2017_18学年高中数学课时跟踪检测十三向量的概念

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高中数学学业分层测评13向量的概念(含解析)新人教B版必修4(2021学年)

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学业分层测评(十三）向量的概念(建议用时：４5分钟)[学业达标]一、选择题１。

下列说法正确的个数是( )(1）温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2）零向量没有方向;(3)非零向量的单位向量是唯一的。

A。

0 ﻩＢ.1C。

2 D.３【解析】 (１）中温度和功不是向量;（2)零向量的方向不确定，而不是没有方向,所以(１）(2）错误。

【答案】Ｂ2。

下列结论正确的是( )A．向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C。

有向线段错误!和错误!是同一向量Ｄ。

有向线段错误!和错误!的大小相等【解析】向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示,所以选项A错误;向量为自由向量,只要大小相等，方向相同就为同一个向量,而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的,选项Ｂ错误;有向线段错误!和错误!的方向相反，大小相等，不为同一向量,所以选项C错误,D正确。

【答案】 D3。

给出下列四个命题:①若|a|=0,则a＝0；②若|a｜=｜b|,则a＝ｂ或a＝－b;③若a∥ｂ,则|a|＝｜ｂ|；④若ａ=０,则－a＝0。

其中正确的命题有（）Ａ.1个ﻩ B.2个C.3个ﻩD.4个【解析】对于①，前一个零是实数,后一个应是向量０。

2017-2018学年高中数学人教A版必修3：课时跟踪检测(二) 程序框图、顺序结构

课时跟踪检测（二）程序框图、顺序结构[层级一学业水平达标]1．下列关于程序框图的说法正确的是()A．一个程序框图包括表示相应操作的框、带箭头的流程线和必要的文字说明B．输入、输出框只能各有一个C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观D．在程序框图中，必须包含判断框解析：选A输入、输出框可以放在算法中任何需要输入、输出的位置，所以不一定各有一个，因此B选项是错误的；相对于自然语言，用程序框图描述算法的优点主要就是直观、形象，容易理解，在步骤表达上简单了许多，所以C选项是错误的；显然D选项是错误．2．在顺序结构中，一定不含有的程序框是()A．终端框B．输入、输出框C．处理框D．判断框解析：选D顺序结构中没有判断框．3．阅读程序框图：若输出结果为15，则①处的执行框内应填的是________．解析：先确定①处的执行框是给x赋值，然后倒着推，b＝15时，2a－3＝15，a＝9，当a＝9时，2x＋1＝9，x＝3.答案：x＝34．根据所给的程序框图，如图所示，输出的结果是________．解析：由X ＝Y ，得X ＝2；由Y ＝X ，得Y ＝2；由Z ＝Y ，得Z ＝2. 答案：2[层级二应试能力达标]1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构和循环结构，下列说法正确的是( ) A ．一个算法只含有一种逻辑结构 B ．一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C ．一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D ．一个算法可以同时含有上述三种逻辑结构解析：选D 一个算法中含有哪种逻辑结构，主要看解决什么样的问题及解决问题的方法，顺序结构、条件结构和循环结构这三种逻辑结构在一个算法中可以同时出现．2．如图所示的程序框图，已知a 1＝3，输出的结果为7，则a 2的值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为输出的结果为7，所以b ＝7，又b ＝b2，所以原b ＝14，即a 1＋a 2＝14.又a 1＝3，所以a 2＝11.3．下列是流程图中的一部分，表示恰当的是( )解析：选A B 选项应该用处理框而非输入、输出框，C 选项应该用输入、输出框而不是处理框，D 选项应该在出口处标明“是”和“否”．4．阅读如图所示的程序框图，若输入x ＝3，则输出y 的值为( )A ．33B ．34C ．40D ．45解析：选B x ＝3，a ＝2×32－1＝17，b ＝a －15＝2，y ＝ab ＝17×2＝34，则输出y 的值为34.5．如图的程序框图表示的算法的运行结果是________．解析：p ＝9，∴S ＝9(9－5)(9－6)(9－7)＝6 6. 答案：6 66．已知点P (x 0，y 0)，直线l ：x ＋2y －3＝0，求点P 到直线l 的距离的一个算法程序框图如图所示，则在①处应填________．解析：应填上点到直线的距离公式．答案：d ＝|x 0＋2y 0－3|57．如图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填______________________．解析：根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框.答案：8．利用梯形的面积公式计算上底为4，下底为6，面积为15的梯形的高．请设计出该问题的算法及程序框图．解：根据梯形的面积公式S＝12(a＋b)h，得h＝2Sa＋b，其中a是上底，b是下底，h是高，S是面积，只要令a＝4，b＝6，S＝15，代入公式即可．算法如下：第一步，输入梯形的两底a，b与面积S的值．第二步，计算h＝2Sa＋b.第三步，输出h.该算法的程序框图如图所示：9．如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面问题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x.则f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)最大值＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.。

