函数图像平移公式

函数图像平移公式设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有：1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=-2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+3. 把图像向左平移m （m>0n y -4. 把图像向左平移m （m>0n y +这些规律可总结为：左右平移“X 说明：)(x f 中的x,是用n y +还是用n y -来替换3+x 、4+y 去替换3)3(4)3(242-+-+-=x x371622--x x3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y解：所求抛物线可以看成是将抛物线322+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。

所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y即862+-=x x y例三、求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y例四、已知两条抛物线C 1 ：522+-=x x y ，C 2：742+-=x x y 问抛物线C 1经过怎样的平移后与C 2：抛物线重合。

解：设用n y m x ++.,分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2。

于是C 2的解析式又可表示为5)(2)(2++-+=+m x m x n y 即52)1(222+--+-+=n m m x m x y 比较系数得4)1(2-=-m 、7522=+--n m m 解方程组可得1,1=-=n m由此可知用1,1+-y x 分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2，所以抛物线C 1先向右平移1个单位，再向下平移1例五、已知把直线23+-=x y 平移后经过点A 解：用m x +替换直线23+-=x y 中的x 又平4(32+--=所以平移后所得到的直线解析式是-=y 4个单位。

一次函数左右平移规律

一次函数左右平移规律一次函数，也称为线性函数，是一种形式为y = kx + b的函数，其中k和b是常数。

左右平移是指将函数图像沿x轴的方向移动。

一次函数的左右平移规律可以总结如下：1.左平移规律：当将一次函数y = kx + b向左平移h个单位时，可以通过将x坐标减去h来实现。

即，新的函数为y = k(x - h) + b。

这样做的结果是，原来在x = a处的点，将会移动到新的位置x = a - h处。

2.右平移规律：当将一次函数y = kx + b向右平移h个单位时，可以通过将x坐标加上h来实现。

即，新的函数为y = k(x + h) + b。

这样做的结果是，原来在x = a处的点，将会移动到新的位置x = a + h处。

左右平移规律也可以通过对一次函数的参数进行调整来实现。

具体来说，当a为正数时，对于y = kx + b函数，可以将k的值调整为k' =k/a，然后将b的值调整为b' = b - hk'/a，从而实现向左平移a个单位。

同样地，当a为负数时，可以将b的值调整为b' = b - hk'/a，从而实现向右平移a个单位。

左右平移规律还可以通过函数图像的特征来理解。

一次函数是一条直线，其斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线的截距。

左右平移就是将整条直线沿x轴方向平行地移动。

当左平移时，直线的截距减小；当右平移时，直线的截距增大。

举个例子来说明左右平移规律。

考虑一次函数y=2x+3、如果将函数向左平移2个单位，则新的函数为y=2(x-2)+3，简化为y=2x-1、这意味着原来在x=1处的点现在移动到新的位置x=-1处。

另外，原来的直线在x轴上的截距由3减小到-1总结起来，一次函数的左右平移规律可以通过改变图像的参数或调整函数表达式来实现。

无论是通过改变参数还是通过改变表达式，效果都是将整个函数图像沿x轴方向移动。

左平移通过减小斜率b来实现，右平移通过增大斜率b来实现。

函数平移的原理推断

函数平移的原理推断
函数的平移是指将函数图像上的所有点按照平移向量的大小和方向进行移动。

平移变换的原理可以通过以下推断来理解：
1. 平移变换的基本概念: 平移变换是指在平面或空间中将点按照一个向量的大小和方向进行移动，即将点P(x, y, z)移动到另一个点P'(x', y', z')。

2. 函数图像的平移: 当我们将函数图像进行平移变换时，实际上是将函数中的每个点按照平移向量的大小和方向进行移动，从而得到新的函数图像。

3. 平移向量的方向和大小: 平移向量的方向决定了函数图像的平移方向，而平移向量的大小决定了函数图像的平移距离。

4. 函数图像的平移规律: 在平面直角坐标系中，对于一元函数y=f(x)，我们将其平移向量定义为(a, b)，即将函数图像向右平移a个单位，向上平移b个单位。

则平移后的函数图像可以表示为y=f(x-a)+b。

5. 推广到多元函数: 对于多元函数z=f(x, y)，我们可以将其平移向量定义为(a, b,
c)，即将函数图像向右平移a个单位，向上平移b个单位，向前（或后）平移c 个单位。

