湖南省岳阳县昆山中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)

2024年八年级第二学期期中质量监测数学试卷
（时间：120分钟
满分：120分）一、选择题（每题3分，共30分）：
1. 在平面直角坐标系中，下列四个点在第一象限的是（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限坐标的符号特点，即第一象限为，第二象限为，第三象限为，第四象限为， 熟练掌握知识点是解题的关键，根据象限符号特地，逐项判断即可；
【详解】解：、在第三象限，故不符合题意；
、在第四象限，故不符合题意；
、在第二象限，故不符合题意；
、在第一象限，故符合题意；
故选：．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B 、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
D 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B ．
的()
1,2--()6,4-()3,2-()3,5(),++(),-+(),--(),+-A ()1,2--B ()6,4-C ()3,2-D ()3,5D 180︒
【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
3. 对某班50名学生的身高进行了测量，已知身高在这一小组的频率为，则该组共有（ ）
A. 1人
B. 5人
C. 10人
D. 15人
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了频数的计算方法；
根据频数=总数×频率计算即可．
【详解】解：该组的人数为人，
故选：．
4. 如图所示，在中，，，D 为斜边的中点．若，则的长为（ ）A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】B
【解析】【分析】此题主要考查直角三角形斜边中线的性质和角所对的直角边等于斜边的一半性质，熟练掌握性质是解题关键．
首先根据，得到，然后得到．【详解】解：∵，∴，
∵点D 为的中点
∴．故选：B ．
5. 已知点，均在直线的图象上，则，的值的大小关系是（ ）
A. B. C.
D. 1.58m 1.63m ～0.1500.15⨯=B ABC 90ACB ∠=︒30B ∠=︒AB 5AC =CD 30︒90ACB ∠=︒30B ∠=︒210AB AC ==12CD AD BD AB ===
90ACB ∠=︒30B ∠=︒
210AB AC ==AB 12
CD AD BD AB ===
()12,y -()23,y 23y x =-1y 2y 12y y >12y y =12y y <12y y ≤
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，对于一次函数（k 为常数，），当时y 随x 的增大而增大，当时y 随x 的增大而增减小，据此求解即可．
【详解】解：中，，
∴y 随x 增大而增大，
∵点，均在直线的图象上，且，
∴，
故选：C.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是矩形
B. 菱形的对角线相等
C. 平行四边形的对角线相等
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形，平行四边形，矩形的判定，熟知菱形，矩形和平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，不符合题意；
B 、菱形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意；
C 、平行四边形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意；
D 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意；
故选：D ．
7. 下列关于一次函数的性质说法不正确的是（ ）
A. 函数图象不经过第三象限
B. 函数图象与y 轴交于点
C. 函数图象与x 轴交于点
D. y 的值随着x 值的增大而增大【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：A 、函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故原说法正确，不符合
在y kx b =+0k ≠0k >0k <23y x =-20>()12,y -()23,y 23y x =-23-<12y y <24y x =-+(0)4，
(20)，
24y x =+
题意；
B 、当时，，则函数图象与y 轴交于点，故原说法正确，不符合题意；
C 、当时，由得，则函数图象与x 轴交于点，故原说法正确，不符合题意；
D 、由得y 的值随着x 值的增大而减小，故原说法错误，符合题意，
故选：D ．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟知一次函数的性质是解答的关键．
8. 如图，在中，平分∠ABC 交于点F ，平分交于点E ，若
则的长度为（ ）A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】A
【解析】【分析】先证明，，再根据即可得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分交于点F ，平分交于点E ，
∴，
∴，
∴．
故选：A ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
9. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 1＋S 2＋S 3＝10，则S 2的值为(
)
0x =4y =(0)4，
0y =240x -+=2x =(20)，
20k =-<ABCD Y BF AD CE BCD ∠AD 68AB AD =，=，
EF 6AB AE ==DC DF ==+-EF AF DE AD ABCD 6AB CD BC AD AD BC ===，∥，BF ABC ∠AD CE BCD ∠AD ABF CBF AFB BCE DCE CED ∠=∠=∠∠=∠=∠，66AB AF DC DE ====，664EF AF DE AD AD =+-=+-=
A. B. C. 3 D. 【答案】B
【解析】
【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，得出答案即可．
【详解】解：将四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ．
∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1＋S 2＋S 3＝10，∴S 1＝8y ＋x ，S 2＝4y ＋x ，S 3＝x ,
∴S 1＋S 2＋S 3＝3x ＋12y ＝10,
∴S 2＝x ＋4y
＝
．故选B.