高中数学课时跟踪检测(十三)独立重复试验与二项分布新人教A版高二选修2-3数学试题

课时跟踪检测十三一、题组对点训练对点练一 n 次独立重复试验1．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析：选B 当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P (ξ＝12)＝C 911·⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582.2．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下并放回，如果两球的之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.4625C.624625D.96625解析：选D 依题意得获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸出的两个球中有标号为4的球时，两球的之积是4的倍数，有5种情况；当摸出的两个球中没有标号为4的球时，要使两球的之积是4的倍数，只有1种情况，即摸出的两个球的标号为2,6)，因此所求概率为C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝96625.故选D. 3．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为35，若40分为最低分数线，则该学生被选中的概率是( )A ．C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25B ．C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355C ．C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25＋C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355D ．1－C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫353×⎝ ⎛⎭⎪⎫252解析：选C 该学生被选中包括“该学生做对4道题”和“该学生做对5道题”两种情形．故所求概率为C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25＋C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355.4．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4.现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由已知可求通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2，3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12.三次取数相当于三次独立重复试验．∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝625. 答案：625对点练二二项分布5．下列随机变量X 不服从二项分布的是( )A ．投掷一枚均匀的骰子5次，X 表示点数为6出现的次数B ．某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C ．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数D ．某星期内，每次下载某数据被病毒感染的概率为0.3，X 表示下载n 次数据电脑被病毒感染的次数解析：选B 选项A ，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X 服从二项分布；选项B ，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X 不服从二项分布；选项C ，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X 服从二项分布；选项D ，由二项分布的定义，可知被感染次数X ～B (n,0.3)．6．将一枚硬币连掷7次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 由题意，知C k 7⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫127－k ＝C k ＋17⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127－k －1，∴C k 7＝C k ＋17，∴k ＋(k ＋1)＝7，∴k ＝3.7．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．解：由题意ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则 P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125. 所以随机变量ξ的分布列为对点练三二项分布的应用8．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值X 围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)解析：选A 由题意，知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，所以0.4≤p <1，故选A.9．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：选B 因为随机变量ξ～B (2，p ) ，所以P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13.则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133·⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝1127.故选B. 10.如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一名儿童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a ，b )(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X ，求X 的分布列．解：(1)某个家庭在游戏中获奖记为事件A ，则符合获奖条件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)，共3种情况，∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13.∴某个家庭获奖的概率为13.(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．∴X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13. ∴P (X ＝0)＝C 05×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243，P (X ＝1)＝C 15×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243， P (X ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243， P (X ＝3)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243， P (X ＝4)＝C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243， P (X ＝5)＝C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫135×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1243. ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P32243802438024340243102431243二、综合过关训练1．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n解析：选D 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p )n ，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n.2．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，则X ＝3的概率为( )A.6581B.2527 C.827D.79解析：选C 已知a 1＝1，要使X ＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，∴P (X ＝3)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. 3．已知某班有6个值日小组，每个值日小组中有6名同学，并且每个小组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽出的6人中至少有1名男生的概率为728729，则该班的男生人数为( )A ．24B ．18C ．12D ．6解析：选A 设每个小组抽一名同学为男生的概率为p ，则由已知得1－(1－p )6＝728729，即(1－p )6＝1729，解得p ＝23，所以每个小组有6×23＝4名男生，该班共有4×6＝24名男生．4．箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为( )A.35×14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫493×59解析：选B 取球次数X 是一个随机变量，X ＝4表明前3次取出的球都是黄球，第4次取出白球．这4次取球，取得黄球的概率相等，且每次取球是相互独立的，所以这是独立重复试验．设A 表示“取出的1个球是白球”，则P (A )＝C 14C 19＝49，P (A －)＝1－49＝59，故P (X ＝4)＝P (A －A －A －A )＝[P (A －)]3·P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.5．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49.答案：496．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫20，13，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫20，23，那么当X ，Y 变化时，下面关于P (X ＝x k )＝P (Y ＝y k )成立的(x k ，y k )的个数为________．解析：根据二项分布的特点可知，(x k ，y k )分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21个．答案：217．某居民小区有两个相互独立的安全防X 系统(简称系统)A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1101⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102⎝ ⎛⎭⎪⎫1101＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝7291 000，所以随机变量ξ的概率分布列为8.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是3和4.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解：设A ＝{甲射击一次击中目标}，B ＝{乙射击一次击中目标}，则A ，B 相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝34.(1)设C ＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}，则P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581.(2)设D ＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，∴P (D )＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫343·14＝18.(3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4,5次未击中目标，第3次击中目标，第1,2两次至多一次未击中目标，故所求概率P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝16243.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测十七平面向量基本定理含答案精品

