课件9：2.1.1 向量的概念
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2.1.1 向量的概念
学习目标
1.理解向量、零向量、基线、向量模的意义.(重点)
2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表
示点的位置.
3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判
断向量间共线(平行)、相等的关系.(重点、难点)
基础·初探
教材整理1
向量及其几何表示
1.向量的定义
具有大小和方向的量称为向量.
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
解：(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方
向，所以两个向量不能比较大小.
BC＝10 2米，CD＝10 米，所以 BD＝10 米.△ABD 是直
角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5 米，BD＝10 米，
→ |＝5 5米.
所以 AD＝ 5 ＋(10) ＝5 5(米)，所以|AD
2
2
名师指导
1.向量的两种表示方法：
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，
最后根据向量的长度确定向量的终点.
→ 与CD
→ 方向相反，∴AB
→ 与CD
→ 共线，
(2)由题意知AB
∴在四边形 ABCD 中，AB∥CD，
→ |＝|CD
→ |，
又∵|AB
∴四边形 ABCD 为平行四边形，
→ |＝|BC
→ |＝200(公里).
∴|AD
探究点 相等向量与共线向量
探究1
向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否
→ ，OC
→ 相等的向量；
①分别写出图中与OA
→ 的长度相等、方向相反的向量有哪些？
②与OA
→ 相等的向量有EF
→ ，DO
→ ，CB
→ ；与OB
→ 相等的
解：①与OA
→ ，EO
→ ，FA
→ ；与OC
→ 相等的向量有FO
→ ，ED
→ ，AB
→.
向量有DC
→ 的长度相等、方向相反的向量有OD
→ ，BC
【解析】
(1)①单位长度是1，长度相等，但方向不
一定相同，故不是相等向量，即①不正确；②由①可
知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以
③不正确.
(2)因为向量与是共线向量，它们的基线不一定是同一
个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以
①错误；
因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量
)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线.
A.①②③
B.②③④
C.①②⑤
D.①③⑤
【解析】
由定义知①正确，②由于零向量的方向是任
意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.
显然③、⑤正确，④不正确，故选D.
例2
某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变
方向按东北方向走了10 2米到达C点，到达C点后又改
变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量， ， ；
(2)求的模.
→ ，BC
→ ，CD
→ ，如图所示：
解：(1)作出向量AB
(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC＝90°，
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，
为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向
→ ，CD
→ ，EF
→ 等.
线段的起点与终点表示向量，如AB
2.两种向量表示方法的作用：
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量
运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.
向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两
个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行
不包含两条直线重合.
(3)平行(共线)向量无传递性(因为有 0).
→ ，AC
→ 共线.
(4)三点 A，B，C 共线⇔AB
跟踪训练
3.如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心.
→ ，OB
相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大
小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相
→ ＝DC
→ ，所以④正确；
等，即③错误；画出图形，可得AB
由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点
可能相同，所以⑤不正确.
【答案】
(1)A
(2)②④
名师指导
相等向量与共线向量需注意的四个问题：
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等
→ 的长度相等且方向相同，所以与向
形，知DC
→ 相等的向量为DC
→ 和ED
→.
量AB
2.自由向量
只有大小和方向，而无 特定的位置 的向量叫做自由向量.
3.向量的表示
(1)有向线段：具有方向的线段.
→ 的大小，也就是向
(2)向量可以用 有向线段 表示，向量AB
→ 的 长度 ，记作
量AB
→|
|AB
，向量也可以用字母 a，b，
c，……表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，
→.
→ ，CD
3.平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，
则称这些向量共线或平行.也就是说方向相同或 相反向量
叫做平行向量，也叫共线向量.向量a平行于b，记作a∥b.
4.位置向量：任给一定点 O 和向量 a，过点 O 作有向线
→ ＝a，则点 A 相对于点 O 的位置被向量 a
段 OA
→ ，又常叫做点 A 相对于点 O
向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.
跟踪训练
1.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
→ 与CD
→ 是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同
④向量AB
一直线上.其中正确命题的序号是________.
共线？
【提示】
向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量
都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线.
探究2
两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别
重合？
【提示】
不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相
等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.
例3
(1)如图，在等腰梯形 ABCD 中.
→ 与CD
所 唯一确定 ，这时向量OA
的位置向量.
预习自测
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)单位向量都平行.(
)
(2)零向量与任意向量都平行.(
(3)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.(
→ |＝|BA
→ |.(
(4)|AB
)
)
)
【解析】
(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做
单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，
【答案】
D
3.设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是
(
)
A.e1＝e2
B.e1∥e2
C.|e1|＝|e2|
D.以上都不对
【解析】
单位向量的模都等于1个单位，故C正确.
【答案】
C
4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向
量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定
共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个
非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是
________.(填序号)
【解析】
由向量的相关概念可知④⑥正确.
