高等学校招生全国统一考试 数学 标准仿真模拟卷(六)

标准仿真模拟卷(六)
(时间:120分钟分值:150分)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={0,2,4},则(
ðA)∩B= ( )
U
A. B. C. D.{0,2,3,4}
2.已知i是虚数单位,则复数= ( )
A.+i
B.-i
C.-+i
D.--i
3.设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.某产品在某零售摊位上的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如表所示:
由上表可得回归直线方程=x+中的=-4,据此模型预测零售价定为15元时,每天的销售量为( )
A.48个
B.49个
C.50个
D.51个
5.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于( )
A.3
B.2
C.
D.1
6.在△ABC 中,已知AB=2,BC=1,AC=
,则
·
+
·
+
·
= ( )
A.-4
B.-2
C.0
D.4
7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于 ( )
A.6
B.7
C.8
D.9
8.执行如图所示的程序,若输入n 的值为5,则输出s 的值为( )
A.18
B.-18
C.38
D.-38 9.设函数f(x)=cos(ωx+ϕ)-sin(ωx+ϕ)(1,||)2
π
ω>ϕ<,且其图象相邻的两条对
称轴为x 1=0,x 2=,则( ) A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数 B.y=f(x)的最小正周期为π,且在
上为减函数
C.y=f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数
D.y=f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数 10.函数f(x)=
sin x 的图象大致为 ( )
11.一个底面是等腰直角三角形,侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如图所示,则这个三棱柱的侧视图的面积为( )
A.4
B.2
C.2
D.4
12.已知实数x,y分别满足:(x-3)3+2 016(x-3)=a,(2y-3)3+2 016(2y-3)=-a,则x2+4y2+4x的最小值是( )
A.0
B.26
C.28
D.30
第Ⅱ卷(非选择题)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q= .
14.若已知函数f(x)=则f(f(1))+f的值是.
15.若实数x,y满足则目标函数z=的最大值是.
16.已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知a=(2cos x+2sin x,1),b=(y,cos x),且a∥b.
(1)将y表示成x的函数f(x),并求f(x)的最小正周期.
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(B)=3,·=,且a+c=3+,求边长b.
18.(本小题满分12分)
2015年11月12日凌晨阿里巴巴公布的“双十一”全天交易数据显示,天猫双十一当天全天的成交金额为912.17亿元.其中更是在交易开始后的12分28秒后冲到了100亿元,2014年则用时37分钟.为了了解网购者一次性购物情况,某统计部门随机抽查了11月11日100名网购者的网购情况,得到如下数据统计表,已知网购金额在2000元以上(不含2000元)的频率为0.4.
(1)先求出x,y,p,q的值,再将如图所示频率分布直方图绘制完整.
(2)对这100名网购者进一步调查显示:购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人,购物金额在2000元以下(含2000元)的购物者中网龄不足3年的有20人,请填写下面的列联表,并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关?
参考数据:
参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.
(3)从这100名网购者中根据购物金额分层抽出10人给予返券奖励,为进一步激发购物热情,在(2000,2500]和(2500,3000]两组所抽出的4人中再随机抽取2人现场各奖励1000元现金,求(2000,2500]组恰有1人获得现金奖的概率.
19.(本小题满分12分)
如图,过半圆O上不同于直径端点A,B的任意点C作CD垂直于半圆O所在的平面,过点B在平面同一侧作BE CD,已知圆的直径为4,CD=1.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD.
(2)当点C在何处时,三棱锥C-ADE体积最大?试求此时四棱锥O-BCDE的体积.
20.(本小题满分12分)
已知函数f=e x-ax+a,其中a∈R,e为自然对数的底数.
(1)讨论函数f的单调性,并写出相应的单调区间.
(2)设b∈R,若函数f≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆+=1(a>b>0)经过点M(,1),离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知点P(,0),若A,B为已知椭圆上两动点,且满足·=-2,试问直线AB是否恒过定点?若恒过定点,请给出证明,并求出该定点的坐标;若不过,请说明理由.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于E,D,连接EC,CD.
(1)求证:直线AB是☉O的切线.
(2)若tan∠CED=,☉O的半径为3,求OA的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为cos2θ+4sin2θ=.
(1)求曲线C的直角坐标方程.
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当α变化时,求的最小值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=-2时,解不等式f(x)≥16-|2x-1|.
(2)若关于x的不等式f(x)≤1的解集为[0,2],求证:
f(x)+f(x+2)≥2a.
答案解析
1.A
ðA={0，4}，B={0，2，4}，(UðA)∩B={0，4}.