课时跟踪检测（十七）平面向量基本定理层级一学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC 所在直线上一点，且BP ＝t BA ＋(t －1)BC ，则t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B BP ，BA ，BC 共始点，且P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④―OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而BD ＝DC ，即AD －AB ＝AC －AD ，从而AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a＋b )．4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC ＝e 1，DC ＝e 2，所以OC ＝12(BC ＋DC )＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC33C ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC解析：选A 由题意得AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13AC －13AB ＝－13AB ＋43AC .6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．解：NP ＝AP －AN3333MN ＝CN －CM ＝－13AC －23CB ＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM ＝－MP ＝－(MN ＋NP )＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABC 的三条中线，令AB ＝a ，AC ＝b .则有BC ＝b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23，则有AD ＝AB ＋BD ＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．BE ＝AE －AB ＝12b －a .∴BG ＝AG －AB ＝23AD －AB＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ＝23⎝⎛⎭⎫12b －a ＝23BE . ∴G 在BE 上，同理可证CG ＝23CF ，即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：选C ∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC .∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋23BC ＝AB ＋23(AC －AB )＝13AB ＋23AC ＝13a ＋23b .2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM ＝x AB ＋y AC .(x ＋y ＝1) ∵N 为AM 的中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC .∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ) OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . 答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE ＝λBA ＋μBD (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：因为BE ＝BO ＋OE ＝12BD ＋EB ＝12BD ＋EB ＋BA ，所以BE ＝12BA ＋14BD ，所以λ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34.答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM ＝34AB ＋14AC .(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ＝x BM ＋y BN ，求x ，y 的值．解：(1)如图，由AM ＝34AB ＋14AC 可知M ，B ，C 三点共线，令BM ＝λBC ⇒AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ) AB ＋λAC ⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO ＝x BM ＋y BN ⇒BO ＝x BM ＋y 2BA ，BO ＝x4BC ＋y BN ，由O ，M ，A三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.。

2017-2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何章末综合测评新人教B版选修2-1

(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32 B ．22C. 3D ．3 2【解析】两平面间的距离d ＝|OA →·n ||n |＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)， ∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．【答案】 B4．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( )【导学号：15460084】A.16 B ．56 C.76D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－A 1A →＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →， ∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→B ．AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D ．AC 1→·A 1C →＝0【解析】如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B7．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】设BC 的中点为D ，则D (2,1,4)， ∴AD →＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝－2＋－2＋22＝3，即BC 边上的中线长为3.【答案】 B8．若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－11D ．3或－11【解析】因为a·b ＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x 2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A. 【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63 B ．255C.155D ．105【解析】以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105. 【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23 B ．33 C.23D ．13【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC→|n ||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12【解析】由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A BD P的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD →＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，x ，y ，z－3，4，＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32，∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【导学号：15460085】【解析】由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 2，C (－1,0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2cos∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1,0,0)，AB →＝(0,0,1)，AQ →＝(0,1,0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC →＝(0，－2,1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ . 18. (本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】因为BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA → ＝BB 1→·BC →＝0，所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA → ＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝3，所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. 19.(本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面PAC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A 的余弦值．【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC . 又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面PAC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3. 又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)．故CB →＝(3，0,0)，CP →＝(0,1,1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)．因为AP →＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1, 3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64. 由图知二面角C PB A 为锐角，故二面角C PB A 的余弦值为64.20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面PAC ；(2)若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为55，求二面角A PC D 的余弦值．【解】 (1)证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥PA ， ∴PA ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0,2,0)，E (2,1,0)，C (2,4,0)，P (0,0，λ)， ∴AC →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，λ)，DE →＝(2，－1,0)， ∴DE →·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP →＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面PAC .(2)由(1)知，平面PAC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2,1，－λ)，设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0,0,2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2,2,0)，DP →＝(0，－2,2)，由n ⊥DC →，n ⊥DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A PC D 的平面角是锐角， ∴二面角A PC D 的余弦值为155. 21.(本小题满分12分)如图7，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面PAD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E BD C 的余弦值．【解】设AB ＝a ，PA ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ，即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b 22＝0，则b ＝2a . ①PD →＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a 222a ·5a ＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ②在平面BDE 和平面BDC 中，BE →＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a,0)，BC →＝(a,2a,0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E BD C 的余弦值为66. 22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，BC 1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)．(1)当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC 1→＝(－2,0,2)．所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角，则m·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．。

