流体力学 第8章 不可压缩流体动力学基础

∂ 2 −2
∂ =(2 +2 )2
k(xdx+ydy)=0
x2+y2=0
为圆周簇。
∂ 2 − 2
, ∂ =(2 +2 )2
ωz=0, ωy=ωx=0
2 − 2
εxy=(2 +2)2, εzy=εzx=0
2
2
εxx=(2 +2)2, εyy=-(2 +2 )2 , εzz=0
2 ∂
2 ∂
2 ∂
2 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
ux=uxo+εxxdx-ωzdy+εxydy+ωydz+εxzdz
点M的速度可以表达为
= − d + d + d + d + d
= − d + d + d + d + d
1.流体微团运动的分析
从理论力学知道,刚体的任何运动都可以看作平移和旋转两种基
本运动的合成。流体运动要比刚体运动复杂得多,流体微团基本运
动形式有平移运动、旋转运动还有变形运动,而变形运动又包括线
变形和角变形两种。
流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。为了便于
讨论,先研究二元流动的情况。设有一方形流体微团,中心点M的流
= − d + d + d + d + d
10
流体微团运动的分析
【例】已知流速分布:


(1) ux=-ky,uy=kx,uz=0; (2)ux=-2 +2,uy=2 +2,uz=0。
求旋转角速度、线变形速度和角变形速度。
【解】
(1)当ux=-ky,uy=kx,uz=0时,有
11
2.有旋流动
➢ 流体微团运动的分解
以平面运动为例
vy
v y dx v y dy

x 2
y 2
vx
因此我们把中心点M的速度ux和uy定义为流体微团的平移速度。
∂
微团左、右两侧的点A和点C沿x方向的速度差为 ·dx。当这速度差值为正时,微团x方向发生伸长变形;当
∂
它为负时,微团沿x方向发生缩短变形。单位时间内单位长度的线变形称为线变形速度。以εxx表示流体微团沿
∂·d·d
∂
εxx= ∂
∂
2
∂
BMD线的旋转角速度为- 。对角EMF的旋转角速度可看成是这两条直角边的旋转角
∂
速度的平均,记为ωz。即
1 ∂
∂
ωz=
−
2 ∂
∂
6
流体微团运动的分析
➢ 旋转和角变形
我们把对角线EMF的旋转角速度定义为整个流体微团在xOy平面上的旋转
角速度。推广到三元流动的情况,可得流体微团的旋转角速度分量为
=
d·d
∂
从二元流动推广到三元流动的普遍情况,则流体微团的线变形速度为

=
∂
∂
=
∂
=


线变形
5
流体微团运动的分析
➢ 旋转和角变形
转动
角变形
设沿逆时针方向旋转为正,则AMC的旋转角速度为
∂ d
·
∂ 2 = ∂
d
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第8章
不可压缩流体动力学基础
Fundamentals of Incompressible Fluid Dynamics
目录
1
流体微团运动的分析
2
有旋运动
3
不可压缩流体连续性微分方程
4
以应力表示的黏性流体运动微分方程
5
应力和变形速度的关系
6
纳维-斯托克斯方程
7
理想流体运动微分方程及其积分
8
流体流动的初始条件和边界条件
uy-
∂ d
·
∂ 2
流体微团运动的分析
➢ 流体微团运动的基本形式
流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动（线变形
和角变形运动）。
平动
线变形
转动
角变形
4
流体微团运动的分析
➢ 流体微团运动的基本形式
微团上各点共有的分速度ux和uy,使它们在dt时间内均沿x方向移动一距离uxdt,沿y方向移动一距离uydt。
速分量为ux和uy(见图8-1),则微团各侧边的中点A、B、C、D的流速
分量见表8-1。
M
A
B
∂ d
·
∂ 2
ux+
∂ d
·
∂ 2
uy+
∂ d
·
∂ 2
ux+
∂ d
·
∂ 2
uy+
ux
ux-
uy
uy-
C
D
∂ d
·
∂ 2
∂ d
·
∂ 2
ux-
∂ d
·
∂ 2
ux=uxo+dux
uy=uyo+duy
uz=uzo+duz
∂
∂
∂
dux= dx+ dy+ dz
∂
∂
∂
于是,点M的流速分量ux又可写为
ux=uxo+
∂
∂
1 ∂ ∂
1 ∂
1 ∂ ∂
1 ∂
∂
dx+
−
dy+
+
dy+
−
dz+
+ dz
1
=
2
1
=
2
1
=
2
∂ ∂
−
∂
∂
∂ ∂
−
∂
∂
∂ ∂
−
∂
∂
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流体微团运动的分析
➢ 旋转和角变形
ω=ωxi+ωyj+ωzk
因而角速度矢量为
ω= 2 + 2 + 2
角速度的大小为
角速度矢量的方向规定为沿微团的旋转方向按右手定则确定。
我们把直角边AMC(或BMD)与对角边EMF的夹角的变形速度定义为流体微团的角变形速
2
∂ ∂
+
∂
∂
∂ ∂
+
∂
∂
∂ ∂
+
∂
∂
9
流体微团运动的分析
➢ 旋转和角变形
德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的
运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。
将速度增量dux按泰勒级数展开,得
∂
∂ =-k,
1
2
ωz= (k+k)=k,
1
εxy=2(k-k)=0,
∂
∂ =k
ωy=ωx=0
εxx=εyy=εzz=0
以上计算结果表明这种流动做以角速度ωz旋转的运动。由于变形速度为零,所以流体像固体那样旋转。第3章中讲述的流线方程
d d
-= ,


(2)当ux=-2 +2,uy=2 +2,uz=0时,有
度,并记为εxy,因而有
εxy=
∂
∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂
- ωz=
−
=
+
= εyx
2 ∂
∂
∂ 2 ∂ ∂
∂
8
流体微团运动的分析
➢ 旋转和角变形
对于三元流动,流体微团的角变形速度为
1
= =
2
1
= =
2
1
= =