利用波尔共振仪研究受迫振动

利用波尔共振仪研究受迫振动
***,物理学系
摘要：
本实验通过测量连续变化的摆幅计算阻尼系数，并研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性，及不同阻尼矩对受迫振动的影响，同时观察共振现象及其性质。

关键词；波尔共振仪受迫振动幅频相频阻尼系数
Research of Vibration Characteristics with Pohl Resonator
Yixiong Ke, Department of Physics
Abstaixt：
This experiment calculate the dancing factor by measuring the continuous changuig of swing-amplitude , and studying anphtude-frequency and phase-frequency charactenstics of the forced vibration in the Boer resonance instrument and how different dainping moments affect tlie forced vibration Besides, we observe the phenomenon of resonance and its characters
Key words: Pohl resonate forced vibration anphtude-fi'equency phase-frequency damping factor
一、引言
振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称为受迫振动，这个周期性的外力称为策动力。

物体的受迫振动达到稳定状态时，其振动的频率与策动力频率相同，而与物体的固有频率无关。

共振是指物理系统在特定频率下，比其他频率以更大的振幅做振动的情形；这个特定频率称之为共振频率。

自然中有许多地方有共振的现象，人类也在其技术中利用或者试图避免共振现象。

在机械制造和建筑工程等领域中，受迫振动所导致的共振现象引起工程技术人员极大关注。

它既有破坏作用，也有实用价值。

很多电声器件都是运用共振原理设计制作的。

另外，在微观科学研究中，“共振”也是一种重要的研究手段。

例如：利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等。

表征受迫振动性质是受迫振动的振幅一频率特性和相位一频率特性（简称幅频特性和相频特性）。

波尔共振仪被普遍用于研究扭摆的阻尼振动和受迫振动。

木实验通过其测最摆幅与时间关系测星阻尼系数，并定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，其中利用了频闪方法來测定相位差。

最后观测摆轮从静止开始，在不同受迫力作用下的运动情况。

通过本实验更深刻的体现了受迫振动性质，并学会运用不同方法测阻尼系数。

二、实验原理
1、受迫振动和共振
受迫振动指物体在周期外力的持续作用下发生的振动，这种周期性的外力称为策动力。

如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动。

此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。

在受迫振动状态下，系统除了受到策动力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。

所以在稳定状态时物体的位移与策动力变化相位不同，而是存在一个相位差。

当策动力频率与系统的固有频率相同时，系统产生共振，振幅最大，相位差为90°。

2、振动方程
实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动來研究受迫振动特性，可直观地显示机构振动中的一些物理现象。

当摆轮受到周期性策动力矩M = M0cosa）t的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为
其运动方程为
:
d20 dO
]^-^= ~k0 — b — +M Q cosa)t at L at
J为摆轮的转动惯最，k为弹性力矩，Mo为强迫力矩的幅值，3为策动力角频率。

令^o2 = p 2卩=* ni = y
上式变为
d20 d0 7
28—+ = mcosa)t
dt2 r dt u
当mcoscot
=
=0时，此式即为阻尼振动方程。

对此方程进行常微分方程求解，得到其通解为：
0 = 0逹一肌cos（3f + a） + 02 COS（3t + 0）
由通解可见，受迫振动可分成两部分：
第一部分：02一风cos（3f + a）和初始条件有关，经过一定时间后衰减消失，它表征
了阻尼振动；
第二部分：02 cos^t + <#>）说明强迫力矩对摆轮作功，向振动体传送能量，最后达到一个稳定的振动状态。

它与策动力矩之间的相位差为:
稳定状态下受迫振动运动状况取决于策动力矩Mo,频率3,系统的固有频率5）和阻尼系数0这四个因素，而与振动的初始状态无关。

用02对3做偏导，可得当极值条件时，强迫力的圆频率吗=尼- 2",此时即产生共振，振幅有极大值。

此时的振幅是务=m/2g厨_2毋。

可以看出，阻尼系数0越小，共振时圆频率接近于系统固有越率，共振的振幅也振幅越大。

理论上当阻尼/?趋近丁0时，$•趋近丁•无穷，这也是有时共振可以产生极强的破坏力的原因。

3、幅频相频特性曲线
以为横坐标，摆轮的振幅为纵坐标作图，所得曲线即为振幅频率特性曲线: So
- 32)2 + 4/?2以
以X =丄为横坐标，摆轮与策动力Z 间的和位舉为纵坐标作图，所得曲线即为相位频率 特性曲线。

