高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练10---函数的图象(附解析答案)

高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练
专题10：函数的图象
1. 设函数 f (x )=e x (2x −1)−ax +a ，其中 a <1，若存在唯一的整数 x 0 使得 f (x 0)<0，则 a 的取值范围是 ( )
A. [−32e ,1)
B. [−32e ,34)
C. [32e ,34)
D. [32e ,1)
2. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 对任意的 x 都满足 f (x +2)=f (x )，当 −1≤x <1 时，f (x )=x 3，若函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣（a >0，且 a ≠1）至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( )
A. (0,15]∪(5,+∞)
B. (0,15)∪(5,+∞)
C. (17,15]∪(5,7]
D. (17,15)∪[5,7)
3. 如图，长方形 ABCD 的边 AB =2，BC =1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记 ∠BOP =x ．将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x )，则 y =f (x ) 的图象大致为 ( )
A. B. C. D.
4. 将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角
θ(θ∈(0,α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为( )
A. π
B. π
2C. π
3
D. π
4
5. 如图，正三角形ABC的中心位于点G(0,1)，A(0,2)，动点P从A点出发沿△ABC的
边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x(0≤x≤2π)，向量OP
⃗⃗⃗⃗⃗ 在a= (1,0)方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f(x)的图象是( )
A. B.
C. D.
6. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），用横轴表示产品
数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是( )
A. B.
C. D.
7. 设 f (x )=∣lnx∣，若函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 ( )
A. (0,1e )
B. (
ln33,e)C. (0,ln33]D. [ln33,1e )
8. 已知函数 f (x )=x −4+9x+1,x ∈(0,4)．当 x =a 时，f (x ) 取得最小值 b ，则函数 g (x )=(1a )∣x+b∣ 的图象为 ( )
A. B.
C. D.
9. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：①对任意 x ，都有 f (x +3)=f (x ) 成立；②当 x ∈
[0,32] 时，f (x )=32−∣∣32−2x ∣∣，则方程 f (x )=1∣x∣
在区间 [−4,4] 上根的个数是 ( ) A. 4B. 5C. 6D. 7
10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=12(∣x −a 2∣+
∣x −2a 2∣−3a 2)．若 ∀x ∈R ，f (x −1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. [−16,16]B. [−
√66,√66]C. [−13,13]D. [−√33,√33]
11. 如图可能是下列哪个函数的图象 ( )
A. y=2x−x2−1
B. y=2x sinx
4x+1
C. y=(x2−2x)e x
D. y=x
lnx
12. 如图，圆C:(x−1)2+(y−1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形（阴影部分）的
面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为( )．
A. B.
C. D.
13. 已知函数 f (x )=x −[x ]，其中 [x ] 表示不超过实数 x 的最大整数．若关于 x 的方程
f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 ( )
A. (−1,−12]∪[14,13)
B. [−1,−12)∪(14,13]
C. [−13,−14)∪(12,1]
D. (−13,−14]∪[12,1)
14. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2,sin (π4x),2≤x ≤10, 若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4，满足 x 1<
x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则
(x 3−2)⋅(x 4−2)
x 1⋅x 2 的取值范围是
( )
A. (4,16)
B. (0,12)
C. (9,21)
D. (15,25)
15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f (x )=
{1,x ∈Q,0,x ∈∁R Q.
被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数 f (x ) 有如下四个命题：①f(f (x ))=1；②函数 f (x ) 是偶函数；③任取一个不为零的有理数 T ，f (x +T )=f (x ) 对任意的 x ∈R 恒成立；④存在三个点 A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))，C(x 3,f (x 3))，使得 △ABC 为等边三角形．其中真命题的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16. 已知函数 f (x )=∣log 2∣x −1∣∣，且关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+2b =0 有 6 个
不同的实数根，若最小的实数根为 −3，则 a +b 的值为 ( )
A. −2
B. 4
C. 6
D. 8
17. 定义在 R 上的函数 f (x )=xsin2x
x 2+a 的图象如图所示，则实数 a 的可能值为 ( )
A. 16
B. 14
C. 12
D. 1
18. 下列四个函数①f (x )=x +1，②f (x )=2x 3，③f (x )=xsinx ，④f (x )=
x cosx 的图
象能等分圆 O:x 2+y 2=1 的面积的是 ( )
A. ②③
B. ②④
C. ②③④
D. ①②③④
19. 某市2015年前n个月空气质量优良的总天数S n与n之间的关系如图所示．若前m
月的月平均空气质量优良天数最大，则m值为( )
A. 7
B. 9
C. 10
D. 12
20. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O沿l1以1m/s的速度匀速竖直
向上移动，且在t=0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
21. 一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式a n+1=
f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N∗)，则该函数的图象是( )
A. B.
C. D.
22. 已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设
H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )
A. 16
B. −16
C. a2−2a−16
D. a2+2a−16
23. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，
圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
24. 给出幂函数（1） f (x )=x ，（2） f (x )=x 2，（3） f (x )=x 3，（4） f (x )=√x ，
（5） f (x )=1x ，其中满足条件 f (
x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2(x 1>x 2>0) 的函数的个数是 ( ) 个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
25. 已知函数 f (x )={x 2+5x,x ≥0,−e x +1,x <0.
