2010高考数学知识点汇编知识精讲(全套)(1)

2010届高考数学知识点汇编（全套)
函数
1。

函数的定义 (1）映射的定义:
(2） 一一映射的定义：
上面中是映射的是_____________，是一一映射的是____________。

（3）函数的定义：（课本第一册上。

P51） 2。

函数的性质 （1）定义域：（南师大P32复习目标） （2）值域：
（3）奇偶性（在整个定义域内考虑) ①定义：
②判断方法：Ⅰ。

定义法 步骤：a 。

求出定义域；
b.判断定义域是否关于原点对称;
c.求)(x f -；
d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系. Ⅱ图象法 ③已知：)()()(x g x f x H =
若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相同，则在公共定义域内)(x H 为偶函数
若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相反，则在公共定义域内)(x H 为奇函数
④常用的结论：若)(x f 是奇函数，且定义域∈0，则)1()1(0)0(f f f -=-=或；
若)(x f 是偶函数，则)1()1(f f =-；反之不然.
（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑） ①定义:
②证明函数单调性的方法： Ⅰ。

定义法 步骤：
a 。

设2121,x x A x x <∈且；
b 。

作差)()(21x f x f -；
(一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出） c.判断正负号。

Ⅱ用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，
则⇔∈≥)0)(A x x f ，（’
)(x f 在A 内为增函数； ⇔∈≤)0)(A x x f ，（’
)(x f 在A 内为减函数。

③求单调区间的方法： a.定义法: b 。

导数法： c 。

图象法：
d.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：
若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； 若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数.
注意：先求定义域,单调区间是定义域的子集。

④一些有用的结论:
a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；
b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；
c.在公共定义域内
增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

d 。

函数)0,0(>>+
=b a x
b
ax y 在(][)
+∞-∞-,,ab ab 或上单调递增；在[)(]
ab ab ，或00,-
上是单调递减。

（5）函数的周期性
定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x,使)()(x f T x f =+恒成立 则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期.
例：（1)若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01
，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+ 则①)(x f 关于 对称;②)(x f 的周期为 ；
③)(x f 在（1，2)是 函数（增、减）；
④）时，，（若10∈
x )(x f =x 2，则=)(log 18
2
1f 。

（2）设)(x f 是定义在),(+∞-∞上,以2为周期的周期函数,且)(x f 为偶函数,在区间
［2，3］上，)(x f =4)3(22
+--x ，则时，]2,0[∈x )(x f = 。

3、函数的图象
1、基本函数的图象：（1)一次函数、（2)二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）
对数函数、（6）三角函数。

2、图象的变换 (1）平移变换
①函数)0(),(>+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿x x f y )(=向左平
个单位得到的移a ；
②函数)0(),(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿x x f y )(=向右平
个单位得到的移a ；
③函数)0(,)(>+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上平
个单位得到的移a ;
④函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向下平
个单位得到的移a 。

（2）对称变换
①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；
函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称； 函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称；
②如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。

③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

④)(x f y =→)(x f y =
⑤)(x f y =→)(x f y =
⑥)(1
x f
y -=与)(x f y =关于直线x y =对称。

（3）伸缩变换
①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长
)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍.
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长
)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a
1
倍。

例：（1）已知函数)(x f y =的图象过点（1，1)，则)4(x f -的反函数的图象过
点 。

（2）由函数x
y )2
1(=的图象，通过怎样的变换得到x
y 2log =的图象？
4、函数的反函数
1、求反函数的步骤:
①求原函数)(x f y =，)(A x ∈的值域B
②把)(x f y =看作方程，解出)(y x ϕ=; ③x,y 互换的)(x f y =的反函数为)(1
x f
y -=，)(B x ∈.
2、函数与反函数之间的一个有用的结论：a b f b a f =⇔=-)()(1
3、原函数)(x f y =在区间],[a a -上单调递增，则一定存在反函数，且反函数
)(1
x f
y -=也单调递增；但一个函数存在反函数,此函数不一定单调。