通过这两条曲线可以表征受迫振动的性质。

振幅与相位差随X 的变化规律应为:
当振幅达到极值时，自变<%r =丿1一2俨/必 对于2/?2 «诡，X = 1时，幅频特
性曲线达到极值，而相频曲线相交ran/2)o
4、阻尼系数的计算
当振动系统做阻尼振动时，其振幅随时间的变化规律为
0 =恥”耳
本实验中采用了 3种方法计算阻尼系数：
8对丫耳作图，并将其进行e 抬数拟合，可直接得到B 的数值
求e 的白然对数InB,有ln0 = ln6>! -/?Stp In0对Yq 进行直线拟合，其斜率值即为
连续测最10组振幅q, i= 1,2-10,并记录总周期10T 。

计算111-^,由公式可知，
S+5
ln-^ = STp t 即可算出久 W+5
5、过阻尼，欠阻尼与临界阻尼
任何振动系统，当阻尼增加到一定程度时，物体的运动是非周期性的，物体振动连 一次都不能完成，只是慢慢回到平衡位置就停il.To 当阻力使振动物体刚能不作周期性 振动而乂能最快地回到平衡
位置的情况，称为“临界阻尼”状态。

相对于临界阻尼，如
m
wg7(l-x 2)2 + 4/?2x 2
中=arc tan 2px w 0(l - X 2)
果阻尼再增大，系统则需要较长时
间才能达到平衡位置，这样的运动
叫“过阻尼”状态; 如果阻尼减小，
系统发生多次振动，振幅则逐渐减
小，址后达到平衡位置，这叫做“欠
阻尼”状态。

这三种阻尼系统的振动曲线如
右图所示:
6、频闪法测臺相位差
闪光灯受摆轮信号灯电门控制，每当摆轮上长形凹權通过平衡点时，光电门接受光, 触发闪光。

有机玻璃跟随策动力偏心轮旋转，角度刻度与策动力完全同步。

闪光灯放在有机玻璃前，在稳定情况下，在闪光灯照射下可看到有机玻璃指针好像一直“停在'臬一刻度，这一现象称为频闪现象，此值可方便直接读出，误差不大于2。

，为相位差。

三、实验装置及过程
1、测定摆轮的摆幅与周期的关系
1）阻尼档放在0处，将波尔共振仪打开，并预热5分钟左右
2）拨动弹性摆轮使其振动，确保其可以正常工作
3）将波尔共振仪调至测量单次周期，测量摆轮周期
4）将相位盘的示数放在零刻度处，拨动摆轮到175度左右，略微停顿后松手使摆轮开始振动
5）记录每组出现的周期©和对应振幅匕，直到振幅达到10度以下
6）将振幅®对周期耳作图，寻找二者■之间的关系
2、测定空气的阻尼系数
1）不测量新的数据，在实验1的数据基础上对其进行处理
2）多次测量的单个周期进行加和得到
3）振幅®对时间作图，并对其进行e抬数拟合，可得到阻尼系数卩
4）求振幅0的白然对数In®
5）|；|然对数1叫对时间作图，并对其进行线性拟合，可得到阻尼系数|3
3、测定阻尼系数
1）关闭仪器，阻尼档放在1处，并间隔5分钟左右再打开仪器
2）将波尔共振仪调至测量10次周期，测量摆轮周期
3）将相位盘的示数放在零刻度处，拨动摆轮到175度左右，略微停顿后松手使摆轮开始振动4）从第一个在150度左右的数据开始记录，连续记录十次振幅®,读取10次振动的总周期5）计算In寻由公式可知，In占-= 577?,即可算出“。

