高考数学解析几何大题中四种模型

一、定比分弦模型
焦点在x 轴上的圆锥曲线C ，过其焦点F 的直线交曲线与A ，B 两点，直线AB 的斜率角为θ，斜率为k ，并且有 1. 若该曲线是椭圆，则离心率e 满足 2. 若该曲线是双曲线：
①A,B 在曲线同一支，则离心率e 满足 ②A,B 在曲线两支，则离心率e 满足 3.若该曲线是抛物线，则 如果焦点在y 轴上，那么把 这里以椭圆为例给出简单证明：
证明：由圆锥曲线的极坐标方程可以得到： 当然极坐标方程不能在大题中直接运用，那么可以用余弦定理作证明： 二、焦点三角形离心率模型
已知 1. 若该曲线是椭圆，则离心率e 满足 2. 若该曲线是双曲线，则离心率e 满足 该式子的证明在书本焦点三角形给出了证明，这里就不给出证明了。

三、椭圆与双曲线共焦点模型：
椭圆与双曲线共焦点，并且椭圆离心率为e 1 ,双曲线离心率为e 2,他们交于P
点并且满足 ____
____
FB AF λ=|1||
1- |1|1||1- ||e.cos |2
++=⇒+=
λλλλθk e |
1||
1 |1|1||1 ||cos e |2-++=⇒-+=
⋅λλλλθk e )
1(1
1
|cos |=+-=e 实际上就是抛物线的满足λλθλ即可改成θθsin cos θ
e ep
BF θ-e ep cos 1||,cos 1|AF |+=
=1
1
cos cos 1cos 1+-=⇒=-+=⇒
λλθλθθe e e BF AF 12
2212112
212
12
22cos 2AF a AF F AF F F AF F F AF AF -=∠⋅-+=，其中β
α=∠=∠122121,,F PF F PF P F F 是曲线上一点，若，是圆锥曲线的左右焦点()
β
αβαsin sin sin ++=
e ()
|
sin sin |sin βαβα-+=
e 2cos 1cos 1,2
2
2121=++-=∠e e PF F θ
θθ则满足
证明：设椭圆长半轴与短半轴分别为 ，双曲线的实半轴与虚半轴分别为 由焦点三角形：
四、双曲线焦渐比模型
这种模型是双曲线渐进线上的一点跟焦点连线已知比率求离心率问题。

有以下两种模型：（1）如图，A 是双曲线渐进线一点，AF 1与另一条渐近线交于一点B ，这种模型无论哪个角，都可以利用：
1.
,
,22b a 11,b a 2cos 1cos 1cos 11
1cos 111cos 1)(2cos 1)(2cos 1)(2cos 12||||,cos 1)(2cos 12||||2
2
212
2
212222212222
2
212212121=++-⇒--=+-⇒--=+---=
-=⋅+-=+=⋅e e e e a c c a a c b PF PF c a b PF PF θθθθθθθ
θθθ因此，的两倍互补去处理。

与，以及有公共边和11AOF AOB OB AOB BOF ∠∠∆∆2
222e 22
cos 1
21tan )2-tan(tan )2-tan(tan 222,,.2221cos 21sin2sin 2
sin )2(sin 2
sin sin
2.2,,222
11
11_____
_____1111111_____
_____
121+=⇒-=
-=-===⇒=∆=∆-=∠=∠+==⊥=∴=====
-∆=∆∠-=∠=∠==⊥λθθθπθλθπθ
θπθλλλθθθλθ
θπθ
θθπθλλe AB BF AB
BO AOB BF BO BOF AOB BOF e BA B F OB BF e e AB BF BO AB AOB BO BF BOF AF AOB BOF e BA B F AF AF 中有：中有：，则证明：设则离心率已知两式相除得到：中有：中有：，，则证明：设则离心率已知
（2）已知A 是双曲线渐进线上一点
,这里有以下三种具体模型： 1.
_____
_____
11BA B F B AF λ=，并且有与双曲线已知交于一点1
1||||||||||,
1cos ||,||cos 1
.31
1||||||||||,
cos 1||,||cos 1.21
1||||2
||||||,
2cos 1||,2cos 2||cos 1
//221112
11212112211121121211222
11121212111+=⇒-===∴-=
-=⇒-=-===
=∠+=⊥+=⇒-===∴+=
-=⇒+=+====∠+=⊥+=⇒-===∴=
-=⇒=+=====∠+=λλθθθλλλθθθλλλθθθθλe e a
b AB BF a
b ab
AF BF AB a
b b e ep BF b AF c
b
F AF e B AF AF e e a
b AB BF b
a a
b BF AF AB b a b e ep BF b AF c
b F AF e B AF AF e e a
b AB BF a BF AF AB a
b e ep BF a
c e
AF c a F AF e B AF AF ，则证明：设，则离心率点与双曲线另外一支交于渐近线，已知，则证明：设，则离心率与双曲线同支交于点渐近线，已知，则证明：设，则离心率与双曲线同支交于点渐近线，已知。