现代管理分析技术第四章 数据包络分析(DEA)

i ij
u 0, v 0
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第二节 DEA基本原理
1 t T , w tv, tu v x0
wt x0 1
上述是一个分式规划，使用 Charnes－Cooper变化，令：
可变成如下的线性规划模型P：
max h j 0 yo
T
（P）
s.t.w x j y j 0, j 1,2, n
TFP(A)=70/10=7
A 70 10
B 80 20
C 90 10
TFP(C)=90/10=9
3
TFP(B)=80/20=4
第一节 DEA背景介绍
技术效率(Technical Efficiency, TE) TE(i)=TFP(i)/TFP* TFP*为所有厂商中最高的TFP 本例中以部门C的TFP最高
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第一节 DEA背景介绍
DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线 形规划为工具的一种评价方法，应用数学规划模 型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对 象做出评价，它能充分考虑对于决策单元本身最 优的投入产出方案，因而能够更理想地反映评价
对象自身的信息和特点；同时对于评价复杂系统
的多投入多产出分析具有独到之处。
min s.t. j x j s x0
j 1 n
（D）
j y j s y0
j 1
n
j 0, j 1, 2, n 无约束，s 0, s 0
将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划.
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第二节 DEA基本原理
定义1 若线性规划（P）的最优值 hj0*＝1， 则称决策单元 DMUj0为弱DEA有效.
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第二节 DEA基本原理
第 j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的 效率指数为约束，就构造了如下的 CCR（C2R）模型：
max h j o
u y
r 1 m r
s
rj o
v x
i 1
i ij o
s.t. r 1 m
u y
r
s
rj
v x
i 1
1, j 1,2, n
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第一节 DEA背景介绍
对应的对偶线性规划D
minV
D 1

2 3
4 15 s.t. 8 60 12
15 27 4 4 5 15 2 4 8 22 24 60 6 8 12
企业
指标 x1（万元） x2 （万元） 4 15 15 4 27 5
动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）
甲 乙 丙
x3 （万元）
y1 （万元） y2 （万元）
8
60 12
2
22 6
5
24 8
8
第一节 DEA背景介绍
对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综
合值 4v1+15v2+8v3 , u1 u2 , v1 v2 v3 分别为产出与投
T T
wT x0 1 w 0, 0
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第二节 DEA基本原理
利用线性规划的最优解来定义决策单元 j0 的有效
性，从模型可以看出，该决策单元 j0 的有效性是
相对其他所有决策单元而言的。 对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一 个重要的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模 型更容易从理论和经济意义上作深入分析
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第一节 DEA背景介绍
目的在于为第i个部门寻找可使其 TE 达到最大的 u和v，所找出來 的权重为对该部门最有利的。
这样做法的优点和缺点分别是什么？
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第一节 DEA背景介绍
例3：某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业
的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流 的有关数据如下表：
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第一节 DEA背景介绍
无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实
际数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具
有很强的客观性。
DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输
出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必
确定这种关系的显示表达式。
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第二节 DEA基本原理
定义：
v1 v2 vi vm m种输入 1 1 x11 2 x21 . . . . . . m xm1 2 3 x12 x13 x22 x23 . . . . . . xm2 xm3 … … … . . . … j x1j x2j . Xij . xmj … n … x1n … x2n … . … . … . … xmn … y1n … y2n … . … . … . … ysn 1 2 . . . s u1 u2 ur
x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, x 0, x 0 2 3 1
对偶问题D: min W=3y1+9y2 y1+y2≥2 y1+4y2≥3 y1+7y2≥3 y1≥0 , y2≥0
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第一节 DEA背景介绍
DEA方法简介
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第二节 DEA基本原理
每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：
T
u yi hj T v xj
u
r 1 m i 1
s
r
yrj
ij
v x
i
, j 1, 2, , n
总可以适当的取权系数 v 和 u，使得 hj≤1, j=1,…，n
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第二节 DEA基本原理
对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0 越 大表明 DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较 多的输出。 对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个DMU中相对 来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能的变化 权重时， hj0 的最大值究竟是多少。
n个 决策单元（DMU）
权系数
y11 y12 y13 … y1j y21 y22 y23 … y2j . . . . . . . . . yrj . . . . . ys1 ys2 ys3 … ysjFra bibliotek权系数
s种输出
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us
第二节 DEA基本原理
• xij-------- 第 j 个决策单元对第 i 种类型输入的投入 总量. xij 〉0 • yrj-------- 第 j 个决策单元对第 r 种类型输出的产出 总量. yrj〉0？？ • vi -------- 对第 i 种类型输入的一种度量，权系数 • ur --------对第 r 种类型输出的一种度量，权系数 • i ----------1,2,…,m • r ----------1,2,…,s • j ----------1,2,…,n
TE(A)=TFP(A)/TFP(C)=7/9
TE(B)=TFP(B)/TFP(C)=4/9 TE(C)=TFP(C)/TFP(C)=9/9=1
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第一节 DEA背景介绍
例2：投入：人员(X1)；设备(X2) 产出：公文(Y1)；专案计划书(Y2) 一般的绩效评估方式：加权平均 u1×Y1i+u2×Y2i TE(i)= -------------------v1×X1i+v2×X2i
入的权重系数。
第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比
60u1 12u 2 h1 4 v1 15v 2 8 v3
9
9
第一节 DEA背景介绍
类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：
22 u1 6 u 2 h2 15 v1 4 v 2 2 v3
24u1 8 u 2 h3 27 v1 5 v 2 4v3
如 何 求 解 ？
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第一节 DEA背景介绍
解决办法：分式规划可化为线性规划
具体做法： 设