【答案】
④⑥
5.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE
→ 相等的向量.
是矩形，找出与向量AB
解：由四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩
→ ，ED
→ 与AB
→ 是共线向量；
①AB
→ ＝CD
→ ；③AB
→ >CD
→ .以上结论中正确的个数是(
②AB
A.0
B.1
C.2
D.3
)
(2)下列说法中，正确的序号是________.
①任何两个单位向量都是相等向量；
②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；
④若四边形ABCD是平行四边形，则＝；
⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.
故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任
意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，
则(3)不成立；(4)正确.故只有(2)(4)正确.
【答案】
(1)× (2)√
(3)×
(4)√
合作探究
类型1
例1
向量的有关概念
判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
【解析】 ①错误.由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不
能说明它们方向的关系.②错误.0 的模|0|＝0.
③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可
以任意移动的.
④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反
→ ，CD
→ 必须在同一直线上.
即可，并不要求两个向量AB
【答案】 ③
类型2 向量的表示及应用
轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大
小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大
小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.
【答案】
(1)× (2)×
(3)×
(4)√
教材整理2
向量的有关概念
1.零向量：长度等于零 的向量，叫做零向量，记作0.规
定：零向量与 任意向量 平行.
2.相等向量：同向 且 等长的向量叫做相等向量.
如：AB
(3) 同向且等长 的有向线段表示同一向量，或相等的向量.
预习自测
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小.(
)
(2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.(
(3)某个角是一个向量.(
)
)
(4)体积、面积和时间都不是向量.(
)
【解析】
因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x
→ ，AO
→，
②与OA
→.
FE
课堂检测
1.下列说法中正确的个数是(
)
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】
只有④中物理学中的加速度既有大小又有方
向是向量，①②③错误，④正确.
【答案】
B
2.在下列判断中，正确的是(
跟踪训练
2.一辆汽车从点 A 出发，向西行驶了 100 公里到达点 B，
然后又改变方向，向西偏北 50°的方向行驶了 200 公里到
达点 C，最后又改变方向，向东行驶了 100 公里达到点 D.
→ ，BC
→ ，CD
→；
(1)作出向量AB
→ |.
(2)求|AD
→ ，如图所示.
→ ，CD
→ ，BC
解：(1)作出向量AB
(2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定
它们的方向关系.(3)正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两
向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方
向不定.
名师指导
求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方
学习目标
1.理解向量、零向量、基线、向量模的意义.(重点)
2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表
示点的位置.
3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判
断向量间共线(平行)、相等的关系.(重点、难点)
基础·初探
教材整理1
向量及其几何表示
1.向量的定义
具有大小和方向的量称为向量.
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
解：(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方
向，所以两个向量不能比较大小.
BC＝10 2米，CD＝10 米，所以 BD＝10 米.△ABD 是直
角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5 米，BD＝10 米，
→ |＝5 5米.
所以 AD＝ 5 ＋(10) ＝5 5(米)，所以|AD
2
2
名师指导
1.向量的两种表示方法：
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，
最后根据向量的长度确定向量的终点.
→ 与CD
→ 方向相反，∴AB
→ 与CD
→ 共线，
(2)由题意知AB
∴在四边形 ABCD 中，AB∥CD，
→ |＝|CD
→ |，
又∵|AB
∴四边形 ABCD 为平行四边形，
→ |＝|BC
→ |＝200(公里).
∴|AD
探究点 相等向量与共线向量
探究1
向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否
→ ，OC
→ 相等的向量；
①分别写出图中与OA
→ 的长度相等、方向相反的向量有哪些？
②与OA
→ 相等的向量有EF
→ ，DO
→ ，CB
→ ；与OB
→ 相等的
解：①与OA
→ ，EO
→ ，FA
→ ；与OC
→ 相等的向量有FO
→ ，ED
→ ，AB
→.
向量有DC
→ 的长度相等、方向相反的向量有OD
→ ，BC
【解析】
(1)①单位长度是1，长度相等，但方向不
一定相同，故不是相等向量，即①不正确；②由①可
知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以
③不正确.
(2)因为向量与是共线向量，它们的基线不一定是同一
个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以
①错误；
因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量
)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线.
A.①②③
B.②③④
C.①②⑤
D.①③⑤
【解析】
由定义知①正确，②由于零向量的方向是任
意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.
显然③、⑤正确，④不正确，故选D.
例2
某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变
方向按东北方向走了10 2米到达C点，到达C点后又改
变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量， ， ；
(2)求的模.
→ ，BC
→ ，CD
→ ，如图所示：
解：(1)作出向量AB
(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC＝90°，
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，
为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向
→ ，CD
→ ，EF
→ 等.