若 f (x )≥kx ，则 k 的取值范围是 ( ) A. (−∞,0]B. (−∞,5]C. (0,5]D. [0,5]
26. 若函数 y =a x +b 的图象如图所示，则函数 y =1x+a +b +1 的图象为 ( )
A. B.
C. D.
27. 设函数 f (x )=∣2x −1∣，c <b <a ，且 f (c )>f (a )>f (b )，则 2a +2c 与 2 的大小
关系式 ( )
A. 2a +2c >2
B. 2a +2c ≥2
C. 2a +2c ≤2
D. 2a +2c <2
28. 函数 f (x )=e x +e −x
e x −e −x (x ≠0) 的图象大致为 ( ) A. B.
C. D.
29. 若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f(x)的图象上；
②P，Q关于原点对称．则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对"友好点对"（点对
[P,Q]与[Q,P]看作同一对"友好点对"）．已知函数f(x)={log2x(x>0)
−x2−4x(x≤0)
，则此
函数的"友好点对"有( )
A. 0对
B. 1对
C. 2对
D. 3对
30. 若函数f(x)=a2x−4，g(x)=log a∣x∣(a>0且a≠1)，且f(2)⋅g(−2)<0，则函
数f(x)、g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B.
C. D.
31. 定义域为R的函数f(x)={1
∣x−1∣,x≠1
1,x=1
，若关于x的函数ℎ(x)=f2(x)+bf(x)+
1
2
有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5，则x12+x22+x32+x42+x52等于( )
A. 2b 2+2
b2
B. 16
C. 5
D. 15
32. 关于x的方程(x2−1)2−∣x2−1∣+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中假命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
33. 已知a>0且a≠1，函数f(x)={(a−1)x+3a−4(x≤0),
a x(x>0)满足对任意实数
x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)
x2−x1
>0成立，则a的取值范围是( )
A. (0,1)
B. (1,+∞)
C. (1,5
3]D. [5
3
,2)
34. 已知函 f (x )={∣lgx ∣,0<x ≤10−12x +6,x >10，若 a ，b ，c 互不相等，且 f (a )=f (b )=
f (c )，则 abc 的取值范围是 ( )
A. (1,10)
B. (5,6)
C. (10,12)
D. (20,24)
35. 已知函数 f (x )=x 2+2x +a (a >0)，f (m )<0，则 ( )
A. f (m +x +1x )<0
B. f (m +x +1x )≤0
C. f (m +x +1x )>0
D. f (m +x +1x ) 符号不确定
36. 已知函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0,)x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),
其中 a ∈R ，若对任意的非零实数 x 1，存在唯一的非零实数 x 2(x 2≠x 1)，使得 f (x 2)=f (x 1) 成立，则 k 的最小值为 ( )
A. −115
B. 5
C. 6
D. 8
37. 若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x,y)=0
的"自公切线"．下列方程：①x2−y2=1，②y=x2−∣x∣，③y=3sinx+4cosx，
④∣x∣+1=√4−y2，对应的曲线中存在"自公切线"的有( )
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
38. 已知函数f(x)的定义域为R．若∃常数c>0，对∀x∈R，有f(x+c)>f(x−c)，
则称函数f(x)具有性质P．给定下列三个函数：①f(x)=∣x∣；②f(x)=sinx；
③f(x)=x3−x．其中，具有性质P的函数的序号是( )
A. ①
B. ③
C. ①②
D. ②③
39. f(x)=(x−a)(x−b)−2（其中a<b），且α，β是方程f(x)=0的两根，α<β，
则实数a，b，α，β的大小关系为( )
A. α<a<b<β
B. α<a<β<b
C. a<α<b<β
D. a<α<β<b
40. 已知函数f(x)=ln(x+1)，x∈(0,+∞)，下列结论错误的是( )
A. ∀x1,x2∈(0,+∞)，(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]≥0
B. ∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈(0,+∞)，f (x 1)−f (x 2)<x 2−x 1
C. ∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈(0,+∞)，x 2f (x 1)>x 1f (x 2)
D. ∃x 1,x 2∈(0,+∞)，
f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)
41. 设定义域为 R 的函数 f (x )={|lg|x −1||,x ≠1,0,x =1,
则关于 x 的方程 [f (x )]2+bf (x )+c =0 有 7 个不同实数解的充要条件是 ( )
A. b <0 且 c >0