例1：)
1(2
log 3x y -=，)0(≥x 的反函数为 。

2：已知)0(,32)(2
≥++=x x x x f ,求)12(-=x f y 的反函数。

3:设=⋅-=-)0(,329)(1
f
x f x
x
则 .
4:四十五分钟能力训练题十（13题）.
5、函数、方程与不等式
1、“实系数一元二次方程02
=++c bx ax 有实数解”转化为“042
≥-=∆ac b ",你是
否注意到必须0≠a ；当a =0时，“方程有解”不能转化为042
≥-=∆ac b .若原题
中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。

设21,x x 为方程)0(,0)(>=a x f 的两个实根.
①若,,21m x m x ><则0)(<⇔m f ；
②当在区间),(n m 内有且只有一个实根，时，
⎨
⎧<⋅⇔0)()()1(n f m f
③当在区间),(n m 内有且只有两个实根时，
④若q x p n x m <<<<<21时
注意:①根据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的充要条件。

②注意端点，验证端点。

例:1、对于定义在R 上的函数,1
4)(2
+-=
x m
x x f 若其所以的函数值都不超过1，则m 的取值范围 。

2、已知函数]
41
)([22log +-+=x a ax y 的定义域是一切实数，则
∈a 。

3、若关于x 的方程0122
2=++⋅+a a x x
有实根，则∈a 。

4、设集合A={}
0342<+-x x x ，B 是关于x 的不等式组
⎪⎩⎪⎨⎧≤++-≤+-0
5)7(20
22
2x a x a x x 的解集，试确定a 的取值范围,使B A ⊆. 5、已知方程012
=+++m mx x 的两个根为一个三角形两内角的正切值，
试求m 的取值范围。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆⇔0
)(0)(20n f m f n a b m ⎩⎨⎧<⋅<⋅⇔0
)()(0
)()(q f p f n f m f
直线、平面、简单几何体一、知识结构
另注：三余弦公式？其中α为线面角，β为斜线与平面内直线所成的角，θ为？ 二、主要类型及证明方法（主要复习向量法） 1、定性：
（1）直线与平面平行：向量法有几种证法；非向量法有种证法。

（2）直线与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。

（3）平面与平面垂直:向量法有几种证法；非向量法有种证法。

2、定量：
（1）点P 到面的距离d=||
|||,cos |n n PA n PA PA ⋅=><⋅
（2）异面直线之间的距离：（同上）
(3)异面直线所成的角θ:><=n PA ,cos cos θ （4)直线与平面所成的角θ：><=n PA ,cos sin θ （5）锐二面角θ:><=n m ,cos cos θ 三、例题
1.设集合A＝｛正四面体｝，B＝｛正多面体｝，C＝｛简单多面体｝，则A、B、C之间的关系
为( A)
A。

A⊂B⊂C B。

A⊂C⊂B C.C⊂B⊂A D。

C⊂A⊂B
2.集合A＝｛正方体}，B＝{长方体}，C＝｛正四棱柱}，则A、B、C之间的关系为( B)
A.A⊂B⊂C
B.A⊂C⊂B C。

C⊂A⊂B D。

B⊂A⊂C
3.长方体ABCD－A’B’C'D'中，E、F、G分别是AB、BC、BB'上的点，则△EFG的形状是（C）
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形D。

钝角三角形
4.长方体的一条对角线与同一顶点处的三条棱所成角分别为α、β、γ，则有（A）
A。

cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 B.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1
C。

cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2 D.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝3
5.长方体的一条对角线与同一顶点处的三个面所成角分别为α、β、γ，则有( B）
A.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 B。

sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1
C.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝3
D.sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2
6.长方体ABCD－A’B’C'D’中，∠D'BA＝45º，∠D’BB'＝60º，则∠D'BC＝( C)
A。

30º B.45º C.60º D。

75º
7.长方体的全面积为11，所有棱长之和为24,则这个长方体的一条体对角线长为（C）
A.2 3
B.错误!
C.5 D。

6
8.棱锥的底面积为S，高位h，平行于底面的截面面积为S'，则截面与底面的距离为( )
A。

错误!B.错误!C。

错误!D.错误!
A
9.三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的（）
A.内心
B.外心C。

垂心D。

重心
B
10.三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的
( )
A。

内心B。

外心C。

垂心D。

重心
B
11.三棱锥P－ABC的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角
形的（)
A.内心B。

