数理统计CH方差分析00002

n n 2019/10/4
a nij
a
ijk
j
ij ij
j i 1 k 王 1玉顺：数理统计06_方差分析 j i 1
11
6.2 两向分组数据方差分析
(5)效应的无偏估计
样本均值差 作为效应的估计
误差效应估计xijk xij X ijk ij ijk
因素Ai B j总效应估计xij x ij ij 因素Ai效应估计xi x i i 因素B j总效应估计x j x j j
A3
2次。
因素 水平 A4
推进器(B)
B1
B2
B3
58.2 56.2 65.3
52.6 41.2 60.8
49.1 54.1 51.6
42.8 50.5 48.4
60.1 70.9 39.2
58.3 73.2 40.7
75.8 58.2 48.7
71.5 51.0 41.4
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王玉顺：数理统计06_方差分析
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6.2 两向分组数据方差分析
(7)计算校正总平方和SST
M ST SST d fT
a b nij
dfT n 1
2
SST
xijk x E H 0 M S T 2
i1 j1 k 1
a b nij
(3)数据模式 B单向分组
AB 两向分组
B1
A
x111
…
1 x11,n11
A
x211
…
2 x21,n21
…
…
A
xa11
…
a xa1,na1
B2 x121
…
x12,n12 x221
…
x22,n21
…
xa21
…
xa2,na2
…
Bb
…
x1b1
…
x1b,n1b
…
x2b1
…
x2b,n2b
…
…
A单向分组
…
xab1
按因素A的a个水平分组，则全部观测可视作
因素A单向分组数据，包括因素B所有b个水平
的试验结果；按因素B的b个水平分组，则全部
观测可视作因素B单向分组数据，包括因素A所
有a个水平的试验结果。
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6.2 两向分组数据方差分析
(3)统计模型 The statistical model is:
第六章 方差分析
Analysis of variance
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1
6 方差分析
本章内容
6.1 单向分组数据方差分析 方差分析原理 单向分组数据
6.2 两向分组数据方差分析 有重复两向分组数据 无重复两向分组数据
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因素B效应假设
H02: 12 b H12:1,2, ,b不全相等
因素AB
H03: ij i j 恒为零
互作效应假设 H13: ij i j 不全为零
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6.2 两向分组数据方差分析
MSE SSE (n11 1)s121 (nab 1)sa2b
n ab
(n11 1) (nab 1)
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6.2 两向分组数据方差分析 SSA表征因素A效应
(9)计算因素A平方和SSA
a b nij
SSA xi x 2 i 1 j 1 k 1
i

j
ij i j
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6.2 两向分组数据方差分析
(4)均值的无偏估计
xij
1 n ij
nij
xijk
k 1

ij
b
a
ni nij n j nij
j 1
i1
ab
n nij i1 j1
dfA a 1
EH0 M SA 2
a
M S A
SSA

n i ( x i x ) 2
i1
a 1
a 1
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6.2 两向分组数据方差分析
(9)计算因素A平方和SSA
Var xi
1 b nij
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6.2 两向分组数据方差分析
SSB表征因素B效应
(10)计算因素B平方和SSB
a b nij
2
SSB
x j x
i 1 j 1 k 1
b
n j x2j nx 2 j 1
M SB SSB dfB
误差均方MSE

a i 1
b nij
x2 ijk

j1 k 1
a i 1
1 b
nij
2
j1 nij k 1 xijk
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6.2 两向分组数据方差分析
(8)计算误差平方和SSE
M SE SSE dfE
因素Ai B j互作效应估计xij xi x j x
ij i j ( )ij
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6.2 两向分组数据方差分析
(6)统计假设
总效应亦称作模型效应
总效应假设
H0:1112 ab H1:11,12, ,ab不全相等
ni2
Var
j1k1
xijk
2
ni
EH0