B. b >0 且 c <0
C. b <0 且 c =0
D. b ≥0 且 c =0
42. 已知函数 f (x )=x 1+∣x∣(x ∈R ) 时，则下列结论不正确的是 ( )
A. ∀x ∈R ，等式 f (−x )+f (x )=0 恒成立
B. ∃m ∈(0,1) ，使得方程 ∣f (x )∣=m 有两个不等实数根
C. ∀x 1,x 2∈R ，若 x 1≠x 2 ，则一定有 f (x 1)≠f (x 2)
D. ∃k ∈(1,+∞) ，使得函数 g (x )=f (x )−kx 在 R 上有三个零点
43. 定义：区间 [x 1,x 2](x 1<x 2) 的长度等于 x 2−x 1．函数 y =∣log a x ∣(a >1) 的定义
域为 [m,n ](m <n )，值域为 [0,1]．若区间 [m,n ] 的长度的最小值为 34，则实数 a 的值为 ( )
A. 54
B. 2
C. 154
D. 4
44. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f(x) 的图象恰好通
过 k(k ∈N ∗) 个格点，则称函数 f(x) 为 k 阶格点函数．下列函数：
①f(x)=sinx ；
②f(x)=π(x −1)2+3 ；
③f(x)=(13)x ；
④f(x)=log 0.6x ．
其中是一阶格点函数的有 ( )
A. ①②
B. ①④
C. ①②④
D. ①②③④
45. 已知函数 f (x )=4∣x∣+2−1 的定义域为 [a,b ]，其中 a 、b ∈Z ，且 a <b ．若函数 f (x )
的值域为 [0,1]，则满足条件的整数对 (a,b ) 共有 ( )
A. 2 个
B. 5 个
C. 6 个
D. 8 个
46. 已知函数 f (x )={−x x+1,−1<x ≤0,x,0<x ≤1
与函数 g (x )=a (x +1) 在 (−1,1] 上有 2 个交点，若方程 x −1x =5a 的解为正整数，则满足条件的实数 a 有 ( )
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
47. 已知函数 f (x )={2x+2+a,x ≤0,f (x −1)+1,x >0,
若对任意的 a ∈(−3,+∞)，关于 x 的方程 f (x )=kx 都有 3 个不同的根，则 k 等于 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
48. 已知函数 y =f (−∣x∣) 的图象如图所示，则函数 y =f (x ) 的图象不可能是 ( )
A. B.
C. D.
49. 设函数的集合 P ={f (x )=log 2(x +a )+b∣∣a =−12,0,12
,1;b =−1,0,1}，平面上点的集合 Q ={(x,y )∣x =−12,0,12,1;y =−1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数 f (x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 ( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
50. 已知函数 f (x )=∣x 2+3x ∣，x ∈R ．若方程 f (x )−a∣x −1∣=0 恰有 4 个互异的实数
根，则实数 a 的取值范围为 ．
51. 已知函数 f (x )=x (lnx −ax ) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 ．
52. 已知函数 f (x )={(12)x +34,x ≥2,log 2x,0<x <2. 若函数 g (x )=f (x )−k 有两个不同的零点，
则实数 k 的取值范围是 ．
53. 对于函数 f (x )={sinπx,x ∈[0,2],12
f (x −2),x ∈(2,+∞), 有下列 5 个结论： ①任取 x 1,x 2∈(0,+∞)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2；
②函数 y =f (x ) 在区间 (4,5) 上单调递增；
③f (x )=2kf (x +2k )(k ∈N +)，对一切 x ∈(0,+∞) 恒成立；
④函数 y =f (x )−ln (x −1) 有 3 个零点；
⑤若关于 x 的方程 f (x )=m (m <0) 有且只有两个不同实根 x 1,x 2，则 x 1+x 2=3． 则其中所有正确结论的序号是 ．（请写出全部正确结论的序号）
54. 关于函数 f (x )=b ∣x∣−a (a >0,b >0) 有下列命题：
①函数 f (x ) 的值域为 (−∞,0)∪(0,+∞)；
②直线 x =k 与函数 f (x ) 的图象有唯一交点；
③函数 y =f (x )+1 有两个零点；
④函数定义域为 D ，则任意的 x ∈D ，f (x )=f (−x )．
其中所有叙述正确的命题序号是 ．
55. 如果是函数y=sinπx
x2−bx+c 的图象的一部分，若图象的最高点的坐标为(1
2
,4
3
)，则b+
c=．
56. 设a∈R，若x>0时均有[(a−1)x−1](x2−ax−1)≥0，则a=．
57. 对于函数y=f(x)(x∈R)，给出下列命题：
（1）在同一直角坐标系中，函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于直线x=0对称；
（2）若f(1−x)=f(x−1)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称；
（3）若f(1+x)=f(x−1)，则函数y=f(x)是周期函数；
（4）若f(1−x)=−f(x−1)，则函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称．
其中所有正确命题的序号是 .
