人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称培优综合练习(含答案)

人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称培优综合练习（含答案）
等腰三角形性质进阶
（1）如图，中，AB =AC ，，AD 是BC 边上的中线，且BD =BE ，则ABC V 100BAC ∠=o 的大小为 ．
ADE ∠D E
C
B A 【答案】20°．
（2）如图，在ABC 中，，平分，， ，E 、F 为垂V AB AC =AD BAC ∠DE AB ⊥DF AC ⊥足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直DEF DFE ∠=∠AE AF =AD EDF ∠EF 平分．其中正确的有（ ）
AD A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
（3）如图，已知D 、E 是的底边上两点，且有，，ABC △BC BD AD =CE AE =，则 ．
150BAC DAE ∠+∠=︒BAC ∠=
【答案】110°．
（4）如图，，点为角内一点，且，点分别在边 上运30BAC ∠=︒P 3AP =M N 、AB AC 、动，当运动到何处时，周长最小．作图并求出周长最小值．
M N 、PMN △PMN △
A
C
【答案】如图，分别作P 关于AB 、AC 的对称点．连接，交AB 于M ，交AC 于'''P P 、'''P P N ，连接PM 、PN 、MN ，此时PMN 周长最小．
V
如图，连接，是等边三角形，, 周长'''AP AP AP 、、
'''AP P △''''3P P AP AP ===PMN △最小值是3．
A
C
A
边高及其夹角问题—分类讨论
（1）腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为
______________．【答案】6或或（2）一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为45°，则它的底角度数是 ．【答案】或．
67.5︒22.5︒（3）已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的
BD ABC ∆50ABD ∠=︒ABC ∆度 数．
【答案】若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为；ABC ∆A ∠1402020︒︒︒，，若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为；ABC ∆A ∠1004040︒︒︒，，若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为．ABC ∆A ∠407070︒︒︒，，
两线证等腰（其中一线是角分线）
已知：AO 是顶角的角平分线，交BC 边于点O ．
ABC ∆（1）如图1，求证：AB =AC ；
（2）如图2，有一点Q 在线段AO 上（不与A 、O 重合），求证：AB =AC ；（3）若点Q 在AO 的延长线上，AB =AC 成立吗？请画图表示．
图1
图2
【答案】（1）如图1作辅助线，易证，∴，．
()BOE COF HL ≅△△B C ∠=∠AB AC =（2）如图2作辅助线，易证，∴，
()BQE CQF ASA ≅
△△QBE QCF ∠=∠∴，∴，∴，．OB OC =OBC OCB ∠=∠B C ∠=∠AB AC = （3）成立，如图3．
图1 图2 图3
平行线+角分线出等腰
如图1，在中，，、分别平分、，过D 点作ABC △AB AC =BD CD ABC ∠ACB ∠，交于点，交于．问：EF BC ∥AB E AC F （1）图中的等腰三角形有 ．
（2）如图2，若将题中的改为不等边三角形，其他条件不变，则图中的等腰三角ABC △形有 ，请说明线段与、有什么关系？
EF BE CF （3）如图3，平分，平分外角，交于点，交于BD ABC ∠CD ACG ∠DE BC ∥AB E AC ．线段与、有什么关系？
F EF BE CF
图1 图2 图3
【答案】（1）等腰三角形：、、、、；ABC △AEF △BCD △BDE △CDF △（2）等腰三角形：、；
BDE △CDF △由于ED =BE ，DF =CF ，EF =ED +FD =BE +CF ，故EF =BE +CF （3）图3所示中仍有两个等腰三角形、BED △CDF △从而DE =BE ，CF =DF ，又EF =ED -FD =BE -CF ，故EF =BE -CF ．
含30°角的直角三角形的性质
（1）在中，分别是的对边，且，则ABC △a b c 、、
A B C ∠∠∠、、::1:2:3A B C ∠∠∠=与的数量关系是____________．
a c 【答案】．
=2c a （2）如图，在中，，，DE 是AB 的垂直平分线，
ABC △90C ∠=o 15B ∠=o DE =8，
则的度数是______，AC 的长是______，CD 的长是______．
A ∠E
A
B
D
C
【答案】75°，4
，（3）如图，在Rt 中，，垂足为，求
