2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版10.5 圆锥曲线的综合问题精选ppt版

=2 PB
,则当m=
时,
4
点B横坐标的绝对值最大.
答案 5
解析 本小题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值.


设B(t,u),由 AP =2 PB ,易得A(-2t,3-2u).
∵点A,B都在椭圆上,∴

t2 u2 m, 4 4t2 (3 2u)2 4
(2)若P是半椭圆x2+ y2 =1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围. 4
解析 本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考 查运算求解能力和综合应用能力.
(1)设P(x0,y0),A

1 4
y12
,
y1

,B

1 4
y22
,
故切线l的方程可写为y=ax-a2.
分别令y=2、y=-2得N1、N2的坐标为
N1

2 a

a,
2

、N2


2 a

a,
2

,
则|MN2|2-|MN1|2=

2 a

2
a

+42-

2 a

a
2

=8,
即|MN2|2-|MN1|2为定值8.

则 OQ

=(-3,t), PF

=(-1-m,-n), OQ

· PF

=3+3m-tn,O P

=(m,n),P Q
=(-3-m,t-n).




由 OP · PQ =1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以O Q ·P F =0,即O Q ⊥P F .
可求得点M、N的坐标. 评析 本题考查了椭圆的标准方程、离心率和直线方程的相关知识及定值问题,知识点较综 合,属中等偏难题.
2.(2014江西,20,13分)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点 B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点). (1)证明:动点D在定直线上; (2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:| MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.
(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=
x1
2
x2
= 2k22kb1
,yM=k·xM+b= 2k 2b1
.
于是直线OM的斜率kOM=
yM xM
=- 1
2k
,即kOM·k=- 12 .所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
思路分析 (1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解a,b,然后得到椭圆的方程;(2)联立直
= 12 2

x0 y0
1

1
2 y0 x0 2

解析 (1)由题意得,a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为 x2 +y2=1. (3分) 4
又c= a2 b2 = 3 ,所以离心率e= c =
3
.
(5分)
a2
(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则 x02 +4 y02 =4. (6分)
令x=0,得yM=-
2 x0
y0 2
,从而|BM|=1-yM=1+
2 x0
y0 2
.
(9分)
直线PB的方程为y= y0 1 x+1. x0
令y=0,得xN=-
x0 y0 1
,从而|AN|=2-xN=2+
x0 .
y0 1
(12分)
所以四边形ABNM的面积
S= 1 |AN|·|BM| 2
,
注意到x1x2=-8及 x12 =4y1,则有y=
y1x1x2 x12
=
8 y1 4 y1
=-2.因此D点在定直线y=-2上(x≠0).
(2)依题设知,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+
b),即x2-4ax-4b=0,由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.
3.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的离心率为 22 ,椭
圆C截直线y=1所得线段的长度为2 2 . (1)求椭圆C的方程; (2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径 为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
6
2,
15
10 4

.

疑难突破 解析几何中“取值范围”与“最值”问题
在解析几何中,求某个量(直线斜率,直线在x、y轴上的截距,弦长,三角形或四边形面积等)的取 值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率,动点的 横、纵坐标等)的函数,并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域),将问题转化为求函数的 值域或最值.
又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA的方程为y= y0 (x-2). x0 2
令x=0,得yM=-
2 x0
y0 2
,从而|BM|=1-yM=1+
2 x0
y0 2
.
(9分)
直线PB的方程为y= y0 1 x+1. x0
令y=0,得xN=-
x0 y0 1
,从而|AN|=2-xN=2+
解析 (1)由题意得,a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为 x2 +y2=1. (3分) 4
又c= a2 b2 = 3 ,所以离心率e= c =
3
.
(5分)
a2
(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则 x02 +4 y02 =4. (6分)
又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA的方程为y= y0 (x-2). x0 2

m,
从而有 3t2 +3u2-12u+9=0,即 t 2 +u2=4u-3.
4
4
即有4u-3=m⇒u= m 3,
4
∴ t 2 + (m 3)2 =m,∴t2=- 1 m2+ 5 m- 9 =- 1 (m-5)2+4.
4 16
4 2 44
∴当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2,
所以|PM|= 18 ( y12
+ y22
)-x0= 34 y02
-3x0,|y1-y2|=2 2( y02

