5讲例题-2.4初等变换-2.5秩

12
n(n −1) n−2 2 n = λ E + nλ B + λ B +L+ B 2！
n−1
A = λ E + nλ
n n
n −1
n(n − 1) n − 2 n n −1 λ λ nλ 2！ n n −1 = nλ λ n λ 3 2 λ 2 , A3 = A = λ 3λ 3 λ2 λ
2.3.2 可逆的条件 伴随矩阵: 为 伴随矩阵 A为n 阶方阵
a12 a22 M an 2 0 | A| M 0
L a1n A11 A21 L An1 A L a2 n 12 A22 L An 2 M M M M L ann A1n A2 n L Ann L 0 L 0 =| A | E M L | A |
24
定义 矩阵的三种初等行变换和三种初等 矩阵的三种初等行 变换统称为矩阵的初等变换 初等变换. 列变换统称为矩阵的初等变换. •初等变换可逆. 初等变换可逆. •第三种初等变换保持行列式值不变. 第三种初等变换保持行列式值不变. •初等变换保持矩阵可逆性不变. 初等变换保持矩阵可逆性不变. 如果矩阵A 经过初等变换变为B 问 如果矩阵A 经过初等变换变为B , 题 那么A 与B 之间究竟有何种关系? 那么A 之间究竟有何种关系?
2 1 2 1 2 1 −2 9 2 −2 1 1 7 /3 2 /9 X =A-1B = 7 /9 -5 /3 还可以用初等变换求解 2 8 /9 1 /3
9
已知A为 阶方阵,满足矩阵方程 例3 已知 为 n 阶方阵,满足矩阵方程
21
2.4
矩阵的初等变换
本节内容提要
矩阵的初等变换 矩阵的等价 矩阵的等价标准形
22
问题的引入 解线性方程组的过程中经常用到: 解线性方程组的过程中经常用到: 1.互换两个方程的位置 1.互换两个方程的位置. 互换两个方程的位置. 2.用一个非零常数乘某个方程 2.用一个非零常数乘某个方程. 用一个非零常数乘某个方程. 3.把一个方程的倍数加到另一个方程上去 3.把一个方程的倍数加到另一个方程上去. 把一个方程的倍数加到另一个方程上去. 这三种变换不改变方程组的解, 这三种变换不改变方程组的解,且对 应与矩阵的三种变换. 应与矩阵的三种变换.
1. A 可逆
｜A｜≠0
1 * -1= A 2. A 可逆时, A 可逆时, A
⇒ 若A可逆,则 AA−1 = E 可逆, 证
AA
−1
= A A
−1
= E =1
5
从而 |A|≠ 0.必要性得证. A|≠ 必要性得证.
⇐ 若 |A| ≠ 0, 则由
AA = A Α =| A| E 1 * 1 * A( A ) =( A )A = E | A| | A| 1 −1 * A 故矩阵A可逆 可逆, 故矩阵 可逆,且 A = | A|
* *
1 A 在|A| ≠ 0时, A* 也可逆 (A*) = 时 A
−1
6
｜A｜= 0 时, 称 A 为奇异阵 ｜ ｜A｜≠0 时, 称 A 为非奇异阵 ｜
7
利用伴随矩阵求逆矩阵
例1 讨论并求 2 阶矩阵的逆矩阵 a b A= c d 解 当 | A |= ad − bc ≠ 0 时A 可逆, 可逆,
这与 A ≠ 0 矛盾. ∴ A = 0 = A 矛盾.
*
n −1
.
18
∴A = A
*
n−1
.
例10 设A、B、C均为n 阶方阵 且ABC=E, 阶方阵, 均 则有( 则有(D ). (A)ACB=E; (B) CBA=E; (C) BAC=E; (D) BCA=E. 分析 矩阵和它的逆矩阵是乘法可交换的. 矩阵和它的逆矩阵是乘法可交换的. 由题设知A,AB,ABC,C,BC 等都是可 由题设知 逆阵. 逆阵. 解 因为 因为ABC=E, 即A(BC)=E, 所以有(BC) A=E, 即BCA=E. 所以有 中各项都没有交换律. 而(A),(B),(C) 中各项都没有交换律.