的值．ABC △90,30,C A CD AB ∠=∠=⊥ D DB
AD
D
C
B
A
【答案】设，∵，∴，DB k =90,,30C CD AB A ∠=⊥∠= 30DCB ∠= 在中，，∴(所对的直角边等于斜边的一半)．Rt DCB △DB k =2BC k =30 在中，，，∴，∴．Rt ACB △30A ∠= 2BC k =4AB k =3AD AB DB k =-=∴．133
DB k AD k ==角分线与面积问题
（1）如图，是的角平分线，其中，求证：．
AD ABC △90B ∠=︒::ABD ACD
S S
AB AC =△△
【答案】如图作，则有，由三角形的面积即可证明．
DE AC ⊥DB DE =
（2）如图，若在任意中，平分，请证明：
． ABC △AD BAC ∠AB BD
AC CD
=
B
A
【答案】如图，过点D 分别作，，则有：，
DE AB ⊥DF AC ⊥DE DF =此时易得： ，又有（等高），∴．ABD ACD S AB S AC ∆∆=ABD ACD S BD S CD ∆∆=AB BD
AC CD
=
B
C
A
腰高和差问题
如图，为等腰的底边上的任意一点，于点，于点，
P ABC △AB PE AC ⊥E PF ⊥BC F 点，
AD BC ⊥D
（1）求证：；
PE PF AD +=（2）若点为直线上的一点，请直接写出、和的关系．
P AB PE PF AD
【答案】（1）解法一：过点作于点．
P PN AD ⊥N 在和中，，，，APN ∆PAE ∆EPA NAP ∠=∠ANP PEA ∠=∠AP PA =，，
ANP PEA ∆∆∴≌PE AN =∴又由四边形为矩形，则．．PFDN PF ND =PE PF AD +=∴解法二：连接．∵，即
，CP APC BPC ABC S S S ∆∆∆+=111
222
AC EP BC PF BC AD ⋅+⋅=⋅而，∴．（推荐解法二）
AC BC =PE PF AD +=（3），分两种情况：A 点左边和B 点右边
PE PF AD -=（1）知识延伸：如图1，为等腰内任意一点，于点， 于点
P ABC △PE AC ⊥E PF BC ⊥，于点，点，求证：；
F P
G AB ⊥G AD BC ⊥D PE PF PG AD ++=（2）活学活用：如图2，若点为等边外一点，请说明、、和之P ABC △PE PF PG AD 间的数量关系．
（3）类比推理：如图3，若点为等边的边延长线上一点，请说明、P ABC △BA PE 、和之间的数量关系．
PF PG AD
图1 图2 图3
【答案】（1）连接，根据三角形面积即可证明．
PA PB PC 、、ABC ABP
ACP
BCP
S S S
S
=++△△△△（2），证明同上；
PE PF PG AD +-=（3），证明同上．
PF PE PG AD --=
例题1.
（1）如图，在中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，若的周长为ABC △BCE △8cm ，AB -BC =2cm ，则BC =________cm ．
D
A
B
C
E
【答案】3
（2）已知，中，，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，ABC △140BAC ∠=︒的度数是________．
EAF ∠第19第
第20第
C
A
E D
B
B
E
F
A C
【答案】100°
例题2. （1）在ABC ，∠ACB 为直角，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，若BD =2，则AB 的长度是
V
（ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
【答案】B
（2）如图，等边的三条角平分线相交于点O ，过点O 作，分别
ABC △EF BC P 交AB 于E ，交AC 于F ，则图中的等腰三角形有（ ）个
C
B
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C
例题3. 如图，在中，，点D 在BC 上，，在AC 上取一点
ABC △B C ∠=∠50BAD ∠=o
E ，使得，求的度数．
ADE AED ∠=∠EDC
∠【答案】由题设知：，，及三角形外角定理，B C ∠=∠ADE AED ∠=∠即，
EDC C AED ∠+∠=∠有180218022DAE AED EDC C
∠=-∠=-∠-∠o o 而()18025025018022C DAE C EDC C =∠++∠=∠++-∠-∠o o o o 180502EDC =+-∠o o 故，即250EDC ∠=o 25EDC ∠=o
例题4. 如图，在等腰中，，，为底边上一动点（不与
ABC △5AB BC ==8AB =D AB 点重合），，，垂足分别为，求的长．
A B 、DE AC ⊥DF BC ⊥E F 、DE DF +F
E A
B
C
D
【答案】
（利用面积法）24
5
例题5. 在△ABC 中，AD 是外角∠EAC 的角平分线，求证：
．AB BD
AC CD
=
【答案】如图做辅助线，根据题意，此时易得
，，∴．ABD ACD S BD S CD ∆∆=ABD ACD S AB S AC ∆∆=AB BD
AC
CD
=。