郑州市实验高级中学数学整式的乘法与因式分解单元测试卷(解析版)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()20a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.
数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存
在m n +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题：
（1）()()
2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭___________（0x >）；
（2）求()5602x x x
+>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726x x +
+-有最小值，并求出这个最小值.
【答案】（1）20xy ，2；（2）3）当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019.
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料即可得出结论；
（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；
（3）把已知代数式变为926201326
x x -+
+-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．
【详解】
（1）∵0x >，0y >，
∴()()222522520x y x y xy +≥⨯⋅=，
∵0x >， ∴2
21122x x x x ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭； （2）当x 0>时，2x ，
52x 均为正数，
∴562x x +≥=
所以，562x x +的最小值为
（3）当x 3>时，2x ，
926x -，2x-6均为正数， ∴92200726
x x ++- 92x 6201326
x =-++-
20132013≥= 2019= 由()20a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=-，即92
x =时，有最小值．
∵x 3> 故当92x =时，代数式92200726
x x ++-的最小值为2019． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．
2．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2
(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：
22222
111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题： （1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________；
（2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；
（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．
①正数②非负数 ③ 0
【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①
【解析】
【分析】
（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】
解：（1）281x x +-
=2816116x x ++--
2(4)17x +-.
（2）原式=22118x x -+--
=2(1)9x --
=(13)(13)x x -+--
=(2)(4)x x +-．
（3）222416x y x y +--+
=()()22214411x x y y -++-++
=()()221211x y -+-+
＞11
故答案为①.
【点睛】
本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
3．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）=a 2+3ab+2b 2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c =11，ab+bc+ac =38，求a 2+b 2+c 2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一直线上，连接BD 和BF ．若这两个正方形的边长满足a+b =10，ab =20，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ；（2）45；（3）20．
【解析】
【分析】
（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c ）
2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD 的面积求解．
【详解】
（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣1
2
（a+b）•b﹣
1
2
a2
=1
2
a2+
1
2
b2﹣
1
2
ab
=1
2
（a+b）2﹣3
2
ab
=1
2
×102﹣
3
2
×20
=50﹣30
=20．
【点睛】
本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.
4．观察以下等式：
（x+1)(x2-x+1)=x3＋1
（x+3）（x2-3x+9）=x3+27
（x+6）（x2-6x+36）=x3+216
．．．．．．．．．．．．
(1)按以上等式的规律，填空：（a+b）（___________________）=a3+b3
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.
(3)利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）
【答案】（1）a2-ab+b2；（2）详见解析；（3）2y3．
【解析】
【分析】
（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．
【详解】
（1）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；
（2）（a+b ）（a 2-ab+b 2）
=a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3
=a 3+b 3；
（3）（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）
=x 3+y 3-（x 3-y 3）
=2y 3．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．
5．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．
对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12．
解法一：设x 2+5x ＝y ，
则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1)
＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．
解法二：设x 2+5x+2＝y ，
则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3)
＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．
解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，
则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3)
＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．
按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：
(1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10；
(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2；
(3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2．
【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1)
(2)(266x x ++)2
(3) (x+y-xy-1)2
【解析】
【分析】
（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；
（2）()()()()2
1236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可；
（3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解.
【详解】
（1）令m=2x x +,
原式=()()4m 310m -++
=m 2-m-2=(m-2)(m+1)
= (2x x +-2)(2x x ++1)
=(x+2)(x-1) (2x x ++1)
(2)()()()()2
1236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x , 令n=256x x ++，
原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2
=(n+x)2=(266x x ++)2
(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+-
=(a-b)2-2(a-b)+1
=(a-b-1)2
=(x+y-xy-1)2
【点睛】
此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.
6．一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”；把四位数m 的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd ，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c ﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m 的“伴随数”，并规定F （m′）＝a 2+c 2﹣2bd ；例如：m ＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F （5236）＝52+32﹣2×2×6＝10． （1）最大的四位“半期数”为 ；“半期数”3247的“伴随数”是 ．
（2）已知四位数P ＝abcd 是“半期数”，三位数Q ＝2ab ，且441Q ﹣4P ＝88991，求F （P'）的最大值．
【答案】（1）4192，7324；（2）42.