外心C。

垂心D.重心
A
12.三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（)
A.内心B。

外心C。

垂心D。

重心
C
13.三棱锥V－ABC中，VA＝BC,VB＝Ac，VC＝Ab，侧面与底面ABC所成的二面角分别为α、β、
γ(都是锐角），则cosα＋cosβ＋cosγ＝（)
A.1 B。

2 C。

错误!D。

错误!
A
14.四面体的四个面中，下列说法错误的是( )
A.可以都是直角三角形B。

可以都是等腰三角形
C。

不能都是顿角三角形D。

可以都是锐角三角形
C
15.正n棱锥侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成角为β，则tanα∶tanβ＝（)
A。

sin错误!B.cos错误!C。

sin错误!D.cos错误!
B
16. 一个简单多面体的各个面都是三角形，且有6个顶点，则这个多面体的面数为( ）
A 。

4
B .6
C .8
D 。

10 C 17. 正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为( )
A 。

arccos 错误!
B 。

π－arccos 错误!
C 。

错误!－arccos 错误!
D .－arccos 错误! B
18. 正方体的全面积为a 2，它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积为( )
A 。

错误!
B .错误!
C .2πa 2
D 。

3πa 2 B 19. 一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，且它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积
为（ ） A 。

20错误!π B 。

25错误!π C 。

50π D .200π C 20. 在球面上有四个点P 、A 、B 、C,如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a,那么
这个球面的面积是（ ) A 。

2πa 2 B 。

3πa 2 C .4πa 2 D 。

6πa 2 B
21. 北纬30º的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为( ）
A 。

1∶1
B .2∶1
C .错误!∶1
D 。

错误!∶1 A
22. 地球半径为R ，在北纬30º的圆上有两点A 、B,A 点的经度为东经120º，B 点的经度为西
经60º，则A 、B 两点的球面距离为（ ） A 。

错误!πR B .错误!πR C .错误!πR D 。

错误!πR D 23. 球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的1
6，经过这三个点的小圆
周长为4π,那么这个球的半径为( ） A 。

4错误! B .2错误! C .2
D 。

错误!
B
24. 球面上有三个点A 、B 、C ，其中AB ＝18，BC ＝24,AC ＝30,且球心到平面ABC 的距离为球
半径的一半，那么这个球的半径为( ） A .10错误! B .10 C 。

20 D .30 A
25. 在北纬60º圈上有甲、乙两地,它们在纬度线上的弧长等于错误!R ，R 为地球半径，则这两
地的球面距离为（ ） A 。

错误!πR B .错误!πR C .错误!πR D 。

错误!πR B 填空题：
设m 、n 是不重合的两条直线，γβα,,是不重合的平面，给出下列命题：请判断其是否正确，如错误，请举出反例.
若βαα⊥,//n ,则β⊥n
若βα⊥⊥⊥m n n m ,,，则βα⊥ 若ββαα⊂⊥⊥m n ,,,则n m // 若βαβ⊥⊥,n ，则αα⊂n n 或// 若λβγα⊥⊥,，则βα//
若α内有不共线的三点到β的距离相等,则βα// 若βββα//,//,,b a b a ⊂⊂，则βα//
若a 、b 是异面直线，βββα//,//,,b a b a ⊂⊂，则βα//
三、解答题
26. 如图:已知正三棱柱ABC －A 'B 'C '的侧棱长为2,底面边长为1，M 是BC 的中点。

