2010年全国高中数学联赛精彩试题参考问题详解
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2010年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2010年10月17日 8:00—9:20
一、填空题(本题满分64分,每小题8分)
1.函数()f x =的值域是______________.
2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-,则实数a 的取值范围是_____________.
3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是___________.
4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列,{}n b 是等比数列,其中1122533,1,,3a b a b a b ====,且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+,则αβ+=____________.
5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是___________________.
6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.
7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等,P 是1CC 的中点,二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.
8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.
二、解答题(本题满分56分)
9.(本小题满分16分)已知函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,当01x ≤≤时,|()|1f x '≤,试求a 的最大值.
10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.
11. (本小题满分20分)证明:方程3
2520x x +-=恰有一个实根r ,且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ,
使得
31225a a a r r r =+++.
2010年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2010年10月17日 9:40—12:10
一、(本题满分40分)
如图,锐角三角形ABC 的外心为O ,K 是边BC 上一点(不是边BC 的中点),D 是线段AK 延长线上一点,直线BD 与AC 交于点N ,直线CD 与AB 交于点M .求证:若OK MN ⊥,则,,,A B D C 四点共圆.
二、(本题满分40分)
设k 是给定的正整数,12r k =+
.记()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥(1),(1)()(()),2l l f r f f r l -=≥().证明:存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里,x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数,例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
.
三、(本题满分50分)
给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a 满足1k a ≤,1,2,,k n =,记
12,1,2,,.k k a a a A k n k +++== 求证:1112
n n k k k k n a A ==--<
∑∑.
四、(本题满分50分)
一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:这种密码锁共有多少种不同的密码设置.
2010年全国高中数学联合竞赛
一试试题参考答案与评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次。
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次。
一、填空题
1.[-.
2.3122
a -≤≤
3.9800.
4.3.
5.14-.
6.1217
.
7.
4. 8.33667
5.
1.
易知[][]85)(85)(,在,且,
的定义域是x f x f 上是增函数,从而可知)(x f 的值域为[-3,3]. 2.
令sin x =t ,则原函数化为g (t )=(-at 2+a-3)t ,即
g (t )=-at 3+(a-3)t.
由-at 3+(a-3)t ≥-3,
-at (t 2-1)-3(t-1)≥0,
(t-1)(-at (t +1)-3)0≥及01≤-t 知
-at (t +1)-30≤即3)(2-≥+t t a . (1)
当t =0,-1时(1)总成立:
对20,102≤+<≤<t t t ; 对041,012<+≤-
<<-t t t . 从而可知.1223≤≤-
a 3.
由对称性知,只需先考虑x 轴上方的情况,设(1,2,,99)y k k ==与双曲线右半支交于点k A ,与直线100x =交于点k B ,则线段k k A B 内部的整点个数为99k -,从而在x 轴上方区域内部整点的个数为