，数列{}1n a +为等比数列，且公比为
321
21
a a +=+， ()55721122264a a ∴+=+⨯=⨯=，解得763a =.
故答案为：63. 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）3n a n =-；（2）24
n n
T n =+. 【分析】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1382,5a a a +=-=，利用“1,a d ”法求解. （2）由（1）知3n a n =-，得到1112
n b n n =-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ， 则11
222
75a d a d +=-⎧⎨
+=⎩，
解得121a d =-⎧⎨=⎩
，
所以()2113n a n n =-+⋅-=-； （2）由（1）知3n a n =-， 则()()()()11111
441212n n n b a a n n n n +=
==-
++++++，
123n n T b b b b ∴=+++⋯+，
11111
1+2334+12n n ⎛⎫⎛⎫=-+-⋯- ⎪+⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭
， 1122n =
-+24n n =+. 【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n
n na q S a q q q
=⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求
解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
22．（1）（i ）8；（ii ）()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪
+-=-⎪=⎨-=-⎪
⎪--=⎩
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）（i ）推导出当n 为正偶数时，24n n a a n ++=，可得出+4248n n a a n ++=+，两式作差可得出结论成立；
（ii ）推导出当n 为正奇数时，4n n a a +=，求出2a 、3a 、4a ，对任意的k *∈N ，分
43n k =-，42n k =-，41n k =-，4n k =四种情况讨论，结合等差数列的通项公式以
及周期数列的定义可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）计算出4342414n n n n a a a a ---+++，可求得2
482n S n n =+，利用放缩法得出
4111142121n S n n ⎛⎫
<- ⎪-+⎝⎭
，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】
（1）（i ）当n 为正偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+， 两式相加得24n n a a n ++=，① 可得+4248n n a a n ++=+，② ②-①得48n n a a +-=；
（ii ）当n 为正奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+， 两式作差得22n n a a ++=，所以，422n n a a +++=， 上述两个等式作差得4n n a a +=， 又
211a a -=，则2111a a a =+=+，
323a a +=，则3232a a a =-=-， 435a a -=，则4357a a a =+=-.
对任意的k *∈N ，当43n k =-，则1n a a a ==； 当42n k =-时，
()()()422811818722723n k a a a k a k a k a n a n -==+-=++-=+-=++-=+-；
当41n k =-时，32n a a a ==-；
当4n k =时，()()44817818121n k a a a k a k k a n a ==+-=-+-=--=--.
综上所述，()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪
+-=-⎪=⎨-=-⎪
⎪--=⎩
； （2）()434241424232241166n n n n a a a a a n a a n a n ---+++=+-+-+-+⨯--=-，
()
2410166822
n n n S n n +-∴=
=+，
()()2241111114212124241n S n n n n n ⎛⎫∴
=<=- ⎪-++-⎝⎭
， 所以，
48411111111
111111433521214214
n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】
方法点睛：证明数列不等式常用放缩法，常用的放缩公式如下：
（1）()()21111211n n n n n n
<=-≥--； （2）()()()211111211211n n n n n n ⎛⎫
<=-≥ ⎪-+-+⎝⎭
； （3
）()()22
21144
1121
41212121214
n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-
； （4()22n =<=≥.
23．（1）32n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，31n b n =+；（2）3136λ<.
【分析】
（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得数列{}n a 是等比数列，（10a ≠），得通项公式n a ，从而也得到n b ；
（2）作差1n n c c +-，由10n n c c +->恒成立转化为13221815
n
n λ⎛⎫
⎪⎝⎭<
+对*n N ∀∈恒成立，引入
()13221815
n
f n n ⎛⎫
⎪
⎝⎭=
+，*n N ∈，从作商法求得{()}f n 的最小值即可得λ的范围．
【详解】
解：（1）当1n =时，1133S a =-，∴132
a =
， 当2n ≥时，()113333n n n n S S a a ---=---， 即133n n n a a a -=-，∴13
2
n n a a -=，又10a ≠， 所以数列{}n a 为等比数列.
∴1
333222n n
n a -⎛⎫⎛⎫== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 332233log 13log 1312n
n n b a n ⎛⎫
=+=+=+ ⎪⎝⎭
.