（1）求异面直线AB '与BC '的夹角；
（2)在直线CC ’上求一点N ，使得MN ⊥AB '。

（3） 若AB 的中点为P ，BC ’的中点Q ，求证：PQ//面ABC
(1）解法一：因为错误! 又因为ABC －A 'B ’C ’是正三棱柱,∴ 错误! 〈错误! 由题意，错误!＝2从而得：错误!＝错误!＝错误!＝4＋错误! ＝错误! ∴ cos <错误! ∴ 〈错误! 即异面直线AB '与BC ’的夹角为arccos 错误!
解法二：以A 点为坐标原点，AA ’为z 轴，AC 为y 轴,建立空间直角坐标系， 由题意：A （0，0,0),B （错误!,0），B '（错误!，2）,C '（0，1,2） 错误! 错误! cos <错误!＝错误!
∴ 〈错误! 即异面直线AB ’与BC '的夹角为arccos 错误! （2）解法一:设错误!由题意可得:错误!
错误! 〈错误!
∵ 错误! 也就是错误!
∴ 错误! ∴ 错误!∴ －错误!＋4x ＝0∴ x ＝错误! 即当错误!时,AB ’⊥MN . 解法二：同解法一建立空间直角坐标系, 有A （0,0，0),B (错误!，0)，M (错误!,0），N （0，1，z ） 错误!∵ 错误!
∴ 错误! ∴ －错误!＋2z ＝0
解得z ＝错误!，∴ N ＝（0,1,错误!） 即CN ＝错误!时，AB ’⊥MN 。

（3）非向量法略，另向量法：方法一、基向量(待定系数法）)1,4
1,43(
P )1,43,43(
Q ，则)0,2
1
,0(=PQ ,又因为)0,21,23(=AB ，)0,1,0(=AC
设AC y AB x PQ +=得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧+=+=+=y x y x y x 0002
1
21023
0得x=0,y=1/2，所以AB AC PQ 021+=所以PQ 与面ABC 共面，又因为ABC PQ 面⊄，所以PQ//面ABC
例2已知).1(1
)(-≠+=
x x x
x f （来源课本第二册P17、EX9；P23、EX4；P31、EX3） )()1(x f 求的单调区间；（2)求证:).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有
（3）若.5
4
)()(:,)(1,022
>+-=
>>c f a f b b a c b a 求证
讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 ， 得 1
1
1)(+-
=x x f ， .),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f
（2)
首
先
证
明
任
意
).
()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有事实
上,)(1
111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x y f x f ++=+++++>++++++=+++=
+ 而 ()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由
)()()(y x f y f x f +>+∴ ,04
)
2
(1)(122>=+-≥-=
a b b a b b a c
.44222≥+≥+∴a
a c a 54)4()()()(2
2=≥+>+∴f c a f c f a f 。

函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 ， 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题
型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值。

. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意
).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有采用逆向分析法， 给出你的想法!
例4 对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立,则称)(0x f x 为的不动点。

如果函数
),()(2N c b c bx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0,2,且,2
1)2(-<-f
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）已知各项不为零的数列1)1
(
4}{=⋅n
n n a f S a 满足，求数列通项n a ; （3)如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时,恒有3<n a 成立。

讲解： 依题意有
x c
bx a
x =-+2,化简为 ,0)1(2=++-a cx x b 由违达定理， 得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=⋅--=+,102,102b a b c 解得 ,210⎪⎩⎪⎨⎧+==c b a 代入表达式c x c x x f -+=)21()(2，由,2
1
12)2(-<+-=
-c f 得 x x f b c N b N c c ===∈∈<)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点,).1(,)
1(2)(,2,22
≠-=
==∴x x x x f b c 故 (2)由题设得,2:1)11(2)1(
42
2n n n n
n n a a S a a S -==-⋅得 （＊）
且2
1
112:1,1----=-≠n n n n a a S n n a 得代以 （＊＊）
由（＊）与（＊*）两式相减得:
,0)1)((),()(2112
121=+-+---=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即
,2:(*)1,12
11111a a a n a a a a n n n n -==-=--=∴--得代入以或
解得01=a (舍去）或11-=a ,由11-=a ，若,121=-=-a a a n n 得这与1≠n a 矛盾,11-=-∴-n n a a ，即｛}n a 是以-1为首项，—1为公差的等差数列，n a n -=∴； （3）采用反证法，假设),2(3≥≥n a n 则由（1）知2
2)(21
-=
=+n n
n n a a a f a ),2(,143
)211(21)111(21)1(211N n n a a a a a a a n n n n n n n ∈≥<<=+<-+⋅=-=∴
++即，有21
a a a n n <<<- ，而当,3;
33
8
281622,21212<∴<=-=-==n a a a a n 时这与假设矛
盾，故假设不成立，3<∴n a 。

