计算方法复习题

《计算方法》复习题
一 选 择（每题3分,合计42分)
1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1。

7320，则x 具有 位有效数字。

A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
2. 取7
3.13≈（三位有效数字），则
≤-73.13 。

A 、30.510-⨯
B 、20.510-⨯
C 、10.510-⨯
D 、0。

5 3. 下面 不是数值计算应注意的问题。

A 、注意简化计算步骤，减少运算次数
B 、要避免相近两数相减
C 、要防止大数吃掉小数
D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)
0(x 及常向量g ，迭代过程g x B x
k k
+=+)()
1(收敛的充分必要条件
是 。

A 、11<
B B 、1<∞
B
C 、1)(<B ρ
D 、21B <
5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k 步,选列主元)
1(-k rk
a ，使得)
1(-k rk a ＝ 。

A 、 )
1(1max -≤≤k ik
n
i a B 、 )
1(max -≤≤k ik
n
i k a C 、 )
1(max -≤≤k kj
n
j k a D 、 )
1(1max -≤≤k kj
n
j a
6. 设ƒ(x)= 5x 3－3x 2＋x ＋6,取x 1=0，x 2=0。

3，x 3=0。

6，x 4=0.8，在这些点上关于ƒ（x ）的插值
多项式为3()P x ，则ƒ(0.9)—3(0.9)P =__________。

A 、0 B 、0.001 C 、0。

002 D 、0.003
7. 用简单迭代法求方程f （x )=0的实根，把方程f （x )=0转化为x =ϕ(x )，则f （x ）=0的根是： .
A 、y =x 与y =ϕ(x ）的交点
B 、 y =x 与y =ϕ(x )交点的横坐标
C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标
D 、 y =ϕ(x )与x 轴交点的横坐标
8. 已知x 0＝2，f （x 0）=46，x 1＝4，f (x 1)=88,则一阶差商f ［x 0， x 1］为 。

A 、7 B 、20 C 、21 D 、42
9. 已知等距节点的插值型求积公式
()()46
3
k
k
k f x dx A f x =≈∑⎰，那么4
k
k A
==∑_ ___。

A 、0
B 、2
C 、3
D 、9
10. 用高斯消去法解线性方程组,消元过程中要求_ ___。

A 、0≠ij a
B 、0)
0(11≠a C 、0)(≠k kk a D 、0)1(≠-k kk a
11. 如果对不超过m 次的多项式，求积公式)()(0
k b
a
n
k k x f A dx x f ⎰
∑=≈精确成立，则该求积
公式具有 次代数精度。

A 、至少m
B 、 m
C 、不足m
D 、多于m 12. 计算积分
2
1
1
dx x
⎰
,用梯形公式计算求得的值为 . A 、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、2.5
13. 割线法是通过曲线上的点))(,()),(,(11k k k k x f x x f x --的直线与 交点的横坐标作为方程0)(=x f 的近似根。

A 、y 轴
B 、x 轴
C 、x y =
D 、)(x y ϕ=
14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是 。

A 、 2次 B 、3次 C 、4次 D 、5次
二、计 算（共58分)
1. 将方程3210x x --=写成以下两种不同的等价形式：
①2
1
1x x =+
；②x =试在区间[1.40,1。

55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。

（8分）
2. 设方程f （x ）=0在区间[0，1]上有惟一实根,如果用二分法求该方程的近似根，试分析
至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。

（8分）
3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分
1
204
1dx x +⎰的近似值,要求总共选取9
个节点。

（10分）
4. 用列主元高斯消去法解下列方程组:
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20111.0310********x x x （8分）
5. 给定线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++)3(,
2053)2(,18252)1(,1432321
321321x x x x x x x x x
写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。

（8分)
6. 已知函数y =f （x )的观察数据为
n
7.
⎪⎩
⎪⎨⎧=-
=1)0(2y y x y dx
dy
在区间［0， 0。

8]上，取h = 0。

1,用改进欧拉法求解初值问题.要求计算过程至少保留小数点后4位数字。

（8分）
《计算方法》答 案
一、选 择
1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 B 位有效数字. A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
2. 取7
3.13≈(三位有效数字），则
≤-73.13 B 。