【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出S 1，S
2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=10求出是解决问题的关键．
10. 如图，点O 为正六边形的中心，P ，Q 分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点
P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，则第2024次相遇地点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C
【解析】【分析】根据，O 为正六边形的中心，可得，连接OB ，作于点G ，可得
11
310
38
3
103
()1,0A 12⎛- ⎝()1,01,2⎛- ⎝()
1,0-()1,0A 1OA AB ==BG OA ^
，，可得，，根据题意可得，P ，Q 第一次相遇地点的坐标在点，以此类推：第二次相遇地点在点，第三次相遇地点在点，…
如此循环下去，即可求出第次相遇地点的坐标．
【详解】解：，O 为正六边形的中心，，
连接，作于点G
，
则
，
，
，正六边形的边长为1，
正六边形的周长等于6，
又点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，
第1次相遇需要的时间为：（秒），
此时点P 的路程为，点Q 的路程为，
此时P ，Q 相遇地点的坐标在点，
以此类推：第二次相遇地点在点，1122
AG OA ==BG =1
2C ⎛- ⎝1,2E ⎛- ⎝1
2C ⎛- ⎝1,
2E ⎛- ⎝()1,0A 2024 ()1,0A ∴1OA AB ==OB BG OA ^1122AG OA ==BG ==12B ⎛∴ ⎝∴12C ⎛- ⎝1,2E ⎛- ⎝ ∴ ∴()6122÷+=122⨯=224⨯=12C ⎛- ⎝1,2E ⎛- ⎝
第三次相遇地点在点，
…如此下去，
，
第2024次相遇地点在点E ，E 的坐标为．故选：C ．
【点睛】本题考查正多边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中坐标的规律探究及等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质找到坐标的运动规律是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）：
11. 函数中，自变量的取值范围是_______.
【答案】【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x -3≥0，
解得：x ≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12. 在平面直角坐标系中，点关于y 轴对称的点的坐标是___________．
【答案】【解析】
【分析】根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y 轴对称的点的坐标是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13. 将直线向下平移3个单位，所得直线的关系式是______．
【答案】【解析】()1,0A 202436742 ¸=×××
∴1,2⎛- ⎝
y =
x 3
x ≥xOy ()5,1P -()
5,1--xOy ()5,1P -()5,1--()5,1--3y x =33
y x =-
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据一次函数图象平移的规律即可求解，熟练掌握一次函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：直线向下平移3个单位得，
故答案为：．
14. 一个正多边形的每个外角都等于，那么该多边形的边数是____________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和；
根据多边形的外角和是计算即可．
【详解】解：该多边形的边数是，
故答案为：10．
15. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1~4组的频数分别为10、10、12、13，则第5组的频率是______．
【答案】0.1
【解析】
【分析】先求出第5组的频数，再用得到的频数除以总数即可．
【详解】解：∵第5组的频数为50－10－10－12－13＝5，
∴第5组的频率是5÷50＝0.1，
故答案为：0.1．
【点睛】此题考查了频率，熟练掌握频率的求法是解题的关键．
16. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5
【解析】
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为
4的边是斜边时，
第三边
；②长为3、4的边都是直角边时，
；
或5，
的3y x =33y x =-33y x =-36︒360︒3603610︒÷︒==5=
或5．
17. 如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为
x ，△MNR 的面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解．
【详解】解：由图象可知，x=4时，点R 到达P ，x=9时，点R 到Q 点，则PN=4，QP=5，
∴矩形MNPQ 的面积是20．
【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时， 要注意数形结合．
18. 如图，正方形边长为4，对角线相交于点O ，点E ，F 分别在的延长线上，且，G 为的中点，连接，交于点H ，连接，则的长为________．
【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH 和MG 的长，再求出MH 的长，最后利用勾股定理求解即可．
的ABCD ,AC BD ,BC CD 2,1CE DF ==EF OE CD GH GH