6+5 e t+5
4、测出幅频特性与相频特性曲线
1）阻尼档仍放在1处，相位盘的示数放在零刻度处
2）波尔共振仪调至测量单次周期，测量摆轮周期
3）将强迫力周期旋钮调至0.5,并打开电机，使摆轮受迫振动，待周期值与振幅值稳定后（连续10次数据未发生改变）进行读数
4）记录摆轮周期（与强迫力矩周期相等），摆轮振幅，并使用闪光灯使相位差的指针在视网膜上形成暂留，读取相位差数值
5）从振幅周期关系表中读取固有周期数值
6）强迫力周期每次增大0.5,并且在相位差靠近90度后将步长改为0.2或0.1,重复（3）（4）两步，直到强迫力周期达到10.0
5、改变阻尼档测量
1）关闭仪器，阻尼档放在2处，并间隔5分钟左右再打开仪器，重复步骤3, 4的实验
2）关闭仪器，阻尼档放在3处，并间隔5分钟左右再打开仪器，重复步骤3, 4的实验
5、观测摆轮从静止开始，在不同受迫力作用下的运动情况
1）关闭仪器，阻尼档放在2处，并间隔5分钟左右再打开仪器
2）将强迫力周期旋钮调至10,并打开电机，使摆轮受迫振动
3）从第一有次示数开始，记录摆轮的振幅值，直到数据点足够多（＞100）
4）改变强迫力周期为9. 0, 8. 0, 7. 0, 6. 0, 5. 0, 3. 0, 1. 0,重复实验
5）将振幅Q对i作图，并与过阻尼、欠阻尼及临界阻尼现象作比较
6、观测摆轮从静止开始，在不同阻尼作用下的运动情况
1）将强迫力周期旋钮调至1.0,并不再改变
2）关闭仪器，阻尼档放在1处，并间隔5分钟左右再打开仪器
3）打开电机，使摆轮受迫振动
4）从第一有次示数开始，记录摆轮的振幅值，直到数据点足够多（＞100）5）改变阻尼为0,3, 4, 5,重复实验
实际所用实验器材型号：
BG-2型波尔共振仪
四、实验结果
1、测定摆轮的摆幅与周期的关系
根据测得数据，以振幅为横坐标，周期为纵坐标作图如下:
从图中可以看出，周期随着时间的 变化并不明显，在振幅小于40度时，并 无特别规律；当振幅大丁• 40度时，周期 基本随若振幅的
增大而减小。

这种周期的变化幅度在仪器可测量范围 内变化
率为£ =鬻=1.9%。

1.585s 2、测定空气的阻尼系数
（1）根据附表1中数据，振幅®对 时间作图，并
对其进行e 指数拟合，可得到阻尼系数/?： 拟合
公式为B =虹尹恥
珀=181 ± 1
p = （7.14 ± 0.05） X 10一％一1 （2）求振幅E 的自然对数
1110,
白然对数In®对时间为耳作图，并对其 进行
线性拟A （考虑到额外的误差， 选取图线中
线性关系较好的一段进 行拟合），可得到阻尼
系数“： 拟合公式为11】8 = ln0] -辽q
ln^i = 5.165 ± 0.001
p = (6.33 ± 0.01) X 10%一1
3、测定加汕电磁阻尼的阻尼系数 连续测量10组振幅1=1,2-10,并记录总周期10T 。

计算lnj-・由公式可知, °i+5 1585-
1.550-
0 20 4C 60 SO 100 120 140 15 on
・en Nev/Function (User) Fit of Sheet 1 B*0*
t(s)
In臭=5邛,即可算出0。

8汁 5
档位阻尼P阻尼卩阻尼卩阻尼P阻尼卩平均值
20. 0348580. 0341890. 0348860. 0343690. 0339150. 034443
30. 040340. 0417540. 0414180. 0416780. 0413450. 041307
50. 0883950. 0910650. 0930870. 1006330. 1131230. 097261
去明：这些数据都是在每次换档Z后分别测得的。

4、测出幅频特性与相频特性曲线
将测得的阻尼1, 2, 3的振幅-x的数据绘制在图中:
可以看出，三个档位的不同阻尼，X 振幅极值都
在x=l处。

振幅随着外界驱动力频率的增大先增大
后减小，中间有一个极大值，并且极大值随着阻尼
的增大而减小。

这个极大值应当可通过公式计算：
m m
02 = -= ----------------------------------------- ==
屍J(1 一无2)2 + 4/?2兀2 必府房m
23$0
i = 1,2,3时厲仇=C= 4.5,这一结果的很好地验证了实验原理中给出的公式。