23
2.4.1 矩阵的初等变换
矩阵的三种初等行变换: 矩阵的三种初等行变换: 换法变换: 换法变换: ri↔rj 倍法变换：λri (λ≠0)→ri 倍法变换： → 消法变换: 消法变换: krj+ri→ri 矩阵的三种初等列变换： 矩阵的三种初等列变换： 换法变换: 换法变换: ci↔cj 倍法变换： 0)→ 倍法变换：λci (λ ≠0)→ci 消法变换： 消法变换：kcj+ci→ci
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例8 设A为3阶方阵, A*为A的伴随矩阵, 的伴随矩阵, 为 阶方阵, * 的伴随矩阵 , 的值为( 且|A|=1/2, 则|(3A)-1-2 A*|的值为( ). 的值为 (A) 16/27 (B)-4/3 (C) 5 (D) -16/27 (B)A A*= A*A =| |E， *= * =|A| ， 解 Q A ≠ 0, ∴ A可逆,且 A*=| | A-1 可逆, *=|A| 可逆 |(3 )-1 -2A*| = |(1/3) A-1 -2| |A-1| |(3A) *| 2|A| = |(1/3) A-1-A-1| =|(=|(-2/3) A-1| =(-2/3) 3|A-1| =(=(-8/27)× ==(-8/27)×2 =-16/27.
3 0 例1 A = 0 0
1 0 2 1 5 1 3 2 4 4 0 0 0 7 6 0 0 0 0 0
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行最简形
定义 如果阶梯形矩阵 满足 如果阶梯形矩阵A满足 满足: (1) 非零行左起第一个非零元素都是 非零行左起第一个非零元素都是1, (2) 非零行左起第一个非零元所在列只有一 个非零元. 个非零元 则称矩阵A为行最简形矩阵 行最简形矩阵 矩阵.
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2.4.2 矩阵的等价 初 B，则称 A 与 B 等价. 等价. • 若A → ， • A与B等价 A与B同形且等秩. 同形且 同形 等秩. • 性质: 自反性 A 与 A 等价; 等价; 对称性 若A 与B等价，则B与A等价; 等价， 等价; 等价 等价 传递性 若A与B等价，B 与C等价， 等价， 等价， 等价 等价
3
引理2.1 基本公式) 引理2.1 (基本公式)
A为n阶方阵 阶方阵
A A﹡= A﹡A =｜A｜E ｜
｜A｜≠０ ｜ ０
1 A( A﹡)=( A
−1
1 A﹡)A =E A
1 1 −1 A*= A A , A = A*, (A*) = A A A
−1
4
定理 2.2 阶方阵, 设 A 为数域 F 上 n 阶方阵,则
A + A − 2E = 0 证明A 都可逆,并求逆矩阵. 证明 和A-2E 都可逆,并求逆矩阵. A+ E A+ E −1 证 A = E, A = 2 2 2 A − 2E = − A 2 −1 2 −1 −1 2 −1 ( A − 2 E ) = ( − A ) = −( A ) = −( A ) 2 A + 3E (A + E) =− = − 4 4
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例9 设A是n 阶方阵，A 为A 的伴随矩阵 的伴随矩阵, 是 阶方阵，
*
A = A . 试证: 试证 n ∗ ∗ ∗ 证 由 AA = A A = A E , 有 A A = A
* n−1
下面分三种情况讨论: 下面分三种情况讨论 (1)若 A ≠ 0, 则 A = A 若
* n−1
.