高中数学-余弦定理、正弦定理应用举例跟踪测试卷及答案

课时跟踪检测（十三）余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)，这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)．答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)．层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°，则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256，在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24，所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300，故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)，于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30，所以v 的取值范围是(153，30)．。

2017_2018学年高中数学课时跟踪检测十四均值不等式新人教B版必修5

A．a2＋b2≥2|ab|B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|D．a2＋b2>2|ab|
解析：选A∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
2．已知实数a，b，c知足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，那么＋＋的值( )
∴ ＋ ≥1＋，
故＋的最小值为1＋ .
10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋ ≥6.
证明：因为a>0，b>0，c>0，
因此＋ ≥2，＋ ≥2，＋ ≥2，
因此＋＋ ≥6，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
因此＋＋ ≥6.
层级二应试能力达标
1．a，b∈R，那么a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
答案：
8．假设对任意x>0， ≤a恒成立，那么a的取值范围是________．
解析：因为x>0，因此x＋ ≥2.当且仅当x＝1时取等号，
因此有＝ ≤ ＝，
即的最大值为，故a≥ .
答案：
9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：∵x>0，y>0，
∴不等式 x＋ky≥ 恒成立等价于＋k ≥ 恒成立．又k> ，
∴ ＋k ≥2 ，
∴2 ≥ ，解得k≤－ (舍去)或k≥ ，
∴kmin＝ .
解：(1)∵x<3，
∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，

2017-2018学年高中数学北师大必修1：课时跟踪检测十九

课时跟踪检测（十九）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较层级一学业水平达标1．有一组试验数据如下表所示：A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)解析：选C通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D 中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ex答案：D3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.4．某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如下表：①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－1；④y＝x2－x＋1.A．①②B．③④C．②③D．②④答案：B5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)解析：选B画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g (x )＞f (x )＞h (x )．6．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x ，________，________.解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律．答案：y 3 y 2 y 17．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件．答案：1.758.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．解析：由t ∈[0,3]的图像，联想到幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t ∈[3,8]的图像可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产．答案：②③9．假设我国国民经济的年平均增长率为9%，试问经过几年可以使国民经济翻一番？(lg 2≈0.301 0，lg 1.09≈0.037 4)解：设经过x 年后可以翻一番，则有(1＋0.09)x ＝2，即1.09x ＝2.x ＝lg 2lg 1.09≈0.301 00.037 4≈8.所以经过8年可以翻一番． 10．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当0<x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．层级二应试能力达标1．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：选A 把t ＝1,2,3代入验证易得结果．2．四人赛跑，假设他们走过的路f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x ＞1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，故选D.3．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )<g (x )<f (x )B ．h (x )<f (x )<g (x )C ．g (x )<h (x )<f (x )D ．f (x )<g (x )<h (x )解析：选D 取特殊值x ＝12代入可排除A 、B 、C.4．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈Z)的图像在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是( )A ．p ≥0B ．0<p <1C ．p <1且p ≠0D ．p >1解析：选C 当p <0时，f (x )＝x p ＝⎝⎛⎭⎫1x －p，在(0,1)上单调递减，∴y >f (1)＝1在直线y ＝x 上面，故只有C 正确．5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2006年以150万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年增长率不变，那么到2016年，这所房子的价格y (万元)与价格年增长率x 之间的函数关系式是______．解析：1年后，y ＝150(1＋x )；2年后，y ＝150(1＋x )2；3年后，y ＝150(1＋x )3，…，10年后，y ＝150(1＋x )10.答案：y ＝150(1＋x )106．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)解析：设距现在为x 年，则有⎝⎛⎭⎫12x 5 730＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7 400. 答案：7 4007．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1 h 后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2 h 后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3 h 后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4 h 后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100. 可见，细胞总数y 与时间x (h)之间的函数关系为 y ＝100×⎝⎛⎭⎫32x ，x ∈N ＋.由100×⎝⎛⎭⎫32x >1010，得⎝⎛⎭⎫32x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46 h ，细胞总数超过1010个．8．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2＋b 1x ＋6，g (x )＝a 23x ＋b 2(a 1，a 2，b 1，b 2∈R)．(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解：(1)依题意：由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝6，f (2)＝14，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝0，4a 1＋2b 1＝8.解得a 1＝4，b 1＝－4，∴f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，有⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8.解得a 2＝13，b 2＝5，∴g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5，所以甲在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2)作函数图像如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )；当1<x <5时，有f (x )>g (x )；当5<x ≤12时，有f (x )<g (x )．。