关于本例的第(3）题,我们还可给出直接证法，事实上： 由2
121)211(21,22)(2121
1≤+--=-==+++n n n n n n n a a a a a a f a 得得1+n a 〈0或.21≥+n a ,30,011<<<++n n a a 则若结论成立； 若1+n a 2≥，此时,2≥n 从而,0)
1(2)
2(1≤---=-+n n n n n a a a a a 即数列｛n a ｝在2≥n 时单调
递减，由322
2=a ，可知2,33
2
22≥<=≤n a a n 在上成立。

比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思， 学会反
思才能长进.
解析几何中的基本公式
1、 两点间距离:若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-=
特别地：x //AB 轴， 则=AB 。

y //AB 轴， 则=AB 。

2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++
则：2
2
21B
A C C d +-=
注意点：x ，y 对应项系数应相等。

3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++
则P 到l 的距离为:2
2
B
A C
By Ax d +++=
4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:⎩
⎨⎧=+=0)y ,x (F b
kx y
消y ：02
=++c bx ax ，务必注意.0>∆
若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x
则:2122))(1(x x k AB -+=
5、 若A ),(),,(2211y x B y x ,P(x,y ）。

P 在直线AB 上，且P 分有向线段
AB 所成的比为λ,
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
λ+λ+=λ+λ+=1121
21y y y x x x ，特别地：λ=1时,P 为AB 中
点且⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=222121y y y x x x
变形后：y
y y y x x x x --=λ--=
λ21
21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα
适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 , 2
11
21tan k k k k +-=
α
若l 1与l 2的夹角为θ,则=
θtan 2
1211k k k k +-,]2,0(π
∈θ
注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角,范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角.
(2)l 1⊥l 2时，夹角、到角=
2
π. （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α；
(2)]0[,π∈θθ→
→，，夹角b a ;
(3）直线l 与平面]2
0[π∈ββα，，的夹角；
（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2
0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6)l 1到l 2的角)0(π∈θθ，，
8、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系
a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率.
b) 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。

9、 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直
（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2
②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1 (2)若0:,
0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零
① l 1//l 2⇔
2
1
2121C C B B A A ≠
=； ② l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③ l 1与l 2相交⇔
2
121B B A A ≠ ④ l 1与l 2重合⇔
2
1
2121C C B B A A =
=； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式: y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在
点斜式： )( x x k y y -=- （1）斜率不存在： x x =
（2）斜率存在时为)( x x k y y -=- 两点式: 1
21
121x x x x y y y y --=--
截距式：
1=+b
y
a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，交y 轴于),0(
b 当直线l 在坐标轴上,截距相等时应分：
(1）截距=0 设y=kx （2）截距=0≠a 设1=+a
y
a x 即x+y=a
一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零） 10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程 （1）标准方程： 2
2
2
)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(。

(2）一般方程：02
2
=++++F Ey Dx y x ，（)042
2
>-+F E D
,)2
,2(圆心----E
D 2
422F
E D r -+=
11、直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若2
2
B
A C Bb Aa d +++=
，0<∆⇔⇔>相离r d
0=∆⇔⇔=相切r d 0>∆⇔⇔<相交r d 12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1,O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d 条公切线外切321⇔⇔+=r r d
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r 条公切线内切121⇔⇔-=r r d 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d
外离 外切
相交 内切 内含
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆
定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F 1为定点,l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e
（0<e 〈1），则P 点的轨迹是椭圆。

标准方程:
12
2
22=+b y a x )0(>>b a
定义域：}{a x a x ≤≤-值域:}{b y b x ≤≤-
长轴长=a 2,短轴长=2b 焦距：2c
准线方程:c
a x 2
±=
焦半径：)(21c a x e PF +=,)(2
2x c
a e PF -=，212PF a PF -=，c
a PF c a +≤≤-1等（注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。

）
注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +=
=等等。

顶点与
准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。

（2）21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．
将有关线段1PF 、2PF 、2c ，
有关角21PF F ∠结合起来，建立1
PF +2PF 、1
PF •
2PF 等关系
（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩
⎨
⎧θ=θ
=sin cos b y a x ;
（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时,其相应
的性质。

二、双曲线
(一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-(a 为常数)，则动点P 的
轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e 〉1）,则动点P 的轨迹是双曲线。