【解析】
【分析】
（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b +2c ﹣a ﹣d |最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．
（2）根据定义可知a +b =5，c +d =11．再根据441Q ﹣4P =88991，可以算出P 的值，从而求出F （P '）的最大值．
【详解】
解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．
∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．
∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．
故答案为4192；7324．
（2）∵P为“半期数”
∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣
c=900a+9c+511．
∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991
化简得：2a+c=7
①当a=1时，c=5，此时这个四位数为1456符合题意；
②当a=2时，c=3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；
③当a=3时，c=1，不符合题意，舍去；
综上所述：这个四位数只能是1456，则P'可能为4561，5614，6145．
∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P的“伴随数”，∴F（5614）=a2+c2﹣2bd=25+1﹣2×6×4=﹣22；
F（4561）=a2+c2﹣2bd=16+36﹣2×5×1=42；
F（6145）=a2+c2﹣2bd=36+16﹣2×1×5=42；
∴F（P'）的最大值为42．
【点睛】
解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b+2c﹣a﹣d|最小时，称此时的m'是m的“伴随数”来确定伴随数．
7．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并
且规定F（n）＝p
q
．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝
31
62
．请解答下列
问题：
(1)计算：F（24）；
(2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝1
n ．
【答案】(1) 2
3
；(2)
1
n
.
【解析】
分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；
（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可.
详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，
其中4与6的差的绝对值最小，
∴F(24)＝46＝23. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，
其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)，
∴F(n 3＋2n 2＋n)＝()n 1n n 1++＝1n
. 点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
8．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422
x x ++-+ ＝21125()24
x +
- ＝115115()()2222
x x +++-＝(8)(3)x x ++ 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．
【答案】（1）2
(4)17x +- ；（2）(5)(8)x x +-；（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案． 试题解析：解：（1）281x x +-
=2228441x x ++--
=2(4)17x +-
（2）2340x x -- =2
22333()()40222
x x -+-- =23169()24
x -- =313313()()2222
x x -+-- =(5)(8)x x +- （3）证明：222416x y x y +--+
=22214411x x y y -++-++
=22(1)(2)11x y -+-+
∵2(1)x -≥0，2(2)y -≥0，
∴22(1)(2)110x y -+-+>．
∴x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总是正数．
点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2配方是解题关键．
9．阅读以下文字并解决问题：
对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。

此时，我们可以在2627x x +-中间先加上一项9，使它与26x x +的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。

即：
()2262769927x x x x +-=++--()()()2
2363636x x x =+-=+++-()()93x x =+-，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配
方法.
（1）利用“配方法”因式分解：2245x xy y +-.
（2）若6a b +=，5ab =，求：①22a b +，②44a b +的值.
（3）如果2222264130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值.
【答案】（1）（x+5y ）（x-y ）；（2）①26，②626；（3）8
【解析】
【分析】
（1）原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式变形，代入计算即可；
（3）已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：（1）原式=x 2+4xy+4y 2-9y 2=（x+2y ）2-（3y ）2=（x+5y ）（x-y ）；
（2）①a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=36-10=26，
②a 4+b 4=（a 2+b 2）2-2a 2b 2=626；
（3）∵a 2+2b 2+c 2-2ab-6b-4c+13=0．
∴a 2+b 2-2ab+b 2-6b+9+c 2-4c+4=0
∴（a-b ）2+（b-3）2+（c-2）2=0，
可得a=b=3，c=2，
则原式=3+3+2=8．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．探究题：
观察下列式子：（x 2-1）÷（x -1）=x +1；
（x 3-1）÷（x -1）=x 2+x +1；
（x 4-1）÷（x -1）=x 3+x 2+x +1；
（x 5-1）÷（x -1）=x 4+x 3+x 2+x +1；
（1）你能得到一般情况下(1)(1)n x x -÷-的结果吗？（n 为正整数）
（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．
【答案】（1）12n n x x --++…+1；（2）
6421-．
【解析】
【分析】
（1）根据已知的式子可得到的式子是关于x 的一个式子，最高次数是n-1，共有n 项； （2）把2当作x ，即可把所求的式子看成是两个二项式的商的形式，逆用（1）的结果即可求解．
【详解】
由题意可得：（1）()()1211n n n x x x x ---÷-=++ (1)
（2）()
()234626364641222222
212121+++++⋯++=-÷-=-． 【点睛】 考查了多项式与多项式的除法，观察所给式子，发现运算规律是解题的关键.。