2017-2018学年高中数学必修3：课时跟踪检测一算法的

课时跟踪检测（一）算法的含义[层级一学业水平达标]1．有关算法的描述有下列几种说法：①对一类问题都有效；②对个别问题有效；③可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．其中描述正确的为________．解析：算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，所以①正确，②错误．由于算法必须是明确的，有效的，而且在有限步内完成，故③④正确．答案：①③④2．某人坐飞机去外地办一件急事，下面是他自己从家里出发到坐在机舱内的主要算法，请补充完整．第一步，乘车去飞机场售票处；第二步，____________________________；第三步，凭票登机对号入座．答案：在售票处购买飞机票3．已知算法：第一步，输入n .第二步，判断n 是否是2，若n ＝2，则n 满足条件；若n >2，则执行第三步．第三步，依次检验从2到n －1的整数能不能整除n ，若不能整除n ，满足条件．该算法的功能是________．解析：因为2是质数，且大于2的任何数，只要它不能被2,3，…，n －1整除，则n 一定为质数．故上述步骤是判断n 是否为质数的算法．答案：判断所给的数是否为质数4．写出求长、宽、高分别为3,2,4的长方体表面积的算法：第一步取a ＝3，b ＝2，c ＝4；第二步 ____________________________________________________；第三步输出结果S .答案：计算S ＝2ab ＋2bc ＋2ac5．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－1(x ≤－1)，x 3(x >－1)，试设计一个算法输入x 的值，求对应的函数值．解：算法如下：第一步输入x的值；第二步当x≤－1时，计算y＝－x2－1，否则执行第三步；第三步计算y＝x3；第四步输出y.[层级二应试能力达标]1．已知球的表面积为16π，求球的体积的一个算法如下：第一步取S＝16π；第二步_____________________________________________________；第三步_____________________________________________________. 将其补充完整．答案：计算R＝S4π(由于S＝4πR2)计算V＝43πR32．下面是求2×4×6×8×10的一个算法，请将它补充完整．第一步计算2×4得8；第二步将第一步中的运算结果8与6相乘得48；第三步_________________________________________________________；第四步_________________________________________________________.答案：将第二步中的运算结果48与8相乘得384将第三步中的运算结果384与10相乘得3 8403．求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值的一个算法如下，请将其补充完整：(1)计算m＝4ac－b24a.(2)________________________________________________________________．(3)________________________________________________________________．解析：m是最大值还是最小值由a的正负确定，依据二次函数求最值的方法，确定第二、三步的内容．答案：如果a>0，则得到y min＝m，否则执行第三步得到y max＝m4．有蓝和黑两种墨水瓶，但是现在却错把蓝墨水装在黑墨水瓶中，黑墨水装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，下面是将其互换的一个算法，请将其补充完整．第一步准备一个干净的空瓶；第二步将黑墨水瓶中的蓝墨水倒入空瓶中，并将黑墨水瓶洗干净；第三步_______________________________________________________；第四步_______________________________________________________.答案：将蓝墨水瓶中的黑墨水倒入黑墨水瓶中，并将蓝墨水瓶洗干净将蓝墨水倒入蓝墨水瓶中5．如下算法：第一步输入x 的值；第二步若x ≥0成立，则y ＝2x ，否则执行第三步；第三步 y ＝log 2(－x )；第四步输出y 的值．若输出结果y 的值为4，则输入的x 的值为________．解析：算法执行的功能是给定x ，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4.∴x ＝2或－16.答案：2或－166．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法．第一步输入实数a .第二步 __________________________________________________________. 第三步输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到．答案：若a ＝18，则执行第三步，否则返回第一步7．给出下列算法：第一步输入x 的值．第二步当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步．第三步计算y ＝4－x .第四步输出y .当输入x ＝10时，输出y ＝__________.解析：∵x ＝10＞4，∴计算y ＝x ＋2＝12.答案：128．下面给出一个问题的算法：第一步输入x ；第二步若x ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步输出2x －1；第四步输出x 2－2x ＋3.(1)这个算法解决的问题是______________________________________________．(2)当输入x 值为________时输出的值最小？解析：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题． (2)当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7，当x <4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2.∴当x ＝1时，f (x )min ＝2.即当输入x 的值为1时，输出的值最小．答案：(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值 (2)1 9．写出求a ，b ，c 中最小值的算法．解：算法如下：第一步比较a ，b 的大小，当a >b 时，令“最小值”为b ；否则，令“最小值”为a ；第二步比较第一步中的“最小值”与c 的大小，当“最小值”大于c 时，令“最小值”为c ；否则，“最小值”不变；第三步 “最小值”就是a ，b ，c 中的最小值，输出“最小值”．10．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0，求l 1，l 2，y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．解：算法如下：第一步解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1，l 2的交点P (－2,6)；第二步在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12，从而得到A (0,12)；第三步在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3，得到B (0,3)；第四步求出△ABP 底边AB 的长AB ＝12－3＝9；第五步求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2；第六步代入三角形的面积公式计算S ＝12AB ·h ；第七步输出结果．。