4x0 )
.
因此,△PAB的面积S△PAB= 1 |PM|·|y1-y2|=3 2
2
4
3
( y02 -4x0 ) 2 .
因为 x02 +
y02 4
=1(x0<0),所以 y02 -4x0=-4 x02-4x0+4∈[4,5].因此,△PAB面积的取值范围是
y2

.
因为PA,PB的中点在抛物线上,
所以y1,y2为方程


y y0 2
2
1
=4·4
y2 2
x0
即y2-2y0y+8x0- y02 =0的两个不同的实根.
所以y1+y2=2y0,因此,PM垂直于y轴.
(2)由(1)可知
y1

y1
y2
y2 2 y0 , 8x0 y02 ,
解析 (1)证明:依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,
直线AO的方程为y= xy11 x,直线BD的方程为x=x2.
解得交点D的坐标为


x2 ,
y1x2 x1

解析
(1)由题意有
a2 b2 a
=
2 2
, a42 + b22 =1,
解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为 x2 + y2 =1. 84
(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入 x82 + y42 =1得
m, 4,
得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,
由Δ>0得m2<4k2+2,(*)
且x1+x2=- 24kk2 m1 ,因此y1+y2= 2k22m1 ,
线方程与椭圆方程,通过根与系数的关系求解kOM,然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值
.
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 定点与定值问题
1.(2016北京,19,14分)已知椭圆C: ax 22+ by22 =1过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率; (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四 边形ABNM的面积为定值.
评析 本题考查抛物线的性质,以及直线与抛物线的位置关系,考查用代数方法解决圆锥曲线 的综合问题,考查方程思想以及设而不求、整体代换思想的应用,同时考查学生运算求解能力 和综合分析问题的能力.
考点二 参变量的取值范围与最值问题
1.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆 x2 +y2=m(m>1)上两点A,B满足 AP
= 2x0 y0 2x0 4 y0 4 =2. x0 y0 x0 2 y0 2
从而四边形ABNM的面积为定值. (14分) 解后反思 本题第(2)问可画出图形进行分析,
发现点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点,且四边形ABNM的对角线AN与BM互相垂直,所
以S四边形ABNM= 12 |AN|·|BM|,问题转化为求点M与点N的坐标,故设点P(x0,y0),表示出直线PA和PB,即
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
思路分析
(1)设出P、M的坐标,利用 NP
= 2

NM
得到P、M坐标间的关系,由点M在C上求解

点P的轨迹方程.(2)利用向量的坐标运算得 OQ · PF =0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F.
方法总结 求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间 接法有相关点法、交轨法和参数法.
x0 .
y0 1
(12分)
所以四边形ABNM的面积
S= 1 |AN|·|BM| 2
= 12 2

x0 y0
1

1
2 y0 x0 2

= x02 4 y02 4x0 y0 4x0 8 y0 4 2(x0 y0 x0 2 y0 2)
即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.
思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标. (2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式. (3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数. (4)利用二次函数的最值得结论.
2.(2018浙江,21,15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点 A,B满足PA,PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
解析 (1)由椭圆的离心率为 2 ,得a2=2(a2-b2), 2
又当y=1时,x2=a2-
a2 b2
,得a2-
=2.
因此椭圆方程为 x2 + y2 =1. 42
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程

y kx x2 2y2
2.(2015课标Ⅱ,20,12分,0.247)已知椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的离心率为 22 ,点(2, 2 )在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM
的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解析 (1)设P(x,y),M(x0,y0),
则N(x0,0), NP

=(x-x0,y), NM
=(0,y0).


由 NP = 2 NM 得x0=x,y0=
2 2
y.
因为M(x0,y0)在C上,所以 x22 + y22 =1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),
文数(课标专用)
§10.5 圆锥曲线的综合问题
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: x22 +y2=1上,过M作x轴的垂线,垂


足为N,点P满足 NP = 2 NM .
(1)求点P的轨迹方程;

(2)设点Q在直线x=-3上,且 OP · PQ =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.