58. 已知函数 f (x )={|log 3x|,0<x <313x 2−103x +8,x ≥3，若存在实数 a ，b ，c ，d ，满足
f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，其中 d >c >b >a >0，则 abcd 的取值范围是 ．
59. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y =√3+2x −x 2−√3(x ∈[0,2]) 的图象绕坐标
原点 O 按逆时针方向旋转角 θ，若 ∀θ∈[0,α]，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则 α 的最大值为 ．
60. 已知函数 f (x )={∣log 3x ∣,0<x <3,sin π3x,3≤x ≤9,
若存在实数 a ，b ，c ，d 满足 a <b <c <d ，且 f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，则 (c−3)(d−3)ab 的取值范围是 ．
61. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣−1,x ≤1x 2−3x+3x−1
,x >1，下列关于函数 g (x )=[f (x )]2+af (x )−1
（其中 a 为常数）的叙述中：
①对 ∀a ∈R ，函数 g (x ) 至少有一个零点；
②当a=0时，函数g(x)有两个不同零点；
③∃a∈R，使得函数g(x)有三个不同零点；
④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a＜0．
其中真命题有．（把你认为真命题的序号都填上）
62. 已知函数y=x(x−1)(x+1)的图象如图所示．令f(x)=x(x−1)(x+1)+0.01，
则下列关于f(x)=0的解的叙述正确的是（填写序号）．
①有三个实根；
②当x>1时，恰有一个实根；
③当0<x<1时，恰有一个实根；
④当−1<x<0时，恰有一个实根；
⑤当x<−1时，恰有一个实根（有且只有一个实根）．
63. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系t=
{64,x≤0,
2kx+6,x>0.且该食品在4
∘C的保鲜时间是16小时．
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：
①.该食品在6∘C的保鲜时间是8小时；
②.当x∈[−6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；
③.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④.到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是．
64. [x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x−[x]．则下列结论中正确的
有．
①函数f(x)的值域为[0,1]；
②方程 f (x )=12 有无数个解；
③函数 f (x ) 的图象是一条直线；
④函数 f (x ) 是 [k,k +1](k ∈Z ) 上的增函数．
65. 已知函数 f (x )=∣∣log a ∣x −1∣∣∣（a >0，a ≠1），若 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=
f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 1x 1+1x 2+1x 3+1
x 4= ．
66. 将函数 y =∣∣12x −1∣∣+∣∣12x −2∣∣+1 的图象绕原点顺时针方向旋转角 θ(0≤θ≤π2
) 得到曲线 C ．若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都是一个函数的图象，则 θ 的取值范围是 ．
67. 设函数 f (x )={x 2−4x +1(x ≥0),3x +2
(x <0), 若互不相等的实数 x 1，x 2，x 3 满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ．
68. 已知函数f(x)=∣lg(x−1)∣．若a≠b，f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围
是．
69. 已知函数y=f(x)和y=g(x)在[−2,2]的图象如图所示．
给出下列四个命题：
①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根；
②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根；
③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根；
④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，
其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）
70. 对于实数 a 和 b ，定义运算" ∗ "：a ∗b ={a 2−ab,a ≤b,b 2−ab,a >b.