【详解】解:如图,作OK ⊥BC ，垂足为点K ，
∵正方形边长为4，
∴OK =2，KC =2，
∴KC =CE ，
∴CH 是△OKE 的中位线
∴，作GM ⊥CD ，垂足为点M ，
∵G 点为EF 中点，
∴GM 是△FCE 的中位线，
∴，，∴，在Rt △MHG 中，，
【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．
三、解答题：（本题共计66分）
19. 已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．112
CH OK ==112GM CE =
=()()1115412222
MC FC CD DF ==+=⨯+=53122MH MC HC =-=-=GH ===
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）画出△A 1B 1C 1向下平移5个单位长度得到的△A 2B 2C 2；
（3）若点B 的坐标为（4，2），请写出点B 经过两次图形变换的对应点B 2的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（﹣4，﹣3）
【解析】
【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．
（2）分别作出点A 1，B 1，C 1的对应点A 2，B 2，C 2即可．
（3）根据所画图形，直接写出坐标即可．
【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；
（3）点B 2的坐标为（﹣4，﹣3）．
【点睛】本题考查作图——轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 如图，已知，，，与交于点O ，求证：
90C F ∠=∠=︒AC DF =AE DB =BC EF ABC DEF
≌△△
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，和是两个直角三角形，根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∴．
21. 如图所示，O 是矩形的对角线的交点，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求矩形的面积．
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理等知识点，
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定；
（2）根据矩形性质和，可推出，再，推导出，利用勾股定理求出长，进而即可得矩形面积；
熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解决此题的关键．
【小问1详解】ABC DEF HL AE DB =AE EB D B EB +=+AB DE =Rt ACB △Rt DFE △AB ED AC DF
=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△ABCD DE AC CE BD OCED 120AOD ∠=︒2CD =ABCD OCED OD OC =120AOD ∠=︒30OAD ODA ∠=∠=︒2CD =4AC =AD
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是矩形，
∴，，， ，
∴，
∵，
∴
在中，，
∴，
∴
，
∴．
22. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
成绩x/分
频数频率10
3040n m 50∥D E A C CE BD ∥OCED ABCD 2AC CO =2BD DO =AC BD =DO CO =OCED ABCD 2AC OA =2BD OD =AC BD =90ADC ∠=︒OA OD =120AOD ∠=︒30OAD ODA ∠=∠=︒Rt ADC 2CD =24AC CD ==AD ==2S =⨯=矩5060
x ≤<0.056070
x ≤<0.157080
x ≤<8090
x ≤<0.3590100x ≤<0.25
根据所给信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若全校的学生约有2000人，请你估计该校参加比赛的学生中成绩在80分以上的（包括80分）约有多少人？
【答案】（1）70，
（2）见解析
（3）1200【解析】
【分析】本题考查数据统计，条形统计图等．
（1）根据题意利用总人数乘以频率即可得的值，再利用对应的频数除以总人数即可得到的值；（2）由（1）中求得的值即为频数分布直方图中对应人数画图即可；
（3）现根据数据表格得知成绩在80分以上的（包括80分）占比为，再用全校总人数乘以占比即为本题答案．
【小问1详解】
解：∵校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，
∴，，故答案为：70，；
【小问2详解】
解：∵的频数为：，故补全图如下：；
小问3
详解】
【m =n =0.2m n n m 8090x ≤<0.62000.3570m =⨯=400.2200
n =
=0.28090x ≤<70
解：∵根据数据表格得知成绩在80分以上的（包括80分）占比：，
∴（人），
答：该校参加比赛的学生中成绩在80分以上的（包括80分）约有1200人．
23. 已知：如图一次函数y 1＝﹣x ﹣2与y 2＝x ﹣4的图象相交于点A ．
（1）求点A 的坐标；
（2）若一次函数y 1＝﹣x ﹣2与y 2＝x ﹣4的图象与x 轴分别相交于点B 、C ，求△ABC 的面积．（3）结合图象，直接写出y 1≥y 2时x 的取值范围．
【答案】（1）（1，﹣3）；（2）9；（3）x ≤1
【解析】
【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A 的坐标；（2）先根据函数解析式求得B 、C 两点的坐标，可得BC 的长，再利用三角形的面积公式可得结果；（3）根据函数图象以及点A 坐标即可求解．