U
2.C
3.C f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，可得f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0对任意x∈R恒成立，
即m≥［－(3x2＋4x)］max，而－(3x2＋4x)
因此m≥
由m≥，可推出f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0，
所以p是q的充要条件.
4.B 由题意知x＝17.5，y＝39，代入回归直线方程得a＝109，109－15×4＝49.
5.B 圆心到直线的距离d＝＝1，弦AB的长l＝
6.A 由已知，得AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥CB，
所以=0，
7.A 设该数列的公差为d，
则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，
解得d＝2，
所以S n＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，所以当n＝6时，S n取最小值．
8.输入n=5后，顺序执行程序：
s=2×(1+1)，i=3，k=－2；
s=－2(4+3)，i=5，k=2；
s=2(－14+5)，i=7，k=－2，
执行到i=7，k=-2时，再执行判断框，不满足i≤n，跳出循环，输出s=－18. 9.B 由已知条件得
f(x)＝
由题意得
所以T＝π.
所以T＝
所以ω＝2.
又因为f(0)＝，x＝0为f(x)的对称轴，
所以f(0)＝2或－2，
又因为|ϕ|<，所以ϕ＝
此时f(x)＝2cos 2x，在上为减函数.
10.【解题提示】利用函数的奇偶性进行排除，然后对余下的函数图象采用代入特殊点进行判断.
A 首先y＝1－为偶函数，y＝sin x为奇函数，从而f(x)为奇函数，故排除C、D；其次，当x＝0时，f(x)无意义，故排除B，选A.
11.D 由俯视图得底面积S＝＝1，结合体积得三棱柱高为4，侧视图如图所示，所以侧视图面积S＝4×1＝4.
12.C 设f(x)=x3+2 016x，
则f(-x)=-f(x)，即函数f(x)是奇函数，且函数为增函数，
因为(x-3)3+2 016(x-3)=a，
(2y-3)3+2 016(2y-3)=-a，
所以(x-3)3+2 016(x-3)
=-［(2y-3)3+2 016(2y-3)］，
即f(x-3)=-f(2y-3)，
即f(x-3)=f(3-2y)，
因为f(x)=x3+2 016x为增函数，
所以x-3=3-2y，
即x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x2+4y2+4x得到
z=x2+(6-x)2+4x=2x2-8x+36=2(x-2)2+28≥28，
当且仅当x=2，y=2时取得最小值.
13.【解题提示】利用等比数列前n项和的定义和性质即可解决.
【解析】因为S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
所以a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，
所以q＝或－1(舍去)．
答案：
14.【解题提示】利用指数和对数运算性质把底数化为3，再利用对数恒等式求解.
【解析】f(1)＝lo g21＝0，
所以f(f(1))＝f(0)＝2.
因为lo g3<0，
所以
所以
答案：7
15.【解析】线性约束条件对应的可行域为△ABC(如图)．
而z＝为点(x，y)与(－1，0)连线的斜率．
由图形知，z max＝＝2.
答案：2
16.【解析】过点M作抛物线准线的垂线，垂足为M′，抛物线的准线与x轴的交点记为点B，则由抛物线的定义知，|MM′|=|MF|，
又因为所以
即cos∠NMM′=
所以cos∠OFA=cos∠NMM′=
而cos∠OFA=
解得p=2.
答案：2
17.【解析】(1)由a∥b得2cos2x＋2sin xcos x－y＝0，即y＝2cos2x＋
2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin＋1，
所以f(x)＝2sin＋1，
又T＝＝π，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由f(B)＝3得2sin＋1＝3，
解得B＝
18.【解析】(1)因为网购金额在2 000元以上(不含2 000元)的频率为0.4，
所以金额在(2 500，3 000］的频率为0.4－0.3=0.1，即q=0.1且y=100×0.1=10，从而x=15，p=0.15，相应的频率分布直方图如图；
(2)相应的2×2列联表为：
因为5.56>5.024，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2 000元与网龄在3年以上有关.
(3)(2 000，2 500］和(2 500，3 000］两组所抽出的3人、1人分别记作a，b，c和d，从中抽取2人共有6种方法：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，其中(2 000，2 500］组恰有1人获奖有3种：(a，d)，(b，d)，(c，d)，所以(2 000，2 500］组恰有1人获得现金奖的概率是
19.【解析】(1)因为AB是圆O的直径，
所以AC⊥BC.
又因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥BC.
因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，
所以BC⊥平面ACD.
注意到BE CD，则DE CB，所以DE⊥平面ACD，DE⊂平面ADE，
从而平面ADE⊥平面ACD.