设 f (x )=(2x −1)∗(x −1)，且关于 x 的方程 f (x )=m (m ∈R ) 恰有三个互不相等的实数根 x 1，x 2，x 3，则 x 1x 2x 3 的取值范围是 ．
71. 设函数 f 0(x )=(12)∣x∣
，f 1(x )=∣∣f 0(x )−12∣∣，f n (x )=∣∣∣f n−1(x )−(12)n ∣∣∣，n ≥1，n ∈N ，则方程 f n (x )=(1n+2)n
有 个实数根．
72. 已知 f (x )=m (x −2m )(x +m +3)，g (x )=2x −2．若同时满足条件：①∀x ∈R ，
f (x )<0 或
g (x )<0；②∃x ∈(−∞,−4),f (x )g (x )<0，则 m 的取值范围是 ．
73. 已知 f (x ) 是定义在 [1,+∞) 上的函数，且 f (x )={1−∣2x −3∣,1≤x <212f (12
x),x ≥2，则函数 y =2xf (x )−3 在区间 (1,2015) 上的零点的个数为 ．
74. 如图所示，函数 y =f (x ) 的图象由两条射线和三条线段组成．若 ∀x ∈R ，f (x )>
f (x −1)，则正实数 a 的取值范围为 ．
75. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,
若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为 ．
76. 已知定义在 [−1,1] 上的函数 f (x )=−2∣x∣+1，设 f 1(x )=f (x )，f n+1(x )=f [f n (x )]，
n ∈N +，若关于 x 的方程 f 3(x )−mx +m =0 有 5 个实数解，则实数 m 的取值范围是 ．
77. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于任意 x ∈M (M ⊆D )，有 x +
l ∈D ，且 f (x +l )≥f (x )，则称 f (x ) 为 M 上的 l 高调函数．
（1）如果定义域为 [−1,+∞) 的函数 f (x )=x 2 为 [−1,+∞) 上的 m 高调函数，那么实
数 m 的取值范围是 ．
（2）如果定义域为 R 的函数 f (x ) 是奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=∣x −a 2∣−a 2，且
f (x ) 为 R 上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值范围是 ．
参考答案，仅供参考
1. D 【解析】法一：
考虑函数 g (x )=e x (2x −1)，以及函数 ℎ(x )=a (x −1)，则题意要求存在唯一的整数 x 0 使得 g (x 0)<ℎ(x 0)．
注意到 gʹ(x )=e x (2x +1)，尤其注意到 y =x −1 为 y =g (x ) 在 (0,−1) 处的切线，如图．
于是可以确定符合题意的唯一整数 x 0=0，则 {f (0)<0
f (1)≥0f (−1)≥0，解得 3
2e ≤a <1．
法二：
首先 f (0)=−1+a <0，所以唯一的整数为 0．
而 f (−1)=
−3e
+2a ≥0，解得 a ≥3
2e ．
又 a <1，对 f (x ) 求导得 fʹ(x )=e x (2x +1)−a ， 当 x <−1
2 时，fʹ(x )<0；
当 x >0 时，fʹ(x )>0．
从而 f (x ) 在 (−∞,−1
2) 上单调递减，在 (0,+∞) 上单调递增． 而当 a ≥3
2e 时，有 f (−1)≥0，f (0)<0，f (1)>0， 故在 (−∞,−1]∪[1,+∞) 上 f (x )≥0，f (0)<0，满足题意．
所以满足条件的 a 的取值范围为 [3
2e ,1)．
2. A 【解析】由题意得，函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣ 的零点个数即为 y =f (x ) 与 y =log a ∣x∣ 的图象的交点个数． 因为 f (x +2)=f (x )，
所以函数 f (x ) 是周期为 2 的周期函数， 又因为 f (x )=x 3(−1≤x <1)， 所以函数 f (x ) 的图象如图所示．
在同一坐标系中作出函数 y =log a ∣x∣={log a x,x >0
log a (−x ),x <0 的图象（a >1 时，如图（1）；
0<a <1 时，如图（2））．
由图象得，要使y=f(x)与y=log a∣x∣的图象至少有6个交点，
则当a>1时log a5<1；
当0<a<1时，log a5≥−1，解得a>5或0<a≤1
5
．
3. B【解析】当点P在BC上时，x∈[0,π
4
]，y=PA+PB=√4+tan2x+tanx，y随x增大而增大，且y与x不为线性关系．
由对称性可知，当P在DA上时，y单调递减，且y与x不为线性关系，当x=π
4
时，y=√5+1；
当P在CD上运动时，x∈(π
4,3π
4
]，当x=π
2
时，PA+PB=2√2<√5+1，结合选项，故
选B．4. D
5. C
【解析】设BC与y轴交于点M，则AG
GM =2
1
，又G(0,1)，A(0,2)，所以M(0,1
2
)，正三角形
边长为√3．当点P运动到点B时，∠AGP=2π
3，此时射影y取到最小值−√3
2
，所以排除A，
B．当点P从点B向点M运动时，2π
3≤x≤π，∠PGM=π−x，所以−y1
2
=tan(π−x)，
得y=1
2
tanx，结合图象应该选C．
6. D
7. D【解析】函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点即函数f(x)=∣lnx∣与y= ax在区间(0,3]上有三个交点．画图如下．
当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，由图知，当x∈(0,1]时，存在一个交点，
当x＞1时，f(x)=lnx，可得g(x)=lnx−ax(x∈(1,3])，gʹ(x)=1
x −a=1−ax
x
，若gʹ(x)
＜0，可得x＞1
a ，g(x)为减函数，若gʹ(x)＞0，可得x＜1
a
，g(x)为增函数，此时y=
f(x)与y=ax必须在[1,3]上有两个交点，即y=g(x)在[1,3]上有两个零点，所以
{g(1
a
)＞0,
g(3)≤0,
g(1)≤0,
解得ln3
3
≤a＜1
e
，故函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点时，ln3
3
≤
a＜1
e
．
8. B 【解析】f (x )=x −4+9x+1=(x +1)+9x+1−5≥2√(x +1)×9
(x+1)−5=1， 当且仅当 (x +1)2=9，即 x =2（x =−4 舍去）时等号成立，故 a =2,b =1，
所以函数 g (x )=(12)∣x+1∣
，其图象是把函数 y =(12)∣x∣
的图象向左平移一个单位得到．
9. B 【解析】因为 f (x +3)=f (x )，所以 f (x ) 周期为 3，当 x ∈[0,3
2] 时，f (x )={2x,0<x ≤3
4,3−2x,34<x ≤32.