将阻尼1, 2, 3的相位差-X的数据在左图中表出：
可以看出，三个档位的不同阻尼，其
图线相交于(1,TT/2)O
与实验原理符合程度很好。

5、观测摆轮从静II：开始，在相同阻
尼不同受迫力作用下的运动情况
在阻尼2档进行测量，从强迫力
(D
周期为10. 0开始测虽到1. 0,选取其中现象较明显部分在此给出
（1）强迫力周期为1.0,阻尼为2时，振幅随周期序数的变化情况如右图所示。

可以明显看到图形有类似于欠阻尼振动的情况发生。

（2）强迫力周期为7. 0, 6. 0,阻尼为2时，振幅随周期字数的变化情况分别如上图所不（左图：7.0,；右图：6. 0）o
二者的振幅变化情况类似于过阻尼与临界阻尼，由于过阻尼的现象不太明显，故将其与临界阻尼进行比较，以便区分。

在上图中，强迫力周期7. 0（左图）应更接近临界阻尼状态，强迫力周期6. 0（右图）更接近于过阻尼。

当过阻尼更明显时，在图中的反应应是曲线趋近于半衡位置的速度变慢，即接近水平段曲线的是呈现增长态势的，而临界阻尼则是迅速到达平衡位置，接近于左图。

（3）在实际实验试测相同阻尼下不同强迫力周期时的摆轮振动情况进行比较,发现, 在强迫力频率接近共振频率时，振动向过阻尼的情况发展，也即是平衡位置所需吋间更长，相当于等效阻尼更大；而随着阻尼的逐渐增大，摆轮的振动模式应从欠阻尼到临界阻尼最终成为过阻尼的振动方式，此后过阻尼达到平衡所需的时间将逐渐增加，乃至于当阻尼无限大时，摆轮只能静止。

五、讨论和分析
1. 光电门未对准长凹槽对直接测量最的影响。

光电门未对准长凹艳，叩计数位置未对准摆轮振动的平衡位置，显然将对某些结果产生影响。

使二者不对准的方法，一是将相位读数盘上的挡光杆转至竖直位置（90°位
»）,适用于阻尼振动：二是将光电门取下移动至任一角度处，适用于阻尼振动和受迫振动，这种方法可以使二者偏离更大，但由于手持，稳定性较差。

从直接测量量入手分析，实验中涉及的直接测
最量有三个：周期、振幅、相位差。

笔者先对周期和振幅的计数原理做了研究，发现周期是全周期计数（由平衡位置到振幅最大处再回平衡位置是半周期，此时虽然读数停了，但计数没有停），振幅是单侧计数（半衡位置到振幅最大处再回平衡位置是2倍振幅，但每个齿格是2°,因此显示的振幅数应该就是光电门数到的总格数）。

使二者偏离后做空气阻尼下的阻尼振动实验，发现周期在1. 594^1. 597s范［韦|内波动，与之前测得的周期基本相同。

做受迫振动实验，结果如下表所示：
由于受迫振动是稳定振动，因此从以上结果看，周期计数基本不变，振幅计数（在同侧计）依光电门的偏离位置分别偏小和偏大，符合上述的计数原理。

对于相位差，原本每当长凹槽经过光电门时相位读数盘上的指针转过半圈，现在由于偏离，指针一次转过小于半圈，下一次转过大于半圈，这就导致相位差读数比准确值一次偏大、一次偏小。

值得注意的一点是，从上表可以明显地看出，这种偏大偏小是无法通过两次读数取平均值消除的。

从理论上分析，理论上两计数周期的时间间隔确是T + AT, T-AT的关系, 相位乂是正比于时间的（郴位表达式形如3t +e）,应该可以通过取半均求得正确结果，但实际可能由于频闪法过丁•粗略或相位读数盘有偏心差等原因不可行。

这启示我们一开始就要把光电门的位置调准确。

2. 光电门未对准长凹槽对阻尼系数测量的影响
设光电门偏离长凹杷!的角度为dB,下面先做一下理论推导。

设准确的阻尼系数为p , 偏离后的阻尼系数为P ',则有In% = —+ bi&o n “ =寺加笋lifi臥）—加）= 川=吝加扁=吝［加（色一奶一加（％—"）］，利用Zn（x + l） = x-y4-..得P =0+d&^（—右）。