A 、30.510-⨯
B 、20.510-⨯
C 、10.510-⨯
D 、0。

5 3. 下面_ D _不是数值计算应注意的问题。

A 、注意简化计算步骤,减少运算次数
B 、要避免相近两数相减
C 、要防止大数吃掉小数
D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)
0(x 及常向量g ，迭代过程g x B x
k k
+=+)()
1(收敛的充分必要条件是
_C_。

A 、11<
B B 、1<∞
B
C 、1)(<B ρ
D 、21B <
5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k 步，选列主元)
1(-k rk
a ,使得)
1(-k rk a ＝ B .
A 、 )
1(1max -≤≤k ik
n
i a B 、 )
1(max -≤≤k ik
n
i k a C 、 )
1(max -≤≤k kj
n
j k a D 、 )
1(1max -≤≤k kj
n
j a
6. 设ƒ（x)= 5x 3－3x 2＋x ＋6，取x 1=0，x 2=0.3，x 3=0.6，x 4=0.8,在这些点上关于ƒ（x ）的插值
多项式为3()P x ，则ƒ（0.9）-3(0.9)P =_____A_____。

A 、0 B 、0。

001 C 、0.002 D 、0.003
7. 用简单迭代法求方程f (x ）=0的实根,把方程f (x ）=0转化为x =ϕ(x ），则f （x )=0的根是： B 。

A 、y =x 与y =ϕ（x ）的交点
B 、 y =x 与y =ϕ（x ）交点的横坐标
C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标
D 、 y =ϕ（x )与x 轴交点的横坐标 8. 已知x 0＝2,f （x 0)=46，x 1＝4，f （x 1）=88，则一阶差商f ［x 0， x 1］为 C 。

A 、7 B 、20 C 、21 D 、42
9. 已知等距节点的插值型求积公式
()()46
3
k
k
k f x dx A f x =≈∑⎰,那么4
k
k A
==∑__C___。

A 、0
B 、2
C 、3
D 、9
10. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求__C__。

A 、0≠ij a
B 、0)
0(11≠a C 、0)(≠k kk a D 、0)1(≠-k kk a
11. 如果对不超过m 次的多项式,求积公式)()(0
k b
a
n
k k x f A dx x f ⎰
∑=≈精确成立，则该求积公
式具有 A 次代数精度。

A 、至少m
B 、 m
C 、不足m
D 、多于m 12. 计算积分
2
1
1
dx x
⎰
，用梯形公式计算求得的值为 A 。

A 、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、2.5
13. 割线法是通过曲线上的点))(,()),(,(11k k k k x f x x f x --的直线与 B 交点的横坐标作为方程0)(=x f 的近似根。

A 、y 轴
B 、x 轴
C 、x y =
D 、)(x y ϕ=
14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是_B___。

A 、 2次 B 、3次 C 、4次 D 、5次 二、计 算
1. 将方程3210x x --=写成以下两种不同的等价形式：
①2
1
1x x =+
;②x =试在区间[1。

40,1。

55］上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。

(8分） 解: ①令121()1x x ϕ=+
，则'13
2()x x
ϕ=-，173.0|)40.1(||)(|'
1'1<≈≤ϕϕx ；
又]55.1,40.1[]51.1,42.1[)]40.1(),55.1([)(⊂≈∈ϕϕϕx ,故由定理2.1知，对任意]55.1,40.1[0∈x ，迭代格式收敛；
②令11)(2-=
x x ϕ，则3'
2)
1(21)(--
=x x ϕ,123.1|)55.1(||)(|'2'2>≈>ϕϕx ，故由定理2。

2知,对任意]55.1,40.1[0∈x ，且*0x x ≠，迭代格式发散。

2. 设方程f (x ）=0在区间［0，1]上有惟一实根,如果用二分法求该方程的近似根,试分析至
少需要二分几次才能使绝对误差限为0。

001。

(8分） 解:设方程的精确解为x *，任取近似根x ],[n n b a ∈(有根区间)⊂[0，1],
则
001.0212
1
≤=
-≤
-+*n n
n a b x x
97.812
ln 001
.0ln ,001.0121≈--≥∴≥
+n n 所以至少要二分9次，才能保证近似根的绝对误差限是0。