*
(2)若 A = 0 且 A = 0, 则 A = 0, 若 显然结论成立: 显然结论成立
A − ABA = −2 E A( A − B ) A = −2 E
3
A A − B A = −2 E = (−2) ∴ A − B = −2
3
14
1 例7 设A是三阶方阵，且 A = , 是三阶方阵， 是三阶方阵 16 −1 −1 2 A − (2 A) = ( 54 ). 1 −1 = 16 解 由 A = A 1 −1 −1 −1 −1 2 A − (2 A) = 2A − A 2A 2 3 3 −1 27 × 16 = 54 3 −1 = A =( ) A = 8 2 2
232232jiij11211222222200aa1122adbcadbc2阶矩阵的伴随是主对角线对调副对角线变号阶矩阵的伴随是主对角线对调副对角线变号还可以用初等变换求解还可以用初等变换求解222716543a1162716271122a232323233382782716271627
复习:可逆矩阵的性质: 复习:可逆矩阵的性质: A,B可逆 可逆 −1 −1 (1)( A ) = A
−1
k −1
11
λ 1 2 3 n 例5 设 A = λ 1 ,计算 A , A , A (n > 3), λ 0 1 0 解 设 A = λ E + B, B = 0 1 0 n n
则 A = (λ E + B )
n
0 0 1 2 0 0 , B 3 = B 4 = L = B n = 0(n ≥ 3) B = 0
(2)( AB) = B A 1 −1 −1 (3) λ A) = A ，λ ≠ 0 （
(4)( A )
T −1
−1
−1
−1
(5) | A |=| A|
m −1
−1
= (A )
−1
−1 m
λ
−1 T
(6)( A ) = ( A ) , m ∈ N
1
a11 a * AA = 21 M an1 | A | 0 = M 0
2
A A21 L An1 11 A A L A 22 n2 T 12 称 A* = = ( Aji ) = ( Aij ) M M M 1 A n A2n L Ann
为矩阵A的伴随矩阵. 为矩阵 的伴随矩阵. A* 是用方阵A的元素的代数余子式 是用方阵A 组成的矩阵. A i j 组成的矩阵.
2
10
例4 已知 A为方阵且 A = 0, k ∈ N 为方阵且 −1 k −1 证明 ( E − A) = E + A + L + A .
k
证 因为 k −1 k ( E − A)( E + A + L + A ) = E − A = E 可逆， 所以 E − A 可逆，而且
( E − A) = E + A + L + A
则A与C等价. 等价. 等价
26
2.4.3 矩阵的等价标准形
行阶梯形
定义 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯 矩阵或阶梯形矩阵: 阶梯形矩阵 形矩阵或阶梯形矩阵 (1) 零行全部位于非零行下方 零行全部位于非零行下方, (2) 非零行的左起第一个非零元素的 列数由上至下严格递增. 列数由上至下严格递增.
13
n(n − 1) n − 2 2 B+ λ B 2！
例6 设A, B是三阶方阵， A = −2, 是三阶方阵， 是三阶方阵 3 （ A − ABA + 2 E = 0. 则 A − B = ）. 1 1 ( A)2; ( B) − 2; (C ) ; ( D) − . 2 2 3 解 由 A − ABA + 2 E = 0
A = A
*
n−1
= 0.
17
(3)若 A = 0, 而 A ≠ 0, 下面证明 若
A = A
*
*
n−1
= 0.
*
反证:若 反证 若 A ≠ 0, 则
* −1
∗ ∗ −1
可逆, A 可逆,
∗
∗ −1
∗ −1
所以 ∃( A ) , Q AA = A E
A = AA ( A ) = A ( A ) = 0( A ) = 0
1 A = ad −bc
−1
d −b −c a
8
例2 求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵 X, , 其中
1 A = 2 2 2 1 −2 2 3 8 −2 , B = −5 9 2 1 15
解 A = −27 ≠ 0, 1 −1 * A = A = A
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总结关于方阵 A :
A 可逆⇔ |A| ≠ 0 可逆⇔
AA*=A*A=|A| E =|A|
1 * A 求逆公式: 求逆公式: A = A
−1
1 A 在|A| ≠ 0时, (A*) = 时 A
−1
20
这个求逆方法用起来真不方便! 这个求逆方法用起来真不方便! 有好用点的吗? 有好用点的吗? 有,不过说来话长, 只能下面讲. 不过说来话长, 只能下面讲.