一元二次方程知识点复习(学生用)
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一元二次方程知识点复习
1、一元二次方程的一般式: 。
2、 一元二次方程的解法
(1) 直接开平方法 (也可以使用因式分解法)
①2(0)x a a =≥ 解为:
②2()(0)x a b b +=≥ 解为:
③2()(0)ax b c c +=≥ 解为: ④22
()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:
(2) 因式分解法:提公因式,平方公式,平方差,十字相乘法
如:20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提公因式,而且其中一个根为0 290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=
3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=
22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=
24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=
(3) 配方法
①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,
②二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:
(4)公式法:一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠,求根公式是:
①当240b ac ∆=->② 当240b ac ∆=-=时,方程
③ 当240b ac ∆=-<时,方程
①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:2
0 (0)ax bx c a ++=≠,并确定出a 、b 、c ②求出24b ac ∆=-,并判断方程解的情况。
③代公式:
3、一元二次方程的根与系数的关系
定理:如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ,那么:
常用变形:
练习: 【练习1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:
(1) 2212x x +; (2) 1211x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.
【练习2】已知关于x 的方程221(1)104
x k x k -+++=,根据下列条件,分别求出k 的值. (1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =.
4、韦达定理相关知识
(1)若一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x 。
我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。
(2)如果一元二次方程02
=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,=•21x x 。
(3)在一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ;有一根为1,则=++c b a ;有一根为1-,则=+-c b a ;若两根互为倒数,则=c ;若两根互为相反数,则=b 。
5、一元二次方程的应用
列方程解应用题的一般步骤是
1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
常见几种类型:
1)百分数应用题(含增长率方面的题型)
末值=初值×(1+增长率)2 末值=初值×(1—降低率)2
2)传染问题:(几何级数)
传染源:1个【 每一轮1个可传染给x 个】【前后轮患者数的比例为1:(1+x )】
患者: 第一轮后:共(1+x )个
第二轮后:共(1+x )•(1+x ),即(1+x )2个
第三轮后:共(1+x )•(1+x )•(1+x ),即(1+x )3
个 ……
第n 轮后:共(1+x )n 个
[注意:上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。
若传染源为a ,则第n 轮后患者共为:a
(1+X )n 个]
例:某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染。
请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
3)银行利率应用题(含利滚利问题):
年利息=本金×年利率(年利率为a%)
存一年的本息和:本金×(1+年利率) ,即本金×(1+ a%)
存两年的本息和:本金×(1+年利率)2, 即本金×(1+a%)2
存三年的本息和:本金×(1+年利率)3, 即本金×(1+a%)3
存n 年的本息和:本金×(1+年利率)n , 即本金×(1+a%)n
例:我村2006年的人均收入为1200元,2008年的人均收入为1452元,求人均收入的年平均增长率。
4)销售利润方案类题(含薄利多销问题及价格与销量问题)
5)几何类题:
最常见的如:求直角三角形的边。
例:一个直角三角形的两条直角边相差3cm ,面积是9cm ,求较长的直角边的长。
常见的还有就是:求矩形的边:
例:利用一面墙(墙的长度不限),用20m 长的篱笆,怎样围成一个面积为50m 2的矩形场地?
6)赛制循环问题:
单循环:设参加的球队为x ,则全部比赛共2
1 [x (x-1)]场; 双循环:设参加的球队为x ,则全部比赛共x (x-1)场;
【单循环比双循环少了一半】
例:参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人握手10次,有多少人参加聚会?
应用举例
1)百分数应用题(含增长率方面的)题型
1、 某企业2004年初投资100万元生产适销对路的产品,2004年底将获得的利润与年初的投资和作
2005年的投资,到2005年底,两年共获利润为56万元,已知2005年的年获利比2004的年获利率多10个百分点(即2005的年获利率是2004年的年获利率与10%的和),求2004年和2005年获利率各是多少?
2、某工厂一月份生产某种机器100台,计划二、三月份共生产231台。
设二、三月份每月的平均增
长率为X,求增长率为多少?
3、某市土地沙漠化严重,2005年沙漠化土地面积为100Km2,经过综合治理,希望到2007年沙漠化
土地面积降到81 Km2,如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同,求每年的沙漠化土地的降低百分率。
2)传染病毒应用题
1、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过720台?
1、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情,某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场
共有169只小鸡遭感染患病,在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡?
3)银行利率应用题
1、某人将2000元按一年定期存入银行。
到期后取出1000元,并将剩下的1000元及利息再按一年
定期存入银行,到期后取得本息共计1091.8元。
求银行一年定期储蓄的年利率是多少?
4)销售利润方案类题
(1)经济类一
1、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少
10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元?
2、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游,推出如下收费标准,如果人数不超过25人,人均
旅游费用为100元;如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元,某单位组织员工去大纵湖风景区旅游,共支付给神州旅行社旅游费用2700元,请问该单位这次共有多少员工去旅游了。
3、苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣,以每件50元售出,平均每月能售出300件,经过试销发现,每件内衣涨价10元,其销量就将减少10件,为了实现每月8700元销售利润,假如你是商场营销部负责人,你将如何安排进货?
4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200人,经调研,如果票价定为30元,那么门票可以全部售完,门票价格每增加1元,售出的门票数就减少30张,如果想获得36750元的门票收入,票价应定为多少元?
5:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多销售出2件,
1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
6:某商厦今年一月份销售额为60万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降10%,后经加强改进激利机制,激发了全体员工的积极性,月销售额大幅度上升,到四月份销售额猛增到96万元,求三、四月份平均每月增长的百分率是多少?(精确到0.1%)
7:某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350―10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需卖出多少件商品,每件售价应为多少元?。