【详解】解：（1）把两个函数解析式联立方程组得，，解得，所以点A 坐标为（1，﹣3）；
（2）当y 1＝0时，﹣x ﹣2＝0，x ＝﹣2，则B 点坐标为（﹣2，0）；
当y 2＝0时，x ﹣4＝0，x ＝4，则C 点坐标为（4，0）；
∴BC ＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC
的面积＝×6×3＝9；
（3）根据图象可知，y 1≥y 2时，在点A 的左侧，所以x 的取值范围是x ≤1．
【点睛】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，一次函数与方程（组）的关系等知识点，能求出A 、B 、C 的坐标是解此题的关键．
24. 甲，乙两辆汽车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h 后休息，与甲车相02503506...+=20000.61200⨯=24y x y x =--⎧⎨=-⎩
24y x y x =--⎧⎨=-⎩
13x y =⎧⎨=-⎩
1
2
遇后，继续行驶．设甲，乙两车与B 地的路程分别为（km ），（km ），甲车行驶的时间为x （h ），与x 之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：
（1）甲、乙两车相遇点B 的坐标为 ；
（2）求乙车与甲车相遇后与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）当两车相距40km 时，直接写出x 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）求出甲车的速度，进而求出甲车行驶200km 所需的时间，即可得出点B 的坐标；
（2）设乙车与甲车相遇后，根据图象可知直线过，代入求解即可；（3）分相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由图可知，甲车的速度为：，
当甲乙相遇时，甲车行驶了200km ，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
设设乙车与甲车相遇后的解析式为，由图象可知直线过
，y 甲y 乙,y y 甲乙y 乙()2.5,200()80 2.55y x x =££乙2x =114
x =
y kx b =+乙()()2.5,200,5,400400580km /h ÷=20080 2.5x =÷=()2.5,200B ()2.5,200y kx b =+乙()()2.5,200,5,400
∴，解得：，∴；
【小问3详解】
(3)设乙车与甲车相遇前y 乙与x 的函数解析式，
图象过点，
∴，解得，
∴，
∴两车相遇前：，解得；
两车相遇后，，解得：；综上所述：或．25. 如图，在正方形中，E 是边上的一动点，点F 在边的延长线上，且，连接、．
（1）求证；
（2）连接，取中点，连接并延长交于H ，连接．
①求证；
②若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析
（2）①见解析；②，证明见解析【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、正方形的性质：（1）根据正方形的性质及，可证得，进而可证得，根据及等量代换可得，进而可求证结论；
（2）①由（1）可知，和
都是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2.52005400k b k b +=⎧⎨+=⎩800k b =⎧⎨=⎩
()80 2.55y x x =≤≤乙y mx =乙()2,2002002m =100m =()1000 2.5y x x =≤≤乙4008010040x x --=2x =()808040040x x --+=114x =
2x =114
x =ABCD AB BC CF AE =DE DF DE DF ⊥EF EF G DG BC BG BG DG =45EGB ∠=︒BG H G AE 2224BG HG AE +=SAS ADE CDF V V ≌ADE CDF ∠=∠90ADE CDE ∠+∠=︒90EDF ∠=︒DEF BEF △
即可求解；
②根据全等三角形的判定及性质得，，在中，根据勾股定理得，再根据等量代换即可求证；
熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
，
即，
．
【小问2详解】
①证明：由（1）可知，和都是直角三角形，
是的中点，
，，；
②解：，证明如下：
由（1）可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
为的中点，
，，，，，，，
22HF CF AE ==GF BG =Rt GHF △222GF HG HF += ABCD AD CD ∴=90A B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒90DCF ∴∠=︒AE CF = (SAS)ADE CDF ∴△≌△ADE CDF \Ð=Ð90ADE CDE ∠+∠=︒ 90CDF CDE ∴∠+∠=︒90EDF ∠=︒DE DF ∴⊥DEF BEF △G EF 12DG EF ∴=12
BG EF =BG DG ∴=2224BG HG AE +=ADE CDF △△≌DE DF ⊥DE DF ∴=DEF ∴ 45DEG ∴∠=︒G EF DG EF ∴⊥12DG EF EG ==12
BG EF EG FG ===90EGD HGF DGF ∠∠∠∴===︒45GDF ∠=︒45EDG DEG ∠∠==︒GBF GFB ∠=∠
，
，
，
，
，
又，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
．
26. 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“理正四边形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形”中，一定是“理正四边形”的有 ；②在凸四边形中，且则该四边形 “理正四边形”．（填“是”或“不是”或“有可能是”）