则平移后的函数图像可以表示为z=f(x-a, y-b, z-c)。

总而言之，函数的平移是将函数图像上的每个点按照平移向量的大小和方向进行
移动，从而得到新的函数图像。

平移变换的原理是将函数中的每个点的坐标进行相应的变化，如对一元函数y=f(x)，平移函数图像的规律是y=f(x-a)+b；对多元函数z=f(x, y)，平移函数图像的规律是z=f(x-a, y-b, z-c)。

计算指数函数的平移和缩放

计算指数函数的平移和缩放指数函数是数学中的重要函数之一，它具有形如f(x) = a⋅bˣ的表达式，其中a和b都是常数，b被称为底数。

在研究指数函数时，我们常常需要考虑平移和缩放对其图像的影响。

一、指数函数的平移平移是指将函数图像上下或左右移动的操作，它可以通过改变指数函数中的常数项来实现。

设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其上下平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅bˣ + h。

当h为正值时，函数图像将向上平移，而当h为负值时，函数图像将向下平移。

平移的距离是|h|，也就是h的绝对值。

举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。

如果我们将其上移2个单位，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ + 2。

相比于原来的函数，新函数的图像将整体上移2个单位。

二、指数函数的缩放缩放是指将函数图像进行拉伸或压缩的操作，它可以通过改变指数函数中的底数来实现。

设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍（k>0），则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ。

当k大于1时，函数图像将被水平拉伸，而当0<k<1时，函数图像将被水平压缩。

缩放倍数是k的倒数，也就是1/k。

举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。

如果我们将其在横轴方向压缩为原来的一半，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ/2 = 2ˣ/4。

相比于原来的函数，新函数的图像将在横轴方向缩短一半。

三、平移和缩放的综合应用在实际问题中，我们常常需要同时考虑指数函数的平移和缩放。

此时，我们可以先进行缩放操作，再进行平移操作。

设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍，并将结果向左平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ + h。

这里的缩放倍数是k，平移距离是|h|，分别决定了函数图像的水平压缩程度和水平平移距离。

举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。

函数图像的移动规律

函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。

一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。

??二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y 轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。

若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。

图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。

函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。

反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连；有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。

函数图像的变换法则

（ 0,1 ）和（ 0,1 ）（ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图像．如图．则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a

a ax a a a
x

ax a ax
1 y 1
a a a
x

a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.

函数图象的平移变换

解释
在函数图象上，每一个点$(x, y)$在平移后变为$(x + a, y)$，即横坐标增加 $a$，纵坐标不变。
右平移变换的性质
1
函数值不变：对于任意$x$，有$f(x - a) = f(x)$，即函数值在平移前后保持不变。
2
平移不改变函数的单调性、奇偶性等性质。
3
平移不改变函数的值域和定义域。
平移变换用于验证数学模型
通过平移变换，我们可以验证数学模型的正确性和可靠性，从而更好地应用于实际问题。
平移变换用于优化数学模型
通过平移变换，我们可以优化数学模型的参数和结构，从而提高模型的预测精度和可靠性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
平移变换可用于研究函数的极值
通过平移函数图像，可以更直观地观察函数的极值点，从而确定极值的位置和大小。
平移变换有助于研究函数的单调性
通过平移函数图像，可以观察函数在不同区间内的单调性，从而分析函数的单调性。
平移变换在解决实际问题中的应用
01
平移变换用于解决物理问题
在物理问题中，平移变换常用于描述物体在空间中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动规律，如位移、速度和加速度等。
左平移变换的数学表达式
$y = f(x + a)$，其中$a$为正数。
左平移变换的性质
01
平移不改变函数的值域和定义域。
02
平移不改变函数的单调性、奇偶性和周期性。
平移不改变函数的对称性。
03
左平移变换的应用
解决函数图象问题
通过左平移变换，可以将函数图象进行平移，从而更直观地观察函数的性质和变化规律。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如物理中的振动和波动问题，可以通过左平移变换来描述时间的推移和物理量的变化。