001．
3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分1
2
041dx x +⎰的近似值，
要求总共选取9个节点。

（10分）
解：要选取9个节点应用复化梯形公式，则需将积分区间［0， 1]作8等分,即
8n =, 10
0.1258
h -=
=，0.125i x a ih h =+=（08i ≤≤） 设()241f x x =
+,则积分1204
1dx x
+⎰的复化梯形公式为: 1
1
02
017
0814()2()()120.125()2()()2n i n i i i h dx f x f x f x x f x f x f x -==⎡⎤
≈++⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤=++⎢⎥
⎣⎦
∑⎰∑
若选取9个节点应用复化辛卜生公式，则
4n =，110
0.254
h -=
=，110.25i x a ih h =+=(04i ≤≤） 积分
1
204
1dx x +⎰的复化辛卜生公式为：
11
1
101200123
3
010124
()4()2()()160.25()4()2()()6n n k n k k k k n k k k h dx f x f x f x f x x f x f x f x f x --+==+==⎡⎤≈+++⎢⎥+⎣⎦⎡
⎤=
+++⎢⎥⎣⎦
∑∑⎰∑∑
将所用到的i x 与相应的()i f x ，以及()i f x 的梯形加权系数i T 、()i f x 的辛卜生加权系数i S 全部列于下表,得:
那么由复化梯形公式求得
7
1
082
0140.125()2()()123.138989
i i dx f x f x f x x =⎡⎤
≈++⎢⎥+⎣⎦=∑⎰ 由复化辛卜生公式求得
33
1
012001240.25()4()2()()163.141593
k n k k k dx f x f x f x f x x +==⎡
⎤≈+++⎢⎥+⎣⎦=∑∑⎰
4. 用列主元高斯消去法解下列方程组：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20111.0310********x x x (8分）
解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211.03010451321 ⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--255.2112.101045 ⇒⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---96.14.1255.201045
再用“回代过程”可计算解：
2
.15/)]4.1(1024[2
)5.2/()]4.1(52[4
.1)4.1/(96.1123=-⨯-⨯-==--⨯+=-=-=x x x
5. 给定线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++)3(,
2053)2(,18252)1(,
1432321
321321x x x x x x x x x
写出雅可比迭代公式与高斯—赛德尔迭代公式。

(8分) 解：写出用雅可比迭代法解该方程组的迭代公式为
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧--=--=--=+++)
3(),320(51)2(),2218(51)1(,3214)(2)(1)1(3)
(3)(1)1(2
)
(3)(2)
1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
用高斯-赛德尔迭代法解该方程组的迭代公式。

⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧--=--=--=++++++)3(),320(51)2(),2218(51)1(,3214)1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)
(3)(2)
1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
6. 已知函数y =f （x ）的观察数据为
试构造三次拉格朗日插值多项式P n (x ）(8分)
解：先构造基函数 84
5-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=0))(())()(())(()(x x x x x x x l 40
5-4-2+=5-04-02--05-4-2+=1))()(())())((())()(()(x x x x x x x l 24
5-2+-=5-40-42+45-2+=2))(())()(()()()(x x x x x x x l 35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=--+-+=
x x x x x x x l 所求三次多项式为 P 3(x ）=∑=n k k k x l
y 0)(
＝84
5-4-⨯5-))((x x x ＋405-4-2+))()((x x x －245-2+⨯3-))(()(x x x ＋35
4-2+)()(x x x 7.
⎪⎩⎪⎨⎧=-=1)0(2y y x y dx
dy 在区间［0, 0。

8]上，取h = 0。

1，用改进欧拉法求解初值问题。

要求计算过程至少保留小数点后4位数字。

(8分）
解:用改进欧拉法计算公式如下：
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=+n n n n n y x y h y y 2)0(1
[]1.0,1222),(),(20)0(11)0(1)0(111==⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++
=++++++h y y x y y x y h y y x f y x f h y y n n n n n n n n n n n n n 计算结果如下表：
x n 改进欧拉法y n 0 1 0。

1 1。

095909 0.2 1。

184097 0。

3 1。

266201 0。

4 1.343360 0。

5 1.416402 0。

6 1.485956 0.7 1.552514 0.8 1。

616475。