（2）()23312n
n c n λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，因为数列{}n c 为递增数列， ∴()()()1
22133133431181502222n n n
n n c c n n n λλλ++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=-+-++=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭对
*n N ∀∈恒成立，即13221815n
n λ⎛⎫
⎪⎝⎭<
+对*n N ∀∈恒成立
设()13221815
n
f n n ⎛⎫
⎪⎝⎭=
+，*n N ∈，()min f n λ<，
()()()1
133
18151181522218331833
1322n n n f n n f n n n +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⋅=++⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
若
()
()
11f n f n +>，则1821n >， ∴当n 2≥时，()()1f n f n +>； 当1n =时，()()21f f <. ∴()()min 32136f n f ==
， 即λ的取值范围为3136
λ<
.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查数列的单调性，不等式恒成立问题．数列的单调性与最值的求法一般有作差法或作商法．作差法是最基本的方法，而当n a 为幂的形式（或乘积形式）也可用作商法确定单调性，得最值．
24．（1）1()3n n a =；1n b n
=
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）当1n =时，代入条件，可求得1a 的值，当n ≥2时，根据1n n n a S S -=-，结合等比数列的定义，即可求得数列{a n }的通项公式，根据等差中项的性质，可得1{}n
b 为等差数列，代入数据，求得首项1
1b 和公差d ，即可求得数列{b n }的通项公式； （2）根据（1），可得1()3n n n n a c n b =
=⋅，利用错位相减求和法，即可求得数列{c n }的前n 项和，根据表达式，即可得证.
【详解】
（1）由2S n +a n ＝1，得1(1)2
n n S a =-， 当1n =时，111(1)2S a =-，∴113
a =， 当n ≥2时，11(12)n n n n a S S a -=-=--1(12
)1n a --， ∵10n a -≠，∴
113n n a a -=， ∴{a n }是首项为
13，公比为13的等比数列， ∴1
()3n
n a =. ∵*12211()n n n n N b b b ++=+∈，∴1{}n
b 为等差数列， 由b 1＝1，212
b =，得111b =，212b =，21111d b b =-=， ∴1{}n
b 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴11(1)1n n n b =+-⨯=，∴1n b n
=. （2）1()3n n n n a c n b =
=⋅，
设T n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，则21112()()333
1n n T n =⋅+⋅++⋅…①， 13
n T =2311111()2()()333n n +⋅+⋅++⋅…②， ①-②得2312
11111()()()()333333
n n n T n +=+++⋅⋅⋅+-⋅ 111[1()]2111133()()()133223313
n n n n n T n +-=-⋅=-+-， ∴323134434
n n n T +=-⨯<. 【点睛】
当题中出现n S 与n a 关系时，解题的方法是利用1n n n a S S -=-求解，并检验n=1时是否满足题意，证明数列为等差、等比数列时，①可以用等差、等比数列的定义证明，②可以利用等差中项、等比中项证明，考查学生对基础知识的掌握程度，属中档题.
25．（1）12n n a ；（2）12n n T n +=⋅． 【分析】
（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 是等比数列，（先求出10a ≠），可得通项公式；
（2）由（1）得n b ，用错位相减法求和．
【详解】
解：（1）当1n =时，1112S a +=
，解得11a =． 因为21n n S a =-，①
所以当2n ≥时，1121n n S a --=-，②
①-②得，1122n n n n S S a a ---=-，所以12n n a a -=．
故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12n n a ．
（2）由题知，(1)2n n b n =+⋅，
所以123223242(1)2n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯++，③ 23412223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，④
③-④得，()123122222(1)2n n n T n +-=++++⋯+-+
()
112122(1)2212n n n n n ++⨯-=+-+=-⋅-．
所以12n n T n +=⋅．
【点睛】
方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和的常用方法：
（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．
26．（1）证明见解析，2n n a n =⋅；（2）1(1)22+=-⋅+n n S n .
【分析】
（1）将1122n n n a a ++-=， 变形为11122n n n n
a a ++-=，再利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到 2n n a n =⋅，再利用错位相减法求解.
【详解】
（1）∵1122n n n a a ++-=， ∴11122n n n n
a a ++-=， 又∵112
a =， ∴数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列； ∴2
n n a n =，2n n a n =⋅ （2）由（1）知2n n a n =⋅， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯，
231212222n n S n +=⨯+⨯+
+⨯，
两式相减得：23122222n n n S n +-=+++-⋅ ()
1212212n n n +-=-⋅-
1(1)22n n +=-⋅-，
∴1(1)22+=-⋅+n n S n
【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122
n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()
11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求
解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．。