(二)图形:
(三)性质
方程:12222=-b y a x )0,0(>>b a 122
22=-b
x a y )0,0(>>b a
定义域：}{a x a x x ≤≥或； 值域为R ； 实轴长=a 2，虚轴长=2b 焦距：2c
准线方程：c
a x 2
±=
焦半径：
)(21c a x e PF +=,)(2
2x c
a e PF -=，a PF PF 221=-；
注意：（1)图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1
顶点到准线的距离:c a a c a a 22+-或；焦点到准线的距离：c
a c c a c 2
2+-或 两准线间的距离=c
a 2
2
（2)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a
b
y ±=
若渐近线方程为x a
b
y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x
若双曲线与122
22=-b
y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x
(0>λ,焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）
（3)特别地当⇔=时b a 离心率2=
e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时
双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2
2
y x ；
（4)注意21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线
段1
PF 、2PF 、2
1F F 和角结合起来。

（5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。

二、抛物线
(一）定义:到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.
即:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e(e=1）。

(二)图形：
（三）性质：方程：焦参数-->=p p px y ),0(,22；
焦点： )0,2
(
p
，通径p AB 2=； 准线: 2
p
x -=；
焦半径：,2p
x CF += 过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++
=21212
2 注意：（1)几何特征:焦点到顶点的距离=
2
p
；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点. （2）抛物线
px y 22
=上的动点可设为
P ),2(2
y p
y
或
或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中
三角函数的概念、性质和图象
复习要求（以下内容摘自《考纲》）
1。

理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算．
2。

掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y ＝A sin(ωx ＋ϕ）的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式． 3。

了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的简图,并能解决与正弦曲线有关的实际问题．
4。

正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。

5．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小
值的总题。

6．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin •-+，求它们的范围。

如求y x y x y
cos sin cos sin •++=的值域。

7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。

如已知求,2tan =x
4
cos cos sin 2sin 22++⋅+y y x x 的值.
8 正弦定理：
）R R C
c
swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a sin :sin :sin ::=
余弦定理：A ab c b a cos 22
2
2
-+=，…ab
a c
b A 2cos 2
22-+=
可归纳为表9－1。

表9—1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例
三角函数是六个基本初等函数之一,三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差的三角函数，二倍角，降次公式等。

1.
三角函数的图象与性质和性质
2。

三角函数作为基本初等函数，它必然具备函数的共性；作为个体，它又具有自身的个性特点．例如周期性、弦函数的有界性，再如三角函数的单调性,具有分段单调的特征．通过复习对这些特性必须很好掌握,其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题．根据《考纲》的要求，只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦、余弦、正切、余切函数及y ＝A sin(ωx＋ )等形式的三角函数的周期,不必去研究周期函数的和、差、积、商的函数的周期．
看一看历年来高考中出现的求三角函数周期的考题(例1），你应该对复习的要求有个基本的了解．
例１求下列三角函数的周期．（根据历年全国高考有关考题（填空、选择题)改编
注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x）＝c（c为常数）是周期函数,其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．
3. 弦函数的有界性:｜sin x｜≤1，｜cos x｜≤1在解题中有着广泛的应用，忽视这一性质，常会出现错误。

例3求下列函数的值域：
解法2 令t＝sin x，则f（t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1，1］上的最值．
本例题（2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由复
杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段.
5。

“去负——脱周——化锐"，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数--去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间［0o,360o)或[0o，180o）内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数—-化锐。

同角三角函数之间的三种关系：
(1）倒数关系：(2)商数关系：(3)平方关系：
是进行三角式化简的最基本的公式,必须熟练掌握．
其中九组三角诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变
．．α．
．．．．．．此外在应用时，不论
．．．．．,．符号看象限
取什么值
．．．．否则，将导致错误。