画出 y =f (x ) 和 y =1
∣x∣
的图象如下．
由图象知方程 f (x )=1
∣x∣ 在区间 [−4,4] 上根的个数是 5 个． 10. B
【解析】函数 f (x )=1
2(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．在 x ≥0 时的解析式等价于 f (x )={−x,0≤x ≤a 2,
−a 2,a 2<x <2a 2,x −3a 2,x ≥2a 2. 因此根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x ) 在 R 上的大致图象如下，
由∀x∈R，f(x−1)≤f(x)，可得2a2−(−4a2)≤1，解得a∈[−√6
6,√6
6
]．
11. C【解析】A 中，因为y=2x−x2−1，当x趋向于−∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，所以函数y=2x−x2−1的值小于0，所以 A 中的函数不满足条件；
B 中，因为y=sinx是周期函数，所以函数y=2x sinx
4x+1
的图象是以x轴为中心的波浪线，所以 B 中的函数不满足条件；
C 中，因为函数y=x2−2x=(x−1)2−1，当x<0或x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；
且y=e x>0恒成立，所以y=(x2−2x)e x的图象在x趋向于−∞时，y>0，0<x<1时，y<0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；所以 C 中的函数满足条件；
D 中，y=x
lnx 的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，且在x∈(0,1)时，lnx<0，所以y=x
lnx
<0，
所以 D 中函数不满足条件．
12. C【解析】由图1知当t≤−√2时，S=0．由图2知当t≥√2时，S=π．
，且阴影部分的面积以t=0为分界点，离t=0越近增长得越快，对照当t=0时，S=π
2
图象知 C 符合题意．
13. A【解析】如下图所示：
y=kx+k表示恒过点A(−1,0)斜率为k的直线．
若方程f(x)=kx+k有3个相异的实根，
则函数f(x)=x−[x]与函数g(x)=kx+k的图象有且仅有3个交点．
由图可得：
当直线y=kx+k过(2,1)点时，k=1
3
；
当直线y=kx+k过(3,1)点时，k=1
4
；
当直线y=kx+k过(−2,1)点时，k=−1；
当直线y=kx+k过(−3,1)点时，k=−1
2
．
则实数k的取值范围是1
4≤k<1
3
或−1<k≤−1
2
．
14. B【解析】画出f（x）的图象如图所示，
由图中可以看出：x1<1<x2<2<x3<4<8<x4<10，因为f(x1)=f(x2)=f(x3)= f(x4)，所以−log2x1=log2x2，x3+x4=12，从而有x1⋅x2=1，又(x3−2)⋅(x4−2)= (x3−2)⋅(12−x3−2)=−(x3−6)2+16，所以(x3−2)⋅(x4−2)
x1⋅x2
的取值范围是(0,12) .