SSA a 1
2
a
EH0 SSA
niE
x2 i
nE x2
i1
a
ni VarxiExi2nVarxEx2 i1
a12
4
6.2 两向分组数据方差分析
(1)案例和问题
需要弄清的问题是： (1)选用不同的燃料对火箭的射程是否有影
响，影响多大？ (2)选用不同的推进器对火箭的射程是否有
影响，影响多大？ (3)不同推进器选配不同燃料对火箭的射程
是否有影响，影响多大？
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6.2 两向分组数据方差分析
X ijk ij ijk ij ijk 响应模型

i j ( )ij ijk

ijk
~
N
(0,
2)
效应模型
X ijk ij ijk
i 1, 2, , a

j 1, 2, ,b
总效应假设 H0:1112 ab 0 H1:11,12, ,ab不全为零
问题归结为检验a×b个方差齐性正态 总体的均值是否相等
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6.2 两向分组数据方差分析
(6)统计假设
总效应分解成 各个因素效应
因素A效应假设 H01:1 2 a H11:1,2, ,a不全相等
a b nij
2
SSE
xijk xij
i 1 j 1 k 1
dfE n ab
E M SE 2
n11
2

xijk x11
k 1
nab
2

xijk xab
k 1
(n11 1)s121 (n12 1)s122 (nab 1)sa2b
k 1, 2 , , n ij
i j ( )ij ijk ij ij
i j ( )ij
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6.2 两向分组数据方差分析
(3)统计模型
定义几个总体的均值
b
a
ab
n i n ij n j n ij n
(6)统计假设
总效应分解成 各个因素效应
因素A效应假设 H01:12 a 0 H11:1,2, ,a不全为零
因素B效应假设 H02:12 b 0 H12:1,2, ,b不全为零
因素AB互作效应假设
H 03:()11()12 ()ab0 H 13:()11,()12, ,()ab不 全 为 零
n ij
j1
i1
i1 j1
定 义 总 平 均

1 n
a i1
b
n ij ij
j1
定 义 行 平 均
因 素 Ai
i

1 ni
b
n ij ij
j1
定 义 列 平 均
因素Bj
j

1 n j
a
n ij ij
i1
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6.2 两向分组数据方差分析
因素B均方MSB
(10)计算因素B平方和SSB
a b nij
(8)计算误差平方和SSE
M SE SSE dfE
a b nij
2
SSE
xijk xij
i1 j1 k 1
dfE n ab
E M SE 2
a b nij
ab

x2 ijk

nij
x
2 ij
i1 j1 k 1
i1 j1

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6.2 两向分组数据方差分析
因素A均方MSA
(9)计算因素A平方和SSA
a b nij
S S A xi x 2 i1 j1 k 1
a
n i ( x i x ) 2 i1
M SA SSA dfA
2
6 方差分析
6.2 两向分组数据
方差分析
Two way analysis of variance
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6.2 两向分组数据方差分析
响应
(1)案例和问题 火箭射程试验数据
选用4种
燃料和3种
推进器进行
A1
火箭射程试 燃料 验，每个试 (A)
A2
验处理重复
a

ni

x2 i

nx
2
i 1
SSA M SA
dfA dfA a 1
EH0 M SA 2
1 a
b nij
2 1 a b nij
2

i 1
ni

xijk
j 1 k 1


n
i 1
xijk
j 1 k 1
dfB b 1
EH0 M SB 2
1 b
a nij
2

1 a b nij
2

n j 1 j i1 k 1 xijk n i1 j 1 k 1 xijk
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x2 ijk

nx 2
i1 j1 k 1
表征数据的 总变异

a i 1
b nij
x2 ijk
j1 k 1

1 a n i 1
b nij
2
j 1 k 1 x ijk
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6.2 两向分组数据方差分析
总 平 均 x

1 n
a i1
b nij
xijk
j1 k 1



1 n
a i1
b
nij ij
j1
行 平 均 xi
1 ni
b nij
xijk
j1 k 1

i
1 ni
b
nij ij
j 1
列 平 均 x 1 x 1 n j
9
6.2 两向分组数据方差分析
(3)统计模型因素影响决定的 Nhomakorabea响应值称作效应
定义因素的效应
ij
i

j


ij
因素Ai Bj的总效应ij ij
因素Ai的效应i i 因素Bj的效应 j j
因素Ai

Bj的互作效应
ij
ij
…
xab,nab
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6.2 两向分组数据方差分析
(2)数据模式
各个处理(因素A与B的水平组合)分别独立试
验，第i×j处理重复试验nij次获得nij个观测， 这nij个观测视作第i×j正态总体的一个样本； 全部观测（整个样本）由a×b个独立正态总
体的a×b个样本组成，称作两向分组数据；