选修2-1教案23-2双曲线的简单几何性质【1】

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3.2双曲线的简单几何性质
第一课时：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率 教学重点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；
掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题.
教学难点：双曲线的渐近线、离心率 教学过程： （一）复习回顾 椭圆的几何性质 （二）新课讲解
1、范围：由双曲线的标准方程得，22
2210y x b a
=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这
说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；
2、对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；
3、顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，双曲线方程为22(0)x y m m -=≠.
4、渐近线：直线b
y x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；
思考：渐近线方程为b
y x a
=±的双曲线方程一定是22221x y a b -=吗？
渐近线方程为b
y x a
=±⇔双曲线方程为()22220x y a b λλ-=≠.
5、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a
c
e =
叫做双曲线的离心率（1e >）． 注：①已知双曲线22221x y a b
-=，则其离心率e 与渐近线斜率b a ±的直接关系：22
21b e a =+（双
曲线的焦点在x 轴上），则e 越大，双曲线的张口越大.
总结：
例1.求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a
y x b
=±
． 例2.若双曲线的渐近线方程为4
3
y x =±，则双曲线的离心率为 .若双曲线的离心
率为2，则其两条渐近线的夹角为 .
例3求与双曲线22
1169
x y -=共渐近线，且经过()
3A -点的双曲线的标准方及离心率． 解法剖析：双曲线
221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的
双曲线为2222
1169x y k k -=，∵()
3A -点在双曲线上，∴214
k =-，无解；②焦点在y
轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵()
3A -点在双曲线上，∴2
14
k =，
因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22
,0169
x y m m R m -=∈≠． 例4. 求与双曲线
22
1164
x y -=
有公共焦点，且过点2)的双曲线方程. 解:
方法一：设双曲线方程为22221x y a b -=(a >0,b >0)
，则2
2
222021a b b
⎧+==解之得22128a b ⎧=⎪
⎨=⎪⎩ ∴双曲线方程为
22
1128
x y -= 方法二：设双曲线的方程为216x λ-－2
4y λ+=1（416λ-<<），代入点（32，2），可
得：4λ=，故所求双曲线方程为
22
1128
x y -=.。