15. D
【解析】由狄利克雷函数的定义：若x∈Q，则f(f(x))=f(1)=1，若x∈∁R Q，则
f(f(x))=f(0)=1；
若x∈Q，则−x∈Q，则f(−x)=f(x)=1；若x∈∁R Q，则−x∈∁R Q，则f(−x)=
f(x)=0；所以函数f(x)是偶函数；
若x∈Q，因为T是非零的有理数，所以x+T∈Q，所以有f(x+T)=f(x)=1；若x∈∁R Q，则x+T∈∁R Q，所以f(x+T)=f(x)，所以对任意的x∈R，有f(x+T)=f(x)恒成立；
取A(−√3
3,0)，B(√3
3
,0)，C(0,1)，则△ABC为等边三角形，所以存在三个点A(x1,f(x1))，
B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，使得△ABC为等边三角形．
16. A【解析】画出函数f(x)=∣log2∣x−1∣∣的图象，如图所示．
设f(x)=t，则t2+at+2b=0．若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+2b=0有6个不同的实数根，则关于t的方程t2+at+2b=0一定有一根为0，另一根为正，从而b=0，a<0，且两根分别为t1=0、t2=−a．
（i）方程f(x)=−a(a<0)有4个实根，由最小的根为−3，得f(−3)=−a，解得a=−2；
（ii）方程f(x)=0有x=0和x=2两个实根．综上，a+b=−2．
17. A
18. B
19. C
20. B
【解析】解法一如图，
设∠MON=α，由弧长公式知x=α，在Rt△AOM中，∣AO∣=1−t，cos x
2=∣OA∣
∣OM∣
=1−
t，
所以y=cosx=2cos2x
2
−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B．解法二由题意可知，当t=1时，圆O在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为
π×1=π，所以cosπ=−1，排除 A，D；当t=1
2
时如图所示，
易知∠BOC=2π
3，所以cos2π
3
=−1
2
<0，排除 C．
21. A【解析】由已知得f(a n)>a n，即y=f(x)的图象在y=x的图象的上方．
22. B【解析】由f(x)=g(x)，得(x−a)2=4．所以，当x=a−2和x=a+2时，两函数值相等，又f(x)的图象为开口向上的抛物线，g(x)的图象为开口向下的抛物线，则
H1(x)={f(x),x≤a−2,
g(x),a−2<x<a+2,
f(x),x≥a+2,
 H2(x)={
g(x),x≤a−2,
f(x),a−2<x<a+2,
g(x),x≥a+2.
所以A=H1(x)min=f(a+2)=−4a−4，B=H2(x)max=g(a−2)=−4a+12，所以A−B=−16．
23. B【解析】通过圆心角α将弧长x与时间t联系起来，圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则α=x，如图所示，
cosα
2
=1−t，即
cos x
2
=1−t,
则
y=cosx=2cos2x
2
−1
=2(1−t)2−1
=2(t−1)2−1(0≤t≤1).
其图象为开口向上，在[0,1]上的一段抛物线．
24. A【解析】①不满足，函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1＞x2＞0时，
f(x1+x2
2)=f(x1)+f(x2)
2
；
②不满足，在第一象限，函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，
f(x1+x2
2)<f(x1)+f(x2)
2
；
③不满足，在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，
f(x1+x2
2)<f(x1)+f(x2)
2
；
④满足，函数f(x)=√x的图象是凸形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x2
2)>f(x1)+f(x2)
2
；
⑤不满足，当x1＞x2＞0时，f(x1+x2
2)<f(x1)+f(x2)
2
．
25. D
【解析】f(x)的图象如下图所示：
令g(x)=kx，则使得f(x)的图象在g(x)图象的上方即可．g(x)的两个临界状态分别是
k=0和与y=x2+5x(x≥0)相切的时候．
当g(x)与y=x2+5x(x≥0)相切时，k=yʹx=0=5．
所以0≤k≤5．
26. C【解析】由图可知0<a<1,−2<b<−1．又函数y=1
x+a
+b+1的图象是由y=
1
x
向左平移a个单位，向下平移∣b+1∣单位而得到的．结合四个选项可知C正确．
27. D
28. A【解析】提示：因为函数f(x)是奇函数，又f(x)=1+2
e2x−1
在x∈(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递减．
29. C【解析】函数f(x)={log2x(x>0)
−x2−4x(x≤0)
的图象（实线部分）及函数f(x)=−x2−
4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象（虚线部分）如图所示：
则 A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数 f (x )=−x 2−4x (x ≤0) 的图象上，故函数 f (x ) 的"友好点对"有 2 对． 30. B
【解析】f (2)⋅g (−2)=a 0log a 2<0，得 0<a <1，所以 f (x )=a 2x−4 在 R 上为减函数，g (x )=log a ∣x ∣ 在 (0,+∞) 上为减函数，在 (−∞,0) 上为增函数．