由于振幅衰减，扌—右 > 0,故d0 > 0 =/? > P»d0 V 0 = g < 0。

下面再以阻尼2档数值为例做一估算。

取％=143°,经过5个周期n二5 , 振幅衰减为89°，则“=寺加注=O.O5946s7,0‘=/? + d&寺G■-右） = 0.05946 +
11
0.03048d&。

设dG =2° (对应摆轮上1格)，则川=0. 06052 (注意以弧度代入)，相对误差0=1.8%.由于通过振幅曲线拟合算出的0与通过阻尼振动测岀的“误差仅在O.39T3% ,因此这一误差相对还
是比较大的，要注意避免。

3. 通过共振频率表达式计算阻尼系数的可行性分析
根据共振的频率条件3 = J尿一2",理论上可以通过T与计算阻尼系数，但实际上由于T的有效数字太少(或者说p太小)而不可行，那么T要精确到多少才可以用这种方法计算0呢？下面做一定量估算。

20 =必-小=4以(詁J = 4TT2“:貯叫精度主要体现在(T-T o)一项上，因为T 与心很接近。

电磁阻尼”的典型数值是0. 06s-1, T 的典型数值是1.6s,代入上式得T-T o = 3.7xlO-4s,因此周期的测量至少要精确到10-4s,也即有6位有效数字(因最后一位一般不准确)！比我们所用仪器多2位有效数字。

4. 阻尼剰磁效应的大小
在实验注意事项中有一条，就是测最中途不能随意变动阻尼档，必须等某一组幅相频曲线都测完后才能改变。

其原因一般认为是电磁阻尼有剩磁效应，那么，这种效应的影响有多大呢？笔者对此做了一个研究，方法是，先使阻尼在0档停留足够长时间，然后拨到1档，测一遍阻尼系数，结果是= (0.05590 ± 0.00017”"，测完后将阻尼调至3档停留一段时间后再回到1档，测一遍阻尼系数，结果是的= (005490土0.000135-1,相对误差b = 1.6%.如果是剩磁效应的影响，应比大，而现在/2 略小于并且从阻尼1档在原实验中测得的数据看，1.6%应属合理误差，因此剩磁效应对实验的影响应该说很小。

关于改变阻尼还有一个问题，就是改变阻尼档后阻尼是渐变的还是瞬变的，这对实验中改好档位后等多久可以开始测最有一定指导意义。

笔者亦对此做了研究，方法是，在摆轮做阻尼运动过程中改变阻尼档，观察振幅的变化
趋势，结果显示，阻尼改变是瞬变的而不是缓变的，在一个周期内就从一个阻尼的衰减特征变到另一阻尼的衰减特征，因此，调好阻尼档后也无需等待很长时间。

兀、实验结论
1.通过本实验测得：空气阻尼为“ =(6.33 ± 0.01) X
2•电磁阻尼2、3、5档的阻尼分别为伤=(3.44±0.08) X 1O-2S-I；“3=
(4.13 ± 0.03) X 10-2$-1;05 = (9.73 ± 0.03) X 10%%
处；相频曲
3. 摆轮的振动周期随着振幅减小而增大。

幅频曲线的振幅极值都在x二1
4. 摆轮从静止开始，在暂态过程中的运动情况与策动力频率和阻尼均有关，在策动力频率接近
固有频率时向过阻尼振动发展；随着阻尼的增大，所需要的达到稳态平衡的时间变短。

七.参考文献
[1] 江美福，方建兴.大学物理实验教程[M].北京：科学出版社,2009
[2] 吕斯骅，段家恢.新编基础物理实验[M].北京：高等教育出版社,2006
[3] 实验室的实验说明
[4] 郑永令，贾起民，方小敏.力学[M].北京：高等教育出版社,2002
[5] 杨福家.原子物理学.北京：高等教育出版社，2008年
[6] 李建设：波尔共振实验中幅频特性曲线及相频特性曲线的演化，广西物理，2009年，第04期
[7] 左庆寿：受迫振动的暂态过程，北京师范学院学报，1989年03月，第1期
[8] 陈志贤.受迫振动过渡过程的讨论，大学物理,1984;35 (11):2
[9] 马文蔚、解希顺:深度理解受迫振动微分方程，东南大学，2012年07月
[10] 朱华泽：用波尔共振仪研究受迫振动特性，大学物理实验，2011年，第03期。