．．．．．α．为锐角．
．．．．,．我们始终视
6. 三角函数的图象、单位图以及三角函数线，为我们提供了数形结合的解题方法,在解题中有着广泛的应用，应引起足够的重视．
7. 在函数y＝A sin(ωx＋ϕ）＋k（A＞0，ω＞0)中,A和ω确定函数图象的形状，ϕ和k 确定图象的位置．
作函数y＝A sin（ωx＋ϕ)＋k的图象,既可用“五点法”，也可用图象变换的方法．图象的基本变换有振幅变换、周期变换，以及相位变换（左、右平移）和上下平移，前两种变换是伸缩变换，后两种变换是平移变换．
对函数y＝A sin（ωx＋ϕ）＋k (A．＞．0,
．．0．，．ϕ．≠．0,．． k．≠．0．）．,其图象的基本变换有：
．．ω＞
(1）振幅变换（纵向伸缩变换）:是由A的变化引起的．A＞1，伸长；A＜1，缩短．
(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1，伸长．
（3）相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．ϕ＞0，左移；ϕ＜0，右移．
（4)上下平移（纵向平移变换)：是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0，下移
于是，本题的答案为②、③．
评析本例所用的方法带有普遍性，用来解有关函数y＝A sin（ωx＋ )的图象是十分奏效的。

数列
1。

(1）一般形式：n a a a ,,,21⋯ （2)通项公式：)(n f a n =
(3)前n 项和：n n a a a S ⋯++21定义 2。

等差数列
(1）定义：成等差数列}{)2(1n n n a n d a a ⇔≥=-- (2)通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1 推广：d m n a a m n )(-+=
(3）前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=⋅+=2112
)
1(2 (4)性质
①2
b
a A A
b a +=
⇔的的等差中项与 ②q p n m a a a a q p n m +=++=+则若, 特别地：p n m a a a p n m 2,2=+=+则若 ③ 奇数项d a a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯ 偶数项d a a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯ )1()1(21211
21+⋅=+⋅+=
+++n a n a a S n n n 奇项，则若有奇数项 n a n a a S n n
⋅=⋅+=
+1222
偶 所以有⎩
⎨
⎧==-⋅=+⋅=+++中
偶奇中偶奇项数
a a S S a n a S S n n 11)12(
n n a n n a a S n ⋅=⋅+=
-221
21奇项，则若有偶数项 1222
+⋅=⋅+=
n n
a n n a a S 偶 所以有()()()nd a a a a a a S S n n =-+⋯+-+-=--1223412奇偶 ④,1n a a A +⋯+=设 n n a a B 21+⋯+=+ n n a a C 312+⋯+=+ 则有C A B +=2 3.等比数列 （1）定义：
成等比数列}{)0,0,2(1
n n n n
a q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2）通项公式:11-=n n q a a
（3）前n 项和⎪⎩
⎪⎨⎧
≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n
n
（4）性质:
①ab G ab G G b a ±=⇔=⇔2
的等比中项与 ②q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+则若, 特别地,2,2p n m a a a p n m =⋅=+则若
③n a a a A +⋯++=21设, n n a a B 21+⋯+=+， n n a a C 312+⋯+=+ 则C A B ⋅=2
4。

数列通项
（1)等差，等比数列的通项 （2）⎩⎨
⎧
≥-==→-)2(,)
1(,11n S S n a a S n n n n
(3)迭加累加 ，迭乘累乘
)2(),(1≥=--n n f a a n n 若， )(1
n g a a n n
=-若
)2(12f a a =-则， )2(1
2
g a a =则
)3(23f a a =-，
)3(2
3
g a a = ………， ………，
)(1n f a a n n =--，
)(1
n g a a n n
=- )()3()2(1n f f f a a n ⋯++=-，
)()2(1
n g g a a n
⋯= 注:呢？若)(),(1
1n g a a n f a a n
n n n ==-++ 5。