二次函数专题—函数图像的平移

二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。

函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。

1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。

解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。

这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。

反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。

如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。

函数的平移与伸缩

函数的平移与伸缩函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。

在数学中，函数的平移和伸缩是常见的操作，它们可以改变函数的图像，使得函数具有不同的性质和特征。

本文将围绕函数的平移与伸缩展开论述，并探讨它们在数学中的应用。

一、函数的平移函数的平移是指在坐标平面上将函数图像沿着横轴或者纵轴方向移动一定的距离。

平移可以改变函数的位置，使得函数的图像在坐标系中发生改变。

1. 水平平移：水平平移是指将函数图像沿着横轴方向移动。

设原函数为f(x)，平移t个单位，则平移后的函数为f(x-t)。

在平移后的函数中，所有的横坐标都减去t。

如果t为正数，则图像向右平移；如果t为负数，则图像向左平移。

2. 垂直平移：垂直平移是指将函数图像沿着纵轴方向移动。

设原函数为f(x)，平移t个单位，则平移后的函数为f(x)+t。

在平移后的函数中，所有的纵坐标都加上t。

如果t为正数，则图像向上平移；如果t为负数，则图像向下平移。

函数的平移可以改变函数的图像位置，使得函数在坐标系中的位置发生变化。

例如，对于函数y=sin(x)，如果将其水平平移2个单位，则平移后的函数为y=sin(x-2)，图像向右平移了2个单位。

二、函数的伸缩函数的伸缩是指通过改变函数的系数来改变函数图像的形状和幅度。

伸缩可以改变函数的变化速率、振幅，以及图像在坐标系中的大小。

1. 水平伸缩：水平伸缩是指通过改变函数的横坐标来改变函数的图像。

设原函数为f(x)，伸缩的比例为a，则伸缩后的函数为f(ax)。

在伸缩后的函数中，所有的横坐标都乘以a。

如果a大于1，则图像被压缩；如果a小于1，则图像被拉伸。

2. 垂直伸缩：垂直伸缩是指通过改变函数的纵坐标来改变函数的图像。

设原函数为f(x)，伸缩的比例为b，则伸缩后的函数为b*f(x)。

在伸缩后的函数中，所有的纵坐标都乘以b。

如果b大于1，则图像上下缩放；如果b小于1，则图像上下拉伸。

函数的伸缩可以改变函数的形状和大小，使得函数图像在坐标系中的特征发生变化。

函数的图像及其变换

的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴对称；对称；对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
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► 探究点3 判断、证明函数的单调性题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围，使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数，则函数 y＝f(2x) )
【解析】如图所示，不妨设正三角形ABC的边长为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝

函数图像变换规律

函数图像变换规律
●自变量改变而导致图像的左右（横坐标）变化
1.自变量加则向左，减则向右平移，简记为“左加右减”；
2.自变量乘ω，则图像的每个点的横坐标变为原来的1/ω倍；
3.自变量加负号（即乘-1），则图像关于y轴对称，即每个点的横坐标变为原来的
1/-1倍；
4.自变量加上绝对值，则擦去左边，再做右边关于y轴对称；
●函数值改变而导致图像的上下（纵坐标）变化
1.函数值加则向上，减则向下平移；
2.函数值乘ω，则图像的每个点的纵坐标变为原来的ω倍；
3.函数值加负号（即乘-1），则图像关于x轴对称，即每个点的纵坐标变为原来的
-1倍；
4.函数值加上绝对值，则把x轴下方向上翻折。

●练习：
1)在函数y=log3(x2-2x)的自变量中减2，可得y=________________；
2)在函数y=log3(x2-2x)的函数值中减2，可得y=________________；
3)在函数y=log3(x2-2x)的自变量中加绝对值，可得y=________________；
4)在函数y=2sin(p/3-x)的自变量中加p/4，可得y=________________；
5)在函数y=1/x中的自变量中加负号，得y =______________；再在自变量中减2，得y=____________________；再在函数值中加1，得y =______________；。

函数图像向左右平移的公式

①一次函数的平移
不需要对一般式变形，只是在y=kx+b的基础上，在括号内对“x”和“b”直接进行调整。

对b符号的增减，决定直线图像在y轴上的上下平移。

向上平移b+m，向下平移b-m。

对括号内x符号的增减，决定直线图像在x轴上的左右平移。

向左平移k(x+n)，向右平移k(x-n) 。

②二次函数的平移
（1）将y=ax²的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位，即可得到y=ax²+c的图象．其顶点是(0，c)。