1 t 4 v1 15v 2 8 v3
i i
tu i tv i
w
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第一节 DEA背景介绍
得到对应的线性规划P
max h1 60

1
12

2
60 12 4 w 15w 8w 1 2 3 1 2 22 6 15 w1 4w2 2w3 1 2 s.t. 24 8 27 w1 5w 2 4w3 1 2 4 w1 15w2 8w3 1
定义2 若线性规划（P）的解中存在 w*＞0， μ* ＞0，并且最优值hj0*＝1，则称决 策单元 DMUj0为DEA有效.
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第二节 DEA基本原理
定理 1 线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可 行解，所以都存在最优值。假设它们的最 优值为别为 hj0*与 θ*，则有 hj0*＝ θ*. 定理 2 DMUj0 为弱 DEA 有效的充要条件是线性 规划（D）的最优值θ*＝1；
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第一节 DEA背景介绍
我们限定所有的 hj 值不超过1, 即 max h j 1 这意味着，若第 k 个企业 hk=1，则该企业相 对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生 产系统是相对有效的，若 hk<1，那么该企业 相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高， 或者说这一生产系统还不是有效的。
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
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第一节 DEA背景介绍
附录1：线性规划P与对应的对偶线性规划D 原问题P: max Z CX
AX b X 0
对偶问题D: min W Yb
AT Y C Y 0
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第一节 DEA背景介绍
原问题P:
max Z 2 x1 3x2 3x3
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第一节 DEA背景介绍
因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：
60u1 12u 2 max h1 4 v1 15v 2 8 v3 60u1 12u 2 1 h1 4 v1 15v 2 8 v3 22 u1 6 u 2 1 h2 15 v1 4 v 2 2 v3 24u1 8 u 2 1 h3 27 v1 5 v 2 4v3
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第二节 DEA基本原理
规划P的对偶规划为规划D’：
min s.t. j x j x0
j 1 n
（D’）

j 1
n
j
y j y0
j 0, j 1,2, n 无约束
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第二节 DEA基本原理
进一步引入松弛变量s＋和剩余变量s－，将上面
的不等式约束变为等式约束，可变成：
U1为Y1的权重，u2为Y2的权重 v1为X1的权重，v2为X2的权重
这种加权平均的问题在那里？？
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第一节 DEA背景介绍
一个自然的想法：
u1×Y1i+u2×Y2i Max TE(i)= -------------------u,v v1×X1i+v2×X2i
s.t
u1×Y1n+u2×Y2n ---------------- ≦ 1 v1×X1n+v2×X2n (n=1,2,3) u ≧ 0, v ≧ 0
数据包络分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ） 由 Charnes、Coopor 和 Rhodes 于1978年提出，该方法 的原理主要是通过保持决策单元（DMU, Decision Making
Units）的输入或者输入不变，借助于数学规划和统计数据确
定相对有效的生产前沿面，将各个决策单元投影到DEA的生 产前沿面上，并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程度来 评价它们的相对有效性。
DMUj0为DEA有效的充要条件是线性规划
（D）的最优值 θ*＝1，并且对于每个最优
解 λ*， 都有 s*＋＝0，s*-＝0.
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第二节 DEA基本原理
CCR模型判定技术有效和规模有效：
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第一节 DEA背景介绍
DEA方法的特点： 适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，处 理多输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势。 DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单 元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的 量纲选取无关，应用DEA方法建立模型前无须对 数据进行无量纲化处理（当然也可以）。
第一节 DEA背景介绍
例 1：总要素生产力 (Total Factor Productivity, TFP ) TFP(i)=Yi/Xi i = 1,…n Yi 代表第i家厂商的产出 Xi 代表第i家厂商的投入
单个投入 单个产出
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第一节 DEA背景介绍
某行政单位有A,B,C等3个部门 产出(Yi)为年度i部门的结案公文数 投入(Xi)为年度i部门的员工数 部门 Y X