2-6 矩阵的秩(第八次)

若所有r+1阶子式全等于零，则r(A) ≤ r.
（3） r(A) = r(AT) . （4） r(kA) = r(A)，k≠0 . （5） 对n阶方阵A，若|A|≠0，则r(A)=n ,称A为满秩矩阵 ; 若|A| = 0，则r(A)<n ,称A为降秩矩阵.
结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩.
A 第 i行
B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩 (1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩 (3) ri+krj不改变矩阵的秩
第 i行 A 第 j行 B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩 (1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩 (3) ri+krj不改变矩阵的秩
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等于零的 话, 它的4阶子式中会出现非零的吗? 答: 绝对不会! 因为每个4阶子式都可以按行展开, 通过一些3阶子式 的组合得到.)
例1. 求下列矩阵的秩.
1 2 3 2 C 2 4 6 4 3 0 9 6
解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即
c1 r 1 c2 r 1 cr r 1 0 0
c1n c2 n crn 0 0
结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.
例2. 求矩阵
1 1 2 3 A 1 1 1 2 0 0 2 0 2 1 0 0 2 3 2 2
1 2 1 3 0 0 2 2 0 0 0 0
0 1 2 2 3 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1
1. 初等行变换不改变矩阵的秩 (1) ri rj不改变矩阵的秩
第 i行 A 第 j行 B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩 (1) ri rj不改变矩阵的秩
的秩.
解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵
1 1 2 3 A 1 1 1 2
0 0 2 r2 2 r1 1 1 r3 r1 0 2 1 r4 r1 0 5 0 0 0 0 2 0 3 3 2 2
A
第 i行
第 j行 B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩 (1) ri rj不改变矩阵的秩
A
第 i行
第 j行
B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩 (1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩
A
第 i行
B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩 (1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩
2.6 矩阵的秩
1. 矩阵秩的概念 2. 初等变换求矩阵的秩
6.1
矩阵的秩的概念
定义1 设A是m╳n矩阵，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})， 位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的 k 阶行
列式，称为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的k阶子式.
1 1 0 2 如矩阵 A 1 1 2 1 0 0 3 2 第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为 1 2 0 2 三阶子式共有4个
1 0 1 0 0 3
1 0
1 2 0 2
1 0 2 1 2 1 0 3 2
1 0
0 2 3 2
1 1 2
1 1 1
1 2 1
定义2 若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式 (如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A).
规定零矩阵的秩为零. 易见：
（1）若A是m╳n矩阵，则r(A) ≤min{m,n}. （2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零 ，则r(A) ≥r；
1 1 0 5 r3 r4 0 3 0 0
所以， r(A)=3.
1 1 2 例3. 设方阵 A 0 2 1 2 3 1
判断A是否可逆.
1 1 2 解法1: 因为 | A | 0 2 1 5 0 , 所以，A满秩(可逆). 2 3 1
1 2 3
1 2 2
2 4 6 2 4 4 3 0 9 3 0 6
1 3 2 4 6 4 2 6 4 0 0 9 6 3 9 6
2 3 2
但二阶子式
1 2 6 0 3 0
所以 r (C ) 2.
6.2
初等变换求矩阵的秩
定义3 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简 称阶梯形矩阵： （1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全为零的行 称为零行，否则称为非零行)； （2）从第一行起，下面每一行从左向右第一个非零元素 前面零的个数逐行增加. 如
所以r(A)=3，A满秩，故A可逆.
矩阵
凡物皆数千古传， 数系几度被拓展。 矩阵代数为哪般？ 莫过集成数与算。 加减数乘尚简单， 矩阵乘除非等闲。 深究子式可得秩， 初等变换不变量。

作业：79页 22(2)，(3)，23(2) ，25(1)
0 0 2 1 1 3 r r 0 2 3 3 5 2 0 5 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0
0 0 2 0 2 3 0 0 0 3 2 0
0 0 2 0 2 1 3 16 5 9 5 0 0 0
第 i行 A 第 j行 B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩 (1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩 (3) ri+krj不改变矩阵的秩
A
第 i行 第 j行 B
A
第 i行
第 j行
B
我们把B中与Dr对应的子式记为 Dr .
则Dr = ri+krj =
…
~ 若Dr 0, 则说明A中有一个不含有第i行的非零子式. ~ 若Dr = 0, 则Dr = Dr .
…
ri
… …
… …
+
krj
~ = Dr + Dr .
定理2 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) m n都可以通过初等
╳
行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r. 即
b1 * 0 b2 初等行变换 A Br 0 0 0 0 0 0
* * br 0 0
解法2: 用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得
2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 r3 2 r1 r3 2 r2 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 3 1 0 1 3 0 0 5 2