形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax²相同。

（2）将y=ax²的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h) ²的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同。

（3）将y=ax²的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h) ²+k的图象，其顶点是(h,k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax²相同。

③反比例函数的平移
对于双曲线y= k/x，若在分母x上加、减任意一个实数y= k/x±m，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。

加一个数时向左平移，减一个数时向右平移。

函数的平移与变换

函数的平移与变换在数学中，函数的平移和变换是一种常见的操作，它们可以改变函数图像的位置、形状和尺寸。

本文将介绍函数的平移和变换的概念、性质以及如何进行计算。

一、函数的平移函数的平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。

平移可以使函数图像左右或上下移动，从而改变其在坐标平面上的位置。

1.1 水平平移在平面直角坐标系中，如果一个函数f(x)经过水平平移使得每个点的横坐标减少或增加a个单位，则新函数为f(x-a)或f(x+a)。

例如，对于函数y = sin(x)，若将其向右平移2个单位，则新函数为y = sin(x-2)。

1.2 垂直平移在平面直角坐标系中，如果一个函数f(x)经过垂直平移使得每个点的纵坐标减少或增加a个单位，则新函数为f(x)+a。

例如，对于函数y = x^2，若将其向上平移3个单位，则新函数为y = x^2+3。

二、函数的变换函数的变换是指对函数进行拉伸、压缩、翻转或倾斜等操作，从而改变函数图像的形状和尺寸。

2.1 水平拉伸与压缩在平面直角坐标系中，如果一个函数f(x)经过水平拉伸或压缩，则新函数为f(kx)，其中k为比例因子，k>1时为拉伸，0<k<1时为压缩。

例如，对于函数y = sin(x)，若将其水平拉伸到原来的2倍，则新函数为y = sin(2x)；若将其水平压缩到原来的一半，则新函数为y =sin(0.5x)。

2.2 垂直拉伸与压缩在平面直角坐标系中，如果一个函数f(x)经过垂直拉伸或压缩，则新函数为kf(x)，其中k为比例因子，k>1时为拉伸，0<k<1时为压缩。

例如，对于函数y = x^2，若将其垂直拉伸到原来的3倍，则新函数为y = 3x^2；若将其垂直压缩到原来的一半，则新函数为y = 0.5x^2。

2.3 翻转与倾斜在平面直角坐标系中，如果一个函数f(x)经过翻转或倾斜，则新函数的表达式会有所变化。

例如，对于函数y = x^3，若将其关于坐标轴进行翻转，则新函数为y = -x^3；若将其倾斜，则新函数的表达式会变为y = ax + b，其中a和b为常数。

关于函数平移的知识点与图

关于函数平移的知识点与图函数平移是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们理解和解决各种数学问题。

本文将从基本概念开始，逐步介绍函数平移的知识点，并通过图示进行解释。

1. 什么是函数平移？函数平移是指将函数图像在平面上沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。

平移可以改变函数图像在坐标系中的位置，但不改变其形状、斜率和曲率。

2. 横向平移横向平移是指函数图像沿着横轴方向移动。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的单位长度为a。

横向平移后的函数可以表示为：g(x) = f(x - a)其中，f(x - a)表示将原函数f(x)中的每个点横坐标减去a后得到的新函数。

2.1. 向左平移当平移单位长度为正数a时，函数图像将向左平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向左平移2个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = (x - 2)^2这意味着函数图像中的每个点的横坐标都减去2。

2.2. 向右平移当平移单位长度为负数-a时，函数图像将向右平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向右平移3个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = (x + 3)^2这意味着函数图像中的每个点的横坐标都加上3。

3. 纵向平移纵向平移是指函数图像沿着纵轴方向移动。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的单位长度为b。

纵向平移后的函数可以表示为：g(x) = f(x) + b其中，f(x) + b表示将原函数f(x)中的每个点纵坐标加上b后得到的新函数。

3.1. 向上平移当平移单位长度为正数b时，函数图像将向上平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向上平移4个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = x^2 + 4这意味着函数图像中的每个点的纵坐标都加上4。

3.2. 向下平移当平移单位长度为负数-b时，函数图像将向下平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向下平移5个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = x^2 - 5这意味着函数图像中的每个点的纵坐标都减去5。

