2019年中考数学答题技巧总结 用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)

用锐角三角函数概念解题的常见方法

1．锐角三角函数

（1）锐角三角函数的定义

我们规定：

sinA=a

c

，cosA=

b

c

，tanA=

a

b

，cotA=

b

a

．

锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．

（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度

对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．

①已知角求三角函数值；

②已知三角函数值求锐角．

2

直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

3．锐角三角函数的性质

（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）

（2）tan α·cot α=1或tan α=1

cot α

； （3）tan α=

sin cos αα，cot α=cos sin α

α

． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．

有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数

例1. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果125

tan =

A ，那么sin

B 的值等于（ ） 5

12.12

5.

13

12.

13

5.

D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求AB AC 的值，而已知的125tan =A ，也就是

12

5

=AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+=

13

12

1312sin ==

∴k k B ，选B 二、巧代换

例2. 已知3tan =α，求

α

αα

αcos sin 5cos 2sin +-的值。

解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们

可以利用关系式3cos sin tan ==

α

α

α，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。

1cos sin 52

cos sin cos sin 5cos 2sin +-=+-α

αα

α

ααα

α

图1

图2

再把

3cos sin =αα代入，得：原式16

1

= 三、妙估计

例3. 若太阳光与地面成︒37角，一棵树的影长为10m ，则树高h 的范围是（取7.13=） A. 53≤<h

B. 105<<h

C. 1510<<h

D. 15<h

解析：如图2，树高︒=37tan 10h ，要确定h 的范围，可根据正切函数是增函数，估计

︒<︒<︒45tan 37tan 30tan

即︒<︒<︒45tan 1037tan 1030tan 10

103

3

10<<⨯

∴h 105<<∴h ，故选B

四、善转化 例4. 在ABC ∆中，

103

1

tan 30==︒=∠BC B A ，，，求AB 的长。

解析：注意题中所说的ABC ∆并不是直角三角形！如图3，ABC ∆不是直角三角形，为了利

用3

1

tan =B ，可以作AB CD ⊥于D ，这样B

∠就是一直角三角形中的一角，A ∠也出现在另

一个

直角三角形中，

设x CD =，则x BD 3= 由222)10()3(=+x x ，得1=x 即CD ＝1，BD ＝3

再有330cot =︒⋅=CD AD

33+=∴AB

图3

五、适时构造

例5. 不查表，不用计算器，求︒75sin 的值。

解析：我们可以先画ABC Rt ∆，使︒=∠︒=∠9030C A ，，如图4，延长CA 至D ，使AD ＝AB ，连结BD ，则︒=∠=∠15DBA D ，︒=∠∴75DBC

图4

设BC ＝1，则3232+===CD AC AB ，，

42

62

63

275sin 26)32(122+=

++=︒∴+=++=∴BD

六、准确分类

例6. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到︒=∠30A ，AC ＝40米，

BC ＝25米，请你求出这块花圃的面积。

图5

图6

解析：ABC ∆中，已知两边和其中一边的对角，这时特别注意ABC ∆的形状不惟一！要分两种情况分别求出，如图5、图6，作AB CD ⊥，分出直角三角形后，可求得面积应为：

22)1503200()1503200(米或米-+

1．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=

2

，则cosB 的值是（ ）

A ．

12 B ．1 D ．2

2．下列各式不成立的是（ ）

A ．sin50°<sin89°

B ．cos1°<cos88°

C ．tan22°<cot45°

D ．cos23°>sin23°

3．∠A 是锐角，tanA>

3

，则∠A （ ） A ．小于30° B ．大于30° C ．小于60° D ．大于60° 4．下列各式正确的是（ ）

A ．sin30°+sin30°=sin60°

B ．tan60°-tan30°=tan30°

C ．cos （60°-30°）=cos60°-cos30°

D ．3tg30°5．一个人从山下沿30°角的坡路向上攀登，如果在坡面上走了100米，•那么他上升的高度是（ ）

A ．100米

B ．50米

C ．

D ．无法确定

6．在△ABC 中∠C 为直角，各边长均扩大2倍，则锐角A 的四个三角函数值（ ） A ．都扩大2倍 B ．都缩小2倍

C ．没有变化

D ．有的扩大2倍，有的缩小2倍 7．

cos 60tan 45cot 302cot 45︒-︒

︒-︒

的值等于（ ）

A ．

．-12 C D ．

8．用计算器求“已知cot α=1.515，求α”时，先计算（ ）

A ．

1

cot α B ．α C D ．

9．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，则cosA=______．

10．若sin （90°-α）=

2

，则cos （90°-α）=______．