[配套K12]2019年高考数学一轮复习 高考大题专项练6 高考中的概率、统计与统计案例

高考大题专项练六高考中
的概率、统计与统计案例
1.某工厂36名工人的年龄数据如下表:
(1)用系统抽样的方法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样的方法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的平均值和方差s2;
(3)求这36名工人中年龄在(-s,+s)内的人数所占的百分比.
2.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示:
(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;
(2)若某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.
3.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
4.
某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w 立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
5.(2017辽宁抚顺一模)某学校为了了解本校高一学生每周课外阅读时间(单位:小时)的情况,按10%的比例对该校高一600名学生进行抽样统计,将样本数据分为5组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图:
(1)求图中的x的值;
(2)估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间;
(3)为了进一步提高本校高一学生对课外阅读的兴趣,学校准备选拔2名学生参加全市阅读知识竞赛,现决定先在第三组、第四组、第五组中用分层抽样的方法,共随机抽取6名学生,再从这6名学生中随机抽取2名学生代表学校参加全市竞赛,在此条件下,求第三组中恰有一名学生被抽取的概率.
6.学业水平考试后,某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计,结果如下(人数):
已知英语、数学的优秀率分别为24%,30%(注:合格人数中不包含优秀人数).
(1)求a,b的值;
(2)现按照英语成绩的等级,采用分层抽样的方法,从数学不合格的学生中选取6人,若再从这6人中任选2人,求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率.
7.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
(1)根据表中数据,判断是否有95%的把握认为,南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异;
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附:χ2=,n=n11+n21+n12+n22.
P(χ2>k0) 0.050 0.010
k03.841 6.635
参考答案
高考大题专项练六高考中的概率、统计与统计案例
1.解(1)把工厂36名工人的年龄数据分为9组,每组4人.
在第一分段里抽到的年龄数据44对应的编号为2,
故抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,
对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由(1)得,=40,
s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-
40)2]=.
(3)由(2)得=40,s=,则-s=36+s=43.
由表可知,这36名工人中年龄数据在(-s,+s)内共有23人,所占的百分比为
×100%≈63.89%.
2.解(1)由题意,知年收入x为解释变量,年饮食支出y为预报变量,作散点图如图.
从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.
因为=6,=1.83,=406,=35.13.
x i y i=117.7,
所以≈0.172,
≈1.83-0.172×6=0.798.
从而得到线性回归方程为=0.172x+0.798.
(2)=0.172×9+0.798=2.346(万元).所以家庭年收入为9万元时,可以预测年饮食支出为
2.346万元.
3.解(1)当x≤19时,y=3800;
当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.
所以y与x的函数解析式为y=(x∈N).
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所
需费用的平均数为×(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
×(4000×90+4500×10)=4050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
4.解(1)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间
[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w 至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
根据题意,该市居民该月的人均水费估计为
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).
5.解(1)由题设可知,(0.150+0.200+x+0.050+0.025)×2=1,
解得x=0.075.
(2)估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间为:
=1×0.3+3×0.4+5×0.15+7×0.1+9×0.05=3.40(小时).
(3)由题意知从第三组、第四组、第五组中依次分别抽取3名学生,2名学生和1名学生,
设第三组抽到的3名学生是A1,A2,A3,第四组抽取的学生是B1,B2,第五组抽到的学生是C1,则一切可能的结果组成的基本事件空间为:
Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)},共由15个基本事件组成,
设“第三组中恰有一名学生被抽取”为事件A,则A中有9个基本事件,
故第三组中恰有一名学生被抽取的概率P(A)=.
6.解(1)设该校高二学生共有x人,已知英语优秀的有70+30+20=120人,依题意得=0.24,解得x=500.
故=0.3,解得a=20,由学生总数为500人,得b=30.
(2)由题意得,在抽取的数学不合格的6人中,英语优秀的应抽取2人,分别记为a1,a2;英语合格的应抽取3人,分别记为b1,b2,b3;英语不合格的应抽取1人,记为c,从中任取2人的所有结果有15种,这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的基本事件有
{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},共6种,因此这两名学生的英语成绩恰为一人优秀
一人合格的概率为.
7.解(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得
χ2=
=≈4.762.
因为4.762>3.841,所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间
Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1 ,b3),(b1,b2,b3)}.
其中a i表示喜欢甜品的学生,i=1,2,b j表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则
A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.事件A是由7个
基本事件组成,因而P(A)=.。