一元随机变量及分布

2 arctgb 0.5
arctgb
4
b 1
书P68 6
22
A
x0
例4.若C .R. V X的分布函数是
求（１）待定参数A，B，C。
F
(
x)
Cx
Bx2 1x
2 1
2
1
0 x 1 1 x 2
x2
（2）求P{1＜X＜3}
(1)解： lim f (x) 0 A
x
又 lim f (x) 1,lim f (x) 2C 3
1
x5
P{1 X 4} F (4) F (1)
10
P{4 X 5} 3 10
P(4 X 5) P( X 4) P( X 5)
36
436
F (5) F (4) 1
10 10
10 10 10
15
五、连续型随机变量及概率密度
1、定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如
解：(1) f (x) 0, g(x) 0且 b f (x)dX
b
f (x)dx 1
a
a
又
b
a [ f (x) g(x)]dx 2
故 f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数
b
(2) a [f (x) (1 )g(x)]dx (1 ) 1
故 β f(x)＋(１﹣ β) g(x)是 这个区间上的概率密度函数．
概率分布或分布列．
X
x1
x2
x3
xi
P
p1
p2
p3
pi
3、分布列的性质
（1） pi 0 i 1,2,（2）
pi 1
4、求分布列的步骤： （1）明确X的i含义及一切可能取
值。（2）利用概率的计算方法，计算X取各值的概率。 3
由已知条件求随机变量分布列的例题
例1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，试用一个 随机变量描述该项一次试验的结果,求分布列。
3
(
x)
sin
x
x [ , ] 22
0
其它
(B)
f
2
(x)
sin
x
x [0, 3 ] 2
0
其它
(D)
f4
(x)
sin
x
x [0, ]
2
0
其它
解:(A)
0
f1(x)dx
0dx sin xdx
0
0dx 2
1
1
0.5 -0.5
12 34
0.5
（B），（C）中的函数不是非负函数
可以取区间内一切值的随机变量. 2
二、离散型随机变量及分布
１、离散型随机变量定义：设X是一个随机变量，如果X
的所有可能取的值为有限个或可数个，则称X为离散型随 机变量，记为 D.R.V X．
2、离散型随机变量的概率分布：设X是离散型随机变 量，可能取的值为 x1, x2 ,，则称P{X xi} pi i 1,2, 为X的
（1）试确定常数
a
的值
0
a x 其它
（２）如果概率 P{a X b} 0.5 试确定常数b 的值。
(1).解：1
f (x)dx
2
dx 2 arctgx 1 2 arctga
a (1 x2 )
a
arctga 0 a 0
(2).P{a X b} 2
b1
2
b
0 1 x2 dx arctg 0
第二章 随机变量及数字特征
• 一元随机变量及分布 • 随机变量数字特征 • 常用分布 • 一元随机变量及分布
一、随机变量及分布 二、离散型随机变量及分布 三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及概率密度 六、一元随机变量函数的分布
1
一、随机变量及分布
1、随机变量：对于随机试验的每一个可能结果w (样本
19
已知某连续随机变量的密度函数或分布函数求其中的未知 参数并利用密度函数或分布函数求事件的概率
例１．若C. R .V X的概率密度是，
B
求待定参数B及P{0<X<0.5}
f
(
x)
1 x2
0
解：1
f (x)dx
1
B
dx
0 1 x2
0 x 1 其它
1
B
1
dx
B arcsin
x1
B
0 1 x2
（２）求子弹剩余数Y的分布列
Y=5-X
Y
0
1
2
34
Y ~ p 0.25 0.24 0.8 0.23 0.8 0.22 0.8 0.20.8 0.8
6
例5．一袋中有5个新球，3个旧球。每次从中任取一 个，有下述两种方式进行抽样，X表示直到取得新 球为止所进行的抽样次数：（1）不放回地抽取； （2）有放回地抽取。求X的分布列。
0
2
B 2
0.5
P{0 X 0.5} 0 f (x)dx
2 0.5 1 dx
0 2 1
0 6 3
b
P{a X b} a f (x)dx
20
例2．设连续型随机变量X的概率密度为
ln x 1 x b
f (x)
0
其它
试确定常数b的值及P{X<2}
X01 解:设X为一次试验的成功次数 P 1/3 2/3
例２、袋中有５只同样大小的球，编号为１、２、 ３、４、５从中同时取出３只球，以X表示取 出的球的最大号码，求X的概率分布．
解:设X取出的球的最大号码
P{ X
3}
C3 3
C3 5
P{X
4}
C11C32 C53
P{X
5}
C11C42 C53
P{X 1} 1 F(1)
P{0 X 1} 0.4 F (1) F (0)
14
例2.若X的概率分布如下，分别求其分布函数
X0
1
P 1/3 2/3
0
F (x)
1 13
x0 0 x 1
x 1
0
x3
X3
4
5
1 F ( x) 140
3 x4 4 x5
P 1/10 3/10 6/10
10
4
(4)P{X a} 0
（5）在f (x)的连续点处，有F(x) f (x) 16
3、密度函数和分布函数与事件概率的关系
（1）P{a X b}
b
f (x)dx F(b) F(a)
a
（2）P{X a} a f (x)dx F (a)
（3）P{X a}
f (x)dx 1 F(a)
点)∈ Ω,都有唯一的实数X(w)与之对应，则称X(w)是一 个随机变量，简记为R. V. X
注意：
(1)随机变量X(w)实质是函数， X(w)取值是值 域． (2)实验结果是随机的， X(w)取值也是随机． (3)实验的各个结果的出现有一定概率， X(w)取值有一定概
率．
离散型
２、分类 连续型
取值为有限个和至多可列个的 随机变量.
a
4、密度函数和分布函数的关系
x
f
(x) F(x)
f (x)dx
F ( x)
F(x) f (x)
F(x) f (x) 17
判断函数是否为某连续随机变量的密度函数
例１下列函数可以作为某一连续型随机变量的概率密度的
是___
sin x x [0, ]
( A)
f1(x)
0
其它
(C)
f
2 F(x) P{X x} 1
F(x) P{X x}
xx
x
0
1
分布函数为
0
F (x)
1
2 1
x0 0 x 1
x 1
F(x) P{X x} pi xi x 12
四、离散型随机变量的分布函数
1、分布列与分布函数的关系：
F(x) pi xi x
2.分布列
F (x) pi
xix
即
limF(x)
x
F ( x0
)
xx0
•
10
下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是＿
0
x2
( A)
F1( x)
2 1
x0 0 x1
x1
0
1
(B)
F2
(
x)
3 1
2 1
x0 0 x1
1 x 2 x2
(C )
F3
(
x
)
ln(1 x 1 x
)
x0
0 x 0
1 ex
(D) F4(x)
x2
而 lim
x2
f (x) B,lim
f (x) 1
x1
x1
2
0
x0
F(x)
2x
1 x2 2 1 x2
F(x) P{X x} ------
解：当 x 0 F(x) P{X x} 0
则其分布函数
x 1 F(x) P{X x} 0.6
0 x 1 F(x) P{X x} 1
分布函数为
0 F ( x) 0.6
1
x0 0 x 1
x 1
P{X 0} 0.6 F (0)
记 q=1-p, 则X的概率分布为: P{X=n}=qn-1p, (n=1,2,...)
几何分布
5
例4．某射手有五发子弹，每次射击命中目标的概
率为０.８，如果命中就停止射击，不命中就一直射
到子弹用尽。（1）射击次数X的分布列
解:(1)
X