函数图像的移动规律

函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。

一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y 轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。

若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。

图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。

函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。

反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连；有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。

二次函数向上下左右平移规律

二次函数向上下左右平移规律二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。

二次函数的向上、下、左、右平移是指对函数图像进行上下、左右平移的操作。

下面将详细介绍二次函数的向上下左右平移规律。

一、向上平移：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，向上平移就是把整个图像沿y轴的负方向平移h个单位。

形式上可以表示为f(x) = a(x - x0)^2 + c，其中(x0, c)是平移后图像上任意一点的坐标。

二、向下平移：向下平移是指把整个图像沿y轴的正方向平移h个单位，可以使用f(x)=a(x+x0)^2+c进行表示，其中(x0,c)是平移后图像上任意一点的坐标。

三、向左平移：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，向左平移就是把整个图像沿x轴的正方向平移k个单位，可以使用f(x) = a(x +k)^2 + b(x + k) + c进行表示。

四、向右平移：向右平移是指把整个图像沿x轴的负方向平移k个单位，可以使用f(x)=a(x-k)^2+b(x-k)+c进行表示。

接下来，我们将详细分析每种平移的规律。

1.向上平移规律：在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，向上平移可以通过改变c的值来实现。

当c的值增加时，整个图像沿y轴的负方向平移；当c的值减少时，整个图像沿y轴的正方向平移。

2.向下平移规律：向下平移可以通过改变c的值来实现。

当c的值增加时，整个图像沿y轴的正方向平移；当c的值减少时，整个图像沿y轴的负方向平移。

3.向左平移规律：向左平移可以通过改变b的值来实现。

当b的值增加时，整个图像沿x轴的正方向平移；当b的值减少时，整个图像沿x轴的负方向平移。

4.向右平移规律：向右平移可以通过改变b的值来实现。

当b的值增加时，整个图像沿x轴的负方向平移；当b的值减少时，整个图像沿x轴的正方向平移。

需要注意的是，向上、下、左、右平移所改变的是函数图像的位置，而不改变图像的形状。

关于正余弦函数图像平移的两点法

关于正余弦函数图像平移的两点法正余弦函数是高中数学中常见的函数之一，图像平移是对函数图像的一种操作。

本文将介绍正余弦函数的图像平移，重点使用两点法来解释。

正余弦函数可以表示为：正弦函数：y = A*sin(Bx + C) + D余弦函数：y = A*cos(Bx + C) + D其中A、B、C、D为常数，决定了函数的振幅、周期、相位和纵向平移。

图像平移是指将函数图像沿x轴或y轴的方向上移动一定距离。

正余弦函数的图像平移可以通过改变C和D来实现。

C的改变实现沿x轴方向的平移，D的改变实现沿y轴方向的平移。

接下来，我们将使用两点法来说明正余弦函数的图像平移。

两点法是通过给定某一点的坐标和平移后的坐标，来确定平移的距离和方向。

首先，考虑正弦函数的平移。

假设有一条正弦函数的图像y = sin(x)，我们希望将其向右平移2个单位。

我们选择原函数上的一点A，坐标为(Ax, Ay)，以及平移后的点B，坐标为(Bx, By)。

根据两点法，我们可以得到以下关系式：By = AyBx = Ax + 2由于正弦函数的周期为2π，所以我们可以选择A点的x坐标为0，即Ax = 0。

那么根据关系式，可以得到B点的x坐标为2，即Bx = 2。

将Ax = 0代入正弦函数中，可以得到Ay = sin(0) = 0。

根据关系式，可以得到By = 0。

所以，平移后的正弦函数为y = sin(x - 2)。

图像向右平移了2个单位。

接下来，考虑余弦函数的平移。

假设有一条余弦函数的图像y =cos(x)，我们希望将其向上平移3个单位。

同样地，选择原函数上的一点A，坐标为(Ax, Ay)，以及平移后的点B，坐标为(Bx, By)。

根据两点法，我们可以得到以下关系式：By = Ay + 3Bx = Ax由于余弦函数的周期为2π，所以我们可以选择A点的x坐标为0，即Ax = 0。

那么根据关系式，可以得到B点的x坐标也为0，即Bx = 0。

将Ax = 0代入余弦函数中，可以得到Ay = cos(0) = 1。