数学必修Ⅱ人教新课标A版4-2-2-3直线与圆的方程的应用课件(35张)

＝a－4.则有 a＋12＋a－4－32＝ a＋62＋a－4＋22，
解得 a＝12，故圆心为12，－72，
半径为
12＋12＋－72－32＝
829.
故圆的方程为x－122＋y＋722＝829，
即 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二： ∵圆 x2＋y2＋6y－28＝0 的圆心(0，－3)不在直线 x－y
[活学活用]
1．两圆 C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 的位置
关系是
()
A．相离
B．相切
C．相交
D．内含
答案：C
2．(湖南高考)若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0
外切，则 m＝
()
A．21
B．19
C．9
D．－11
答案：C
与两圆相交有关的问题
[例 2] 求经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋6y－28＝0
的交点且圆心在直线 x－y－4＝0 上的圆的方程．
[解]
法
一
：
解
方
程
组
x2＋y2＋6x－4＝0， x2＋y2＋6y－28＝0，
得两圆的交点
A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 x－y－4＝0 上，故 b
3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间 的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半 弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[活学活用] 已知圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆 C2：x2＋y2－4x＋2y－11 ＝0 相交于 A，B 两点，求 AB 所在的直线方程和公共弦 AB 的长． 解：由圆 C1 的方程减去圆 C2 的方程，整理，得方程 3x－4y＋6 ＝0，又由于方程 3x－4y＋6＝0 是由两圆相减得到的，即两圆交 点的坐标一定是方程 3x－4y＋6＝0 的解．因为两点确定一条直 线，所以 3x－4y＋6＝0 是两圆公共弦 AB 所在的直线方程． ∵圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，∴圆心为 C1(－1,3)，半径 r＝3， ∴圆心 C1 到直线 AB 的距离 d＝│－3－2152＋6│＝95，
判断两圆的位置关系
[例 1] 当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0， C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相交、相切、相离？
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆 C1 的圆心为 C1(－2,3)，半径长 r1＝1； 圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径长 r2＝ 50－k(k＜50)， 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5.
当 1＋ 50－k＝5，即 k＝34 时，两圆外切． 当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6，即 k＝14 时，两圆内切． 当| 50－k－1|＜5＜1＋ 50－k， 即 14＜k＜34 时，两圆相交． 当 1＋ 50－k＜5 或| 50－k－1|＞5， 即 k＜14 或 34＜k＜50 时，两圆相离．
4．2.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用
[提出问题]
圆与圆的位置关系
上图为某次拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化 过程．
问题 1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？ 提示：5 种，即内含、内切、相交、外切、外离． 问题 2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
－4＝0 上，故可设所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－
28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为－1＋3 λ，－13＋λλ，代入 x－y－4＝0，求得 λ＝－7. 故所求圆的方程为 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
[类题通法] 1．圆系方程 一般地过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2 ＋D2x＋E2y＋F2＝0 交点的圆的方程可设为 x2＋y2＋D1x＋E1y＋ F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求 出 λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋ (E1－E2)y＋F1－F2＝0.
方程组解的个数 两圆的公共点个数
两圆的位置关系
2组 _2_个__ _相__交__
1组 _1_个__ 内__切__或__外__切__
0组 _0_个__ 外__离__或__内___含_
[化解疑难] 几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两 圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化 为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方 法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像 几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内 含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的 位置关系问题．
d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2 的关系
_d_＞__r1_＋__r_2
_d_＝__r1_＋__r_2
_|r_1_－__r2_|＜__ _d_＜__r1_＋__r_2
d_＝__|_r1_－__r_2|
d_＜__|_r1_－__r_2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)， 联立方程组得xx22＋＋yy22＋＋DD21xx＋＋EE21yy＋＋FF21＝＝00，， 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断． 问题 3：直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么 圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？ 提示位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为 外离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内含 ．
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆连心线的长为
[类题通法] 1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有 以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离 d； (3)通过 d 与 r1＋r2，|r1－r2|的大小关系来判断两圆的位置关系或求参 数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单 清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．