(2)三棱锥C-ADE体积V C-ADE=V E-ACD，
因为BE∥CD，所以V E-ACD=V B-ACD=V D-ABC，
即V C-ADE=V D-ABC=1
3×1
2
AC·BC·CD.
因为CD=1，AB=4且AB2=AC2+BC2，
故V C-ADE= (当且仅当AC=BC=时取得最大值，此时C是半圆弧的中点).
因为AC⊥平面BCDE，点O是线段AB的中点，点O到平面BCDE的距离为点
A到平面BCDE的距离AC的一半. 四棱锥O-BCDE的体积V O-BCDE=1
2VA-BCDE
.
因为四边形BCDE是矩形，S BCDE=BC·CD=
所以V O-BCDE=1
2V A-BCDE=1
6
S BCDE·AC=
即四棱锥O-BCDE的体积为
20.【解析】(1)因为f′(x)=e x－a，
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；
②当a>0时，由f′(x)=e x－a=0得x=ln a，
所以当x∈(－∞，ln a)时f′(x）<0，f（x）单调递减；
当x∈(ln a，+∞）时f′(x）>0，f(x）单调递增.
综上，当a≤0时，函数f(x）的单调递增区间为(－∞，+∞)；
当a>0时，函数f(x）的单调递增区间为(ln a，+∞)；单调递减区间为(－∞，ln a).
(2)由(1)知，当a<0时，函数f(x)在R上单调递增且x→－∞时，f(x)→－∞.
所以f(x)≥b不可能恒成立；
当a=0时，ab=0；
当a>0时，由函数f(x)≥b对任意x∈R都成立，得b≤f(x)min.
因为f(x)min=f(ln a)=2a－a ln a，
所以b≤2a－a ln a.
所以ab≤a(2a－a ln a)=2a2－a2ln a，
设g(a)=2a2－a2ln a(a>0)
所以g′(a)=4a－(2a ln a+a)=3a－2a ln a，
由于a>0，令g′(a)=0，得ln a=3
2
，a=32e.
当a∈(0，32e)时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a∈(32e，+∞)时，g′(a)<0，g(a)单调递减.
所以g(a)max=
3
e
2
，即a=32e，b=
3
2
e
2
时，ab的最大值为
3
e
2
.
21.【解析】(1)由题意得c
a2
＝①
因为椭圆经过点
，1)，
所以＝1.②
又a2＝b2＋c2，③
由①②③，解得a2＝8，b2＝c2＝4，
所以椭圆方程为＝1.
(2)①当直线AB与x轴不垂直时，
设直线的方程为y＝kx＋m，
代入＝1，
消去y整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0. 由Δ>0，得8k2＋4－m2>0，(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
22.【解析】(1)如图，连接OC，
因为OA=OB，CA=CB，
所以OC⊥AB，
所以AB是⊙O的切线.
(2)因为BC是圆O的切线，且BE是圆O的割线，所以BC2=BD·BE，
又∠B=∠B，所以△BCD∽△BEC，
因为tan∠CED=1
，所以
2
因为△BCD∽△BEC，所以
设BD=x，BC=2x，
又BC2=BD·BE，所以(2x)2=x·(x+6)，
解得x1=0，x2=2，因为BD=x>0，
所以BD=2，所以OA=OB=BD+OD=2+3=5.
23.【解析】(1)由cos2θ+4sin2θ=
得(ρcos θ)2+4(ρsin θ)2=4，
将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得：
所以曲线C的直角坐标方程为
(2)将直线l的参数方程代入
得(1+3sin2α)t2+cos αt－1=0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
24.【解题提示】(1)根据x+2，2x-1的正负分三种情况求解.(2)利用不等式和方程的关系解出a的值，再利用不等式的性质证明结论.
【解析】(1)当a=－2时，
不等式为|x+2|+|2x－1|≥16，
当x≤－2时，
原不等式可化为－x－2－2x＋1≥16，
解之得x≤
时，原不等式可化为x＋2－2x＋1≥16，
当－2＜x≤1
2
解之得x≤－13，不满足，舍去；
时，原不等式可化为x＋2＋2x－1≥16，解之得x≥5；
当x＞1
2
所以不等式的解集为
(2)f(x)≤1即|x－a|≤1，
解得a－1≤x≤a+1，而f(x)≤1的解集是[0，2]，
所以解得a=1，
从而f(x)=|x－1|.
于是只需证明f(x)+f(x+2)≥2，
即证|x－1|+|x+1|≥2，
因为|x－1|+|x+1|=|1－x|+|x+1|≥|1－x+x+1|=2，所以|x－1|+|x+1|≥2，
即f(x)+f(x+2)≥2a成立.
- 21 -。