概率论与数理统计课件 第三章1

0, 其他.
求 (1) 边缘概率密度 pX ( x), pY ( y);
(2) P{ X＋Y ２}
y
(1,1)
y 1 x
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O x 1 x e2 x
第三章 多维随机变量及其分布
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例3 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
Ce(3x4 y) , x 0, y 0,
(x, y)
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第三章 多维随机变量及其分布
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3.说明
几何上, z p( x, y) 表示空间的一个曲面.
p( x, y)d x d y 1,
表示介于 p (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y )G} p( x, y) d x d y, G
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
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四、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y), 如果存在非负的函数 p( x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
记 P{X xi , Y yj } pij , i, j 1, 2,
称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
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第三章 多维随机变量及其分布
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二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
1 ( arctan x)
2
FY
(
y)
lim
x
F ( x,
y)
lim
x
1
2
(
2
arctan
x)(
2
arctan
y)
1 ( arctan y) 2
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第三章 多维随机变量及其分布
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三、二维离散型随机变量
1. 二维离散型随机变量的联合分布律(列)
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2, ,
i 1
pij
i 1
记 p j P{Y y j } pij , j 1, 2, ,
i 1
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第三章 多维随机变量及其分布
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二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
Y X
y1 y2
yj
Pi
x1
p11 p12
p1 j
P1
x2
p21 p22
p2 j
P2
xi
pi1 pi 2
0,
其它.
(1) 求C；(2)求分布函数 F ( x, y);
(3) 求概率 P{0 X 1, 0 Y 2}.
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第三章 多维随机变量及其分布
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练习 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其它.
(1) 求分布函数 F ( x, y); (2) 求概率 P{Y X }.
x
FX ( x) F ( x, )
[ p(u, y)d y]d u,
pX ( x) FX '( x)=
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
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第三章 多维随机变量及其分布
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同理可得 Y 的边缘分布函数
y
FY ( y) F (, y)=
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
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第三章 多维随机变量及其分布
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FX ( x) =P{ X x} P{X x,Y } F ( x, ) lim F( x, y)
y
FY ( y) =P{Y y} P{ X ,Y y} F (, y) lim F ( x, y)
A(B )( )=1 22 2
1 A 2 ,B 2
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第三章 多维随机变量及其分布
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二、边缘分布
问题:已知 ( X ,Y ) 的分布, 如何确定 X 和Y 各自的分布?
F ( x, y) P{ X x,Y y} , F ( x) P{ X x}, P{ X x} P{X x,Y +} F ( x, +) FX ( x)
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第三章 多维随机变量及其分布
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例1 设二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数为
F ( x, y)=A(B arctan x)( arctan y), 则A, B=？
2 F (, y) lim F ( x, y) 0,
x
A( B
)(
arctan
y)=0
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F(, ) lim F( x, y) 1. x y
P{ ( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z p( x, y) 为顶面的柱体体积 .
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第三章 多维随机变量及其分布
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五、连续型随机变量的边缘分布
对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率
yx
密度为 p( x, y), 由于 F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
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第三章 多维随机变量及其分布
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(2)
p( x, y) d x d y F (+, +) 1；
(3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在
G 内的概率为
P{( X ,Y )G}= p( x, y) d x d y. G
(4) 在p( x, y)的连续点上, 有 2F ( x, y) p( x, y). xy
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量,
由它们构成的一个向量 ( X ,Y ), 叫作二维随机向量
或二维随机变量 .
X (e)
图示
e S
Y (e)
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第三章 多维随机变量及其分布
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实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二 维随机变量.
Y X x1 x2
xi
y1 y2
p11 p12
p21 p22
pi1 pi 2
yj
p1 j
p2 j
pij
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第三章 多维随机变量及其分布
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2. 离散型随机变量的P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, . 如何确定 X ,Y 的分布列?
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量, 对于任意实数 x, y, 二元函数 :
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{X x,Y y}
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
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第三章 多维随机变量及其分布
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则称 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量, 函数 p( x, y) 称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度 , 或称为随 机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
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第三章 多维随机变量及其分布
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2.性质
yx
F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
(1) p( x, y) 0;
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设二维离散型随机变量( X ,Y ) 的联合分布列为 P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, .
P{Y yj }=P{( ( X xi )) (Y y j )}
i 1
P{ ( X xi ,Y y j )}
i 1
P( X xi ,Y y j )
即 F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0),
4o 对于任意 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 P{x1 X x2 , y1 Y y2 } =F( x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y1 ) F( x1, y2 ) 0.
x
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第三章 多维随机变量及其分布
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例3 设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为
F ( x, y)=A(B arctan x)( arctan y), 则A，B=？
2 X ,Y的边缘分布？
FX
(x)
lim
y
F ( x,
y)
lim
y
1
2
(
2
arctan
x)(
2
arctan
y)
p( x, y) 0, 其他. 求(1) ( X ,Y )的联合分布函数;
(2) 边缘概率密度pX ( x), pY ( y); (3) P{Y X }
第八次课结束
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第三章 多维随机变量及其分布
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例2 设随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率密度
p(
x,
y)
1 2
,
(x, y) D
P{ X xi }=P{( X xi ) ( (Y y j ))}
j 1
P{ ( X xi ,Y y j )}
j 1
P( X xi ,Y y j )
j1
pij
j1
记 pi P{ X xi } pij , i 1, 2, ,
j1
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第三章 多维随机变量及其分布
p( x, v)d x d v,
pY ( y)
p( x, y)d x.
Y 的边缘概率密度.
pX ( x)
p( x, y)d y,
pY ( y)
p( x, y)d x.
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第三章 多维随机变量及其分布
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例1 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 kxy, 0 x 1, 0 y 1
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第三章 多维随机变量及其分布
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§1 二维随机变量
一、二维随机变量分布函数 二、边缘分布 三、二维离散型随机变量 四、二维连续型随机变量 五、二维连续型随机变量的边缘概率密度
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第三章 多维随机变量及其分布
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一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
pij
Pi
P j
P1 P2
P j
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第三章 多维随机变量及其分布
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例1 设随机变量 X 在 1, 2, 3,4 四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
例2 设X，Y 的各自的分布列为
X 01
Y012
P 11 22
111 P
333
且 X=Y是不可能事件,求X，Y的联合分布列
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第三章 多维随机变量及其分布
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例3
已知r, v, X1,
X
的分布列为
2
X1 -1 0 1
p 1 11 4 24
X2 0 1
P1 1 22
且P X1 X2
0 =1求X1,
X
的联合分布列
2
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第三章 多维随机变量及其分布
x
对于任意固定的 x, F( x, ) lim F( x, y) 0, y
F(, ) lim F( x, y) 0, x y
F(, ) lim F( x, y) 1. x y
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第三章 多维随机变量及其分布
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2o F( x, y) 是关于每个自变量 x 和 y 的单调不减函数； 即对于任意固定的 y, 当 x2 x1 时,F( x2 , y) F( x1, y)； 对于任意固定的x, 当y2 y1 时F( x, y2 ) F(x, y1). 3o F( x, y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续.
F( x, y) 的函数值就是随机点( X ,Y ) 落在如图所示区 域内的概率.
y (x, y)
X x,Y y
o
x
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第三章 多维随机变量及其分布
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(2) 分布函数的性质
1o 0 F( x, y) 1, 对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0,
实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就构 成二维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
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第三章 多维随机变量及其分布
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2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义