数列的求和
(1)等差与等比数列
（2）裂项相消法： )1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
(3)错位相减法：n n n c b a ⋅=， {}{}成等比数列成等差数列，
n n c b n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211
1121+-++⋯⋯+=n n n n n c b c b c b qS 则
所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q （4）通项分解法：n n n c b a ±= 6.（1){}{}成等比数列成等差数列n
a n b
a ⇔
{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列
(2）{}{}
成等比数列成等比数列k n n a a ⇒
{}{}成等差数列成等比数列n b a n a a n log 0
⇔> 7.递推数列:
(1)能根据递推公式写出数列的前n 项
(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2）已知0),(1=--n n n S S S f
不等式
1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：
（1）a b b a <⇔> a b b a >⇔< （反对称性）
（2)c a c b b a >⇒>>, c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则的依据0 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） (4）bc ac c b a >⇒>>0,,bc ac c b a <⇒<>0, 推论1:bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n
n b a b a >⇒>>0 推论3：n
n b a b a >
⇒>>0
3、常用的基本不等式和重要的不等式
（1）0,0,2
≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a
（2）ab b a R b a 2,,2
2
≥+∈则
（3)+
∈R b a ,,则ab b a 2≥+
注：
几何平均数算术平均数，----+ab b
a 2
（4)
2
22)2
(2b a b a +≤+ 4、最值定理
设xy y x y x 2,0.,≥+由
（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+= （2）如积2
2
(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+ 即；积定和最小，和定积最大.
注；运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、不等式的证明方法
（1）比较法⎩
⎨⎧--作商）定号平方和）（）变形（因式积、商或）作差（步骤（
作差321
（2）综合法-—由因导果
（3）分析法—-执果索因
一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法 6、解不等式
（1）一元一次不等式 )0(≠>a b ax
①⎭⎬⎫
⎩⎨⎧>
>a b x x a ,0 ②⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<<a b x x a ,0 (2）一元二次不等式 )0(,02
>>++a c bx ax 第一册P39
判别式 ac b 42
-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数
c bx ax y ++=2的图象
一元二次方程 相异实根 相等实根 没有实根
02=++c bx ax 的根 21x x < a
b x x 221-
==
02>++c bx ax 解集 {}12x x x x x <>或 ⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-≠a b x x 2 R
02<++c bx ax 解集 {}21x x x x << φ φ
注：)
(02≥>++c bx ax 解集为R ，（02
>++c bx ax 对R x ∈恒成立)
则（Ⅰ）⎪⎩
⎪
⎨⎧≤∆<∆>)0(00a （Ⅱ）若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证0=a
若02
<++c bx ax 解集为R 呢？
如:关于x 的不等式04)2(2)2(2
<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，则a 的取值范围 。

略解(Ⅰ）成立时，
042<-=a （Ⅱ） ⎩⎨
⎧<=∆<-0
2a
又如南通市二模22题
（3）绝对值不等式
（一）零点分段讨论⎩
⎨⎧≤-≥=←00a a a a
a
(二）公式法：)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>⇒>或 )()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇒< （4)高次不等式——序轴标根法
（5）分式不等式——序轴标根法 步骤:①形式：
分母）移项，通分（不轻易去←>0)
()
(x Q x P ②首项系数符号〉0——标准式
若系数含参数时,须判断或讨论系数0
00
<=>，化负为正
③判断或比较根的大小.
7、(1）x
p x y +
= (Ⅰ）基本不等式p x p
x x 20≥+
>的 p x
p
x x 20-≤+<的
（Ⅱ））上为增函数，），（，
时，在区间（∞+∞-<000p 上减函数，时，在（)0,[],00p p p ->
上增函数，在（),[],+∞-∞-p p （2)含绝对值的不等式性质
b a b a b a +≤±≤±
统计
1。

平均数(又称期望值） 设数据n x x x x ，⋯,,,321，则 （1）)(1
21n x x x n
x +⋯++=
（2）设a x x -=1'1， a x x -=2'2，………a x x n n -='
，则a x x -='
(3）n f f f x f x f x f n
x i i i =+⋯+++⋯++=
212211],[1
2.方差
衡量数据波动大小
()()
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
-+⋯⋯+-=
22121x x x x n S n （x x i -较小）
][122
2221x n x x x n n -⋯++= (数据较小)
])()[(12
''2''1x x x x n
n -+⋯⋯+-=
][12'
2'2'22'1x n x x x n
n -⋯⋯++= （数据较大）
2S -——-———-标准差
3.抽样方法
（1)简单随机抽样：概率N
n
P = 其中n 为样本容量， N 为个体总数 （2）分层抽样：
N
n
N n =11 其中n 为样本容量， N 为个体总数
n1为分层样本容量，N1为分层个体总数
排列、组合、二项式定理
一、复习内容
1。

掌握加法原理及乘法原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题． 2。

理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题． 3。

掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．
二、主要内容及典型题例
(一)本来的主要内容结构。