线段的起点与终点表示向量，如AB
2.两种向量表示方法的作用：
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量
运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.
向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两
个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行
不包含两条直线重合.
(3)平行(共线)向量无传递性(因为有 0).
→ ，AC
→ 共线.
(4)三点 A，B，C 共线⇔AB
跟踪训练
3.如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心.
→ ，OB
相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大
小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相
→ ＝DC
→ ，所以④正确；
等，即③错误；画出图形，可得AB
由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点
可能相同，所以⑤不正确.
【答案】
(1)A
(2)②④
名师指导
相等向量与共线向量需注意的四个问题：
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等
→ 的长度相等且方向相同，所以与向
形，知DC
→ 相等的向量为DC
→ 和ED
→.
量AB
2.自由向量
只有大小和方向，而无 特定的位置 的向量叫做自由向量.
3.向量的表示
(1)有向线段：具有方向的线段.
→ 的大小，也就是向
(2)向量可以用 有向线段 表示，向量AB
→ 的 长度 ，记作
量AB
→|
|AB
，向量也可以用字母 a，b，
c，……表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，
→.
→ ，CD
3.平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，
则称这些向量共线或平行.也就是说方向相同或 相反向量
叫做平行向量，也叫共线向量.向量a平行于b，记作a∥b.
4.位置向量：任给一定点 O 和向量 a，过点 O 作有向线
→ ＝a，则点 A 相对于点 O 的位置被向量 a
段 OA
→ ，又常叫做点 A 相对于点 O
向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.
跟踪训练
1.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
→ 与CD
→ 是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同
④向量AB
一直线上.其中正确命题的序号是________.
共线？
【提示】
向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量
都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线.
探究2
两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别
重合？
【提示】
不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相
等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.
例3
(1)如图，在等腰梯形 ABCD 中.
→ 与CD
所 唯一确定 ，这时向量OA
的位置向量.
预习自测
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)单位向量都平行.(
)
(2)零向量与任意向量都平行.(
(3)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.(
→ |＝|BA
→ |.(
(4)|AB
)
)
)
【解析】
(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做
单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，
【答案】
D
3.设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是
(
)
A.e1＝e2
B.e1∥e2
C.|e1|＝|e2|
D.以上都不对
【解析】
单位向量的模都等于1个单位，故C正确.
【答案】
C
4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向
量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定
共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个
非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是
________.(填序号)
【解析】
由向量的相关概念可知④⑥正确.
【答案】
④⑥
5.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE
→ 相等的向量.
是矩形，找出与向量AB
解：由四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩
→ ，ED
→ 与AB
→ 是共线向量；
①AB
→ ＝CD
→ ；③AB
→ >CD
→ .以上结论中正确的个数是(
②AB
A.0
B.1
C.2
D.3
)
(2)下列说法中，正确的序号是________.
①任何两个单位向量都是相等向量；
②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；
④若四边形ABCD是平行四边形，则＝；
⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.
故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任
意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，
则(3)不成立；(4)正确.故只有(2)(4)正确.
【答案】
(1)× (2)√
(3)×
(4)√
合作探究
类型1
例1
向量的有关概念
判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
【解析】 ①错误.由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不
能说明它们方向的关系.②错误.0 的模|0|＝0.
③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可
以任意移动的.
④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反
→ ，CD
→ 必须在同一直线上.
即可，并不要求两个向量AB
【答案】 ③
类型2 向量的表示及应用
轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大
小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大
小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.
【答案】
(1)× (2)×
(3)×
(4)√
教材整理2
向量的有关概念
1.零向量：长度等于零 的向量，叫做零向量，记作0.规
定：零向量与 任意向量 平行.
2.相等向量：同向 且 等长的向量叫做相等向量.
如：AB
(3) 同向且等长 的有向线段表示同一向量，或相等的向量.
预习自测
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小.(
)
(2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.(
(3)某个角是一个向量.(
)
)
(4)体积、面积和时间都不是向量.(
)
【解析】
因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x
→ ，AO
→，
②与OA
→.
FE
课堂检测
1.下列说法中正确的个数是(
)
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】
只有④中物理学中的加速度既有大小又有方
向是向量，①②③错误，④正确.
【答案】
B
2.在下列判断中，正确的是(
跟踪训练
2.一辆汽车从点 A 出发，向西行驶了 100 公里到达点 B，
然后又改变方向，向西偏北 50°的方向行驶了 200 公里到
达点 C，最后又改变方向，向东行驶了 100 公里达到点 D.
→ ，BC
→ ，CD
→；
(1)作出向量AB
→ |.
(2)求|AD
→ ，如图所示.
→ ，CD
→ ，BC
解：(1)作出向量AB
(2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定
它们的方向关系.(3)正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两
向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方
向不定.
名师指导
求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方