高考数学冲刺复习 精练7

数学精练（7）

1.已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为( )

A ．︒60

B ．︒90

C ．︒120

D ． ︒

150 【答案】B

【解析】本题考查平面向量的有关知识. 2．若实数x ，y 满足不等式组：⎪⎩

⎪⎨⎧≤-≥+-≥-3311y x y x y x ，则该约束条件所围

成的平面区域的面积是 ( )

A ．3

B ．25

C ．2

D ．22

【答案】C

【解析】可行域为直角三角形，其面积为

1222 2.2

S =⨯⨯= 3.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为

( )

A ．30

B ．31

C ．24

D ．33

【答案】B

【解析】切线长的长短由该点到圆心的距离来确定.即圆

心()4,2-到直线2+=x y 的最短距

离.422

42,2d ++==所以()2242131.-=

4．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打

出的分数的茎叶图（其中m 为数字

0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、

乙两名选手得分的平均数分别为

12,a a ，则一定有

（ ） A ．12a a > B ．21a a >

C ．12a a =

D ．12,a a 的大小不确定

【答案】B

【解析】1284,85a a ==.

5.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为( )

A ．89

B ．910

C ．1011

D ．1112

【答案】B 【解析】1111223

910+++=⨯⨯⨯910,故选B. 6.要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( ) A.向左平移π3个单位 B.向右平移π3

个单位 C. 向右平移π6个单位 D. 向左平移π6

个单位 【答案】C

【解析】因为y ＝sin(2x －π

3)= sin2(x －6

π),故选C. 7.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表。

()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示。

下列关于函数()f x 的命题：

函数()y f x =是周期函数；

② 函数()f x 在[]02，是减函数；

③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的

最大值为4；

④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点。

其中真命题的个数是 ( )

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

【答案】D

【解析】①显然错误；③容易造成错觉，m x 5a t =；④错误，()2f 的不确定影响了正确性；②正确，可有()'f

x 得到.

8.（本小题满分15分）已知直线30x ky +-=所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，

且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知圆22:1O x y +=，直线:1l mx ny +=，试证：当点(,)P m n 在椭圆C 上运

动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围． 【解析】（1）设椭圆C 的方程为

22

221x y a b

+= 直线30x ky +-=所经过的定点是（3，0），即点F （3，0）

∵椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8

∴38a += 5a =

∴22216b a c =-= ∴椭圆C 的方程为22

12516

x y += （2）∵点(,)P m n 在椭圆C 上

∴2212516m n +=，2

2161625

m n =-[ ∴原点到直线:1l mx ny +=

的距离1d ==

∴直线:1l mx ny +=与圆22

:1O x y +=恒相交 222214()4(1)91625L r d m =-=-

+ ∵05m ≤≤

∴25

L ≤≤ 9（本小题满分15分）已知函数2()2ln f x x x =-.

(I) 求函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上的最大值. (II)如果函数()()g x f x ax =-的图像与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x ，且120x x <<.

/()y g x =是()y g x =的导函数，若正常数,p q 满足1,p q q p +=≥.

求证：/12()0g px qx +<.

【解析】(Ⅰ)由2()2ln f x x x =-得到：2(1)(1)()x x f x x -+'=， 1[,2]2x ∈，故()0f x '=在1x =有唯一的极值点，11()2ln 224

f =--， (2)2ln 24f =-，()(1)1f x f ==-极大值， 且知1(2)()(1)2

f f f <<，所以最大值为(1)1f =-．…………………6分 (Ⅱ)2()2

g x x a x

'=

--，又()0f x ax -=有两个不等的实根12,x x ， 则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，两式相减得到:1212122(ln ln )()x x a x x x x -=-+- …………………8分 于是121212121212

2(ln ln )2()2()[()]x x g px qx px qx x x px qx x x -'+=-+--++- 12211212

2(ln ln )2(21)()x x p x x px qx x x -=-+--+- 2121,0p x x ≤>>，21(21)()0p x x ∴--≤…………………10分

要证：12()0g px qx '+<，只需证：121212

2(ln ln )20x x px qx x x --<+- 只需证：211122

ln 0x x x px qx x -+<+ ① 令12,01x t t x =<<，只需证：1()ln 0t u t t pt q

-=+<+在01t <<上恒成立， 又∵2

2

222(1)()11()()()q p t t p u t t pt q t pt q --'=-=++ ∵11,2

p q q +=≥，则221,1q q p p ≥∴≥，于是由1t <可知10t -<，220q t p -< 故知()0u t '>()u t ∴在(0,1)t ∈上为增函数，

则()(1)0u t u <=，从而知

211122

ln 0x x x px qx x -+<+，即①成立，从而原不等式成立.…15分