（2）如图1，四边形是面积为1的“理正四边形”，且求的值；
（3）如图2，在平面直角坐标系中第一象限内有动点E ，且四边形是“理正四边形”（点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴负半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点D 在 y 轴正半轴上），在并且， 求的取值范围．
【答案】（1）菱形；不是
（2
（3
【解析】
45EGB ∠
=︒ 22.5GBF GFB ∠∠∴==︒90DHF HFG DHF CDH ∠+∠=∠+∠=︒ 22.5HFG CDH ∠∠∴==︒22.5CDF GDF HDC CDH ∠∠∠∠∴=-=︒=90DCH DCF ∠∠==︒ CD CD =(ASA)CDH CDF ∴ ≌CH CF ∴=Rt GHF △222GF HG HF +=22HF CF AE == GF BG =222(2)BG HG AE ∴+=2224BG HG AE ∴+=ABCD AB AD =,CB CD ≠ABCD 3-=AC BD :AC BD 12,OE ≤≤ABCD 3EA EB EC ED ====:AC BD AC BD
【分析】本题考查了平行四边形的新定义问题，涉及到垂直平分线的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，不等式的性质等知识点，灵活掌握不等式的性质，合理的进行变形是解题的关键．
（1）①根据平行四边形，矩形，菱形的性质判断即可；
②四边形是“理正四边形”，利用垂直平分线的性质和判定可得，与题目条件矛盾，即可得出结论．
（2）利用分割法求四边形的面积，得，又，利用完全平方的变形，可求出，联立为关于，的二元一次方程组，进而可求出，的值，再求比值即可．
（3）过E 作于M ，于N ，设，由勾股定理可求出
，进而可得，求出，的表达式，
再求出，再由，可得，则，运用不等式的性质先求出，再求出，变形可得，再分别求出当和时的范围，运用不等式组的知识，可求得，进而求得．【小问1详解】
解：因为菱形的对角线互相垂直，所以菱形是“理正四边形”，而平行四边形、矩形的对角线不一定垂直，所以不一定是“理正四边形”；
若四边形是
“理正四边形”，则，
，
，
是的垂直平分线，
，
又四边形不是“理正四边形”．
故答案为：菱形，不是．
【小问2详解】ABCD CB CD =CB CD ≠ABCD 2BD AC ⋅=3-=AC BD AC BD +=AC BD AC BD EM BD ⊥EN AC ⊥,ME ON m OM NE n ====22194m BD +=22194n AC +=22222222
1118441144m BD n AC m BD n AC ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩
2BD 2AC 22
2299AC n BD m
-=-222m n OE +=2214m n ≤+≤204m ＜＜222598m n m +≤-≤+2222225899m AC m m BD m ++≤≤--2222
14171199AC m BD m -+≤≤-+--24=m 2=0m 22AC BD 2251295
AC BD ＜＜AC BD ＜①②ABCD AC BD ⊥AB AD = OB OD ∴=∴AC BD CB CD ∴=,
CB CD ≠ ∴ABCD
四边形是面积为1的“理正四边形”，
，，
，
，
，联立
解得，
【小问3详解】
如图，过E 作于M ，于N ，
，，
，
四边形是矩形，
，
设，
，
在中，，
，在中，，
ABCD ()111112222
ABD BCD ABCD S S S BD AO BD OC BD AO OC BD AC ∴=+=⋅+⋅=⋅+=⋅= 四边形2BD AC ∴⋅=3AC BD -= ()()22
2434217AC BD AC BD AC BD ∴+=-+⋅=+⨯=AC BD ∴+=3
AC BD AC BD ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩AC BD ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
:AC BD ==∴EM BD ⊥EN AC ⊥ EM BD ⊥EN AC ⊥90MON OME ONE ∴∠=∠=∠=︒∴OMEN ,OM NE ME ON ∴==,ME ON m OM NE n ====3EA EB EC ED ==== ∴Rt DME △222ME MD DE +=22194
m BD ∴+=Rt NEC 222NE NC CE +=
，，整理得，解得：，，在中，，
，
，
，
E 是第一象限内的动点，
，
，
，
，
，
，
，， ，，22194
n AC ∴+=22222222
1118441144m BD n AC m BD n AC ⎧+++=⎪⎪∴⎨⎪+=+⎪⎩
2222
2222+=7244=44BD AC m n BD AC n m ⎧--⎨--⎩
22
22364364AC n BD m
⎧=-⎨=-⎩222
222
36493649AC n n BD m m --∴==--Rt MEO 222ME MO OE +=222m n OE ∴+=12,
OE ≤≤ 214OE ∴≤≤2214m n ∴≤+≤ 0,0m n ∴＞＞204m ∴＜＜290m ∴-＞2214m n ≤+≤ 2221n 4m m -≤≤-22241m n m ∴-≤-≤-222598m n m ∴+≤-≤+222222598999m n m m m m
+-+∴≤≤---222222
5899m AC m m BD m ++∴≤≤--()()
222222914
91799m m AC m BD m --+--+∴≤≤--
，，
当时，，当时，，，
【点睛】本题考查了平行四边形的新定义问题，涉及到等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，不等式的性质等知识点，灵活掌握不等式的性质，合理的进行变形是解题的关键．2222
14171199AC m BD m ∴-+≤≤-+--204m ＜＜∴2
4=m 2291255
AC BD ＜＜2=0m 225899
AC BD ＜2251295
AC BD ∴＜＜AC BD ＜。