31. D 【解析】令 ℎ(x )=0，即 f 2(x )+bf (x )+1
2=0，由其有 5 个不同零点，结合函数 f (x ) 图象，
可知，f (x )=1 应满足上述方程，再结合，两根之积为 12，则 f (x )=1
2 也满足方程； 因此，解上述 f (x )=1 和 f (x )=1
2，可得方程的 5 个不同的零点为 x 1=0 、 x 2=1 、 x 3=2 、 x 4=−1 、 x 5=3．
32. A【解析】根据题意可令∣x2−1∣=t(t≥0)，则原方程化为t2−t+k=0，设方程t2−t+k=0的两根为t1，t2（不妨设t1≤t2），
则Δ=1−4k≥0，得k≤1
4
．
则{t1+t2=1,
t1⋅t2=k,结合t=∣x
2−1∣的图象可知：
①当k<0时，t1<0<1<t2，所以原方程有2个不同的实根．
②当k=0时，t1=0，t2=1，所以原方程有5个不同的实根．
③当k=1
4时，t1=t2=1
2
，所以原方程有4个不同的实根．
④当0<k<1
4
时，0<t1<t2<1，所以原方程有8个不同的实根．
33. C【解析】由题意知f(x)在R上为增函数，画出函数图象的草图如图所示：
所以 {a −1>0,
a >1,3a −4≤1, 解得 1<a ≤5
3．
34. C 【解析】作出函数 f (x ) 的图象如图， 不妨设 a <b <c ，则 −lga =lgb =−1
2c +6∈(0,1) ab =1，0<−1
2c +6<1 则 abc =c ∈(10,12)．
35. C
【解析】设 f (x ) 的两个根分别为 x 1，x 2，且 x 1<x 2，
则 (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4−4a ，因为 a >0，所以 x 2−x 1<2． 由 f (m )<0 可知 x 1<m <x 2，
利用均值不等式可知 m +x +1
x ≥m +2 或 m +x +1
x ≤m −2，
结合二次函数图象知 m +x +1
x >x 2 或 m +x +1
x <x 1，所以 f (m +x +1
x )>0． 36. D 【解析】因为函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0),
x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),
，其中 a ∈R ，
所以x=0时，f(x)=k(1−a2)．
又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得f(x2)=f(x1)成立，所以函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，
易知k≤0时，结合图象可知，不符合题意．
所以k＞0，且(3−a)2=k(1−a2)，即(k+1)a2−6a+9−k=0有实数解，
所以△=62−4(k+1)(9−k)≥0，解得k＜0或k≥8．
又因为k＞0，
所以k的取值范围为[8,+∞)．
37. C【解析】①中x2−y2=1是一个等轴双曲线，它不存在"自公切线"；
②如图所示，
曲线在点(−1
2,−1
4
)和点(1
2
,−1
4
)处的切线重合；
③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)(tanφ=4
3
)．
如图，在所有的最高点处的切线重合，所以③存在"自公切线"；
④中曲线如图所示，不存在"自公切线"．
38. B【解析】对于①：因为f(x)=∣x∣是偶函数，所以当x=0时，对于∀c∈R，都有f(x+c)=f(x−c)成立，所以该函数不具有性质P；
对于②：对于∀常数c>0，当x+c=−π
2
时，有f(x+c)≤f(x−c)成立，故该函数也不具有性质P；
对于③：因为 f (x )=x 3−x 在 (−∞,−√33)，(√33,+∞) 上单调递增，在 (−√33,√33
) 上单调递减，所以 ∃ 常数 c >√33
>0，对 ∀x ∈R ，有 f (x +c )>f (x −c ) 成立，所以该函数具有性
质 P ．
39. A 【解析】f (x )=(x −a )(x −b )−2 的图象是由 f (x )=(x −a )(x −b ) 的图象向下平移 2 个单位得到的，如图：
由图可得 α<a <b <β． 40. D
【解析】函数图象可由 y =lnx 向左平移一个单位得到：
当 x ∈(0,+∞) 时，函数 f (x )=ln (x +1) 为上凸的增函数，∣EF ∣=f (x 1)+f (x 2)
2
，∣EG ∣=
f (
x 1+x 22
)，∣EF ∣<∣EG ∣．
41. C【解析】函数f(x)的图象如图所示，
再由题关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，所以，关于f(x)的方程有两个不同解，且[f(x)]1=0，[f(x)]2>0，因此，c=0且b<0．
42. D【解析】
因为f(−x)=−x
1+∣x∣
=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；方程∣f(x)∣=m根的个数，就是函数y=∣f(x)∣与函数y=m的图象交点的个数，由图2可得B对；当x≥0时
fʹ(x)=1
(1+x)2
>0，则f(x)在(0,+∞)为增函数，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)在
(−∞,0)上也为增函数，可得C对；对于D中，当x>0时，f(x)−kx=0，解得x=
0或x=1
k −1，由x=1
k
−1>0，得0<k<1，故D错．
43. D【解析】作出函数y=∣log a x∣(a>1)的图象（如图），。