【浙大名师课件】大学线代 考研线代15 Gram-Schmidt正交化

§15 Gram-Schmidt正交化
15.1 引言
设是阶阵，若无解，则考虑法方程组
是在上的投影.
设则是的解.
因此若较简单，则容易计算.
15.1 引言
例：求在的列空间上的投影.
解：
考虑
简单，因为的列相互正交.
将一组基( 的无关列)换成一组正交的向量( 正交列).
15.1 引言
目标：给定为一个子空间，是的一组基，把
它们变化成一组正交的向量满足
1.
2.
表示生成的的子空间.
15.2 正交向量组和正交矩阵
定理：设是非零的个向量，满足
则线性无关.
证明：设
两边左乘则
同理
例如：中两向量相互正交
, 故无关.
定理中称为正交向量组(orthogonal vectors).
因此线性无关.
15.2 正交向量组和正交矩阵
定义：设是个列向量，它们是标准正交的(orthonormal)
令则
若是一个方阵，则称为正交阵(orthogonal matrix).
15.2 正交向量组和正交矩阵
例：
例：设是一列向量，( 是单位向量unit vector).
令
是一个反射矩阵(reflection matrix).
若则
15.2 正交向量组和正交矩阵
比如，则
考虑映射
是关于平面的反射变换.
15.2 正交向量组和正交矩阵
注：以上两例均是保长度的变换，即
以后我们将说明具有这种性质的变换对应于正交矩阵.
定理：设是一个正交阵，则
证明：
15.3 Gram-Schmidt正交化过程
以下考虑本讲的目标问题.
先考虑两个向量线性无关，求满足
进一步令即是标准正交的.
即
15.3 Gram-Schmidt正交化过程
显然
可以取因为只需这样的不唯一.
即减去它在上的投影.
15.3 Gram-Schmidt 正交化过程
设线性无关，考虑
满足
正交化
单位化
15.3 Gram-Schmidt正交化过程已知：
设
单位化
15.3 Gram-Schmidt正交化过程
对一般情形，首先我们有如下定理：
定理：设相互正交，则
特别地，若标准正交，则
15.3 Gram-Schmidt 正交化过程
由此定理，设
且
则正交化
单位化
15.3 Gram-Schmidt 正交化过程
这给出了另一种方法求
这种正交化方法，称为Gram-Schmidt 正交化
.
为误差向量
15.3 Gram-Schmidt正交化过程
例：
解：
则是正交阵.
15.4 QR 分解问题：
和的关系？
则则对照正交化公式，
是列正交阵，是对角线上为正数的上三角阵，其第
个主对角线元素为
行消去(列变换)
正交化
15.4 QR分解
应用：
1.设为阶列满秩阵，的列线性无关，
特别地，若的列相互正交，则
设无解，则在上的投影为
15.4 QR分解
2. 设A是可逆方阵，则分解是唯一的.
设为可逆方阵的两个分解.
则
为正交阵，为上三角阵且对角元素为正.
故
15.4 QR分解
3.设列满秩，有分解
设在上投影为
则也是列满秩阵，其分解如下。