2017-2018学年高中数学必修四课下能力提升十三向量的概念及表示含答案精品

课下能力提升(十三) 向量的概念及表示一、填空题1．关于零向量，下列说法中正确的是________．①零向量是没有方向的②零向量的长度是0 ③零向量与任一向量平行④零向量的方向是任意的2．给出下列五个命题：①两个向量相等就是它们的起点相同，终点相同；②若AB＝DC，则ABCD是平行四边形；③平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；④若m＝n，n＝k，则m＝k.其中不正确的命题是________．(填序号)3．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m ＝________.4．如图，O是正三角形ABC的中心；四边形AOCD和AEBO均为平行四边形，则与向量AD相等的向量有________________；与向量OA共线的向量有______________；与向量OA的模相等的向量有______________．(填图中所画出的向量)5.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{PQ |P，Q∈M，且P，Q不相等}，则集合T有________个元素．二、解答题6.如图，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．(1)图中与向量AB相等的向量有哪些？(2)图中与向量AB共线的向量有哪些？7.右图是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格顶点处的向量中，试问：与向量AB相等的向量共有几个？与向量AB相反的向量共有几个？与向量AB平行且模为2的向量共有几个？与向量AB方向相同且模为32的向量共有几个？8.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中．(1)写出与DA平行的向量；(2)写出与DA的模相等的向量．答案1．解析：零向量的方向是任意的，故①错误．答案：②③④2．解析：两向量相等不一定起点相同，终点相同，故①不正确．②也不正确，因为A，B，C，D可能在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行．③④正确．答案：①②3．解析：∵A，B，C不共线，∴AB与BC不共线．又∵m与AB，BC都共线，∴m＝0.答案：04．解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，∴结合相等向量及共线向量定义可知：与AD相等的向量有OC；与OA共线的向量有DC、EB，与OA的模相等的向量有OB、OC，DC，EB，AD.答案：OC DC，EB DC，EB，OB，OC，AD5．解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为AO (OC)，OA (CO)，DO (OB)，AD (BC)，DA (CB)，AB (DC)，BA (CD)，BO (OD)，AC，CA，BD，DB，由元素的互异性知T中有12个元素．答案：126．解：(1)与向量AB相等的向量有CE，DC；(2)与向量AB共线的向量有DE，DC，CE.7．解：与向量AB相等的向量共有5个(不包括AB自身)；与向量AB相反的向量共有6个；与向量AB平行且模为2的向量共有24个；与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个．8．解：(1)与DA平行的向量有：AD，BC，CB；(2)与DA的模相等的向量有：AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB.。

课时跟踪检测(一) 平面向量的概念——解析版

课时跟踪检测（一）平面向量的概念A 级——学考合格性考试达标练1．下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A ．0B ．1C ．2D ．32．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝±bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．汽车以120 km /h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对4.如图，在矩形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )A.DA ―→和BC ―→B.DC ―→和AB ―→C.DC ―→和BC ―→D.DC ―→和DA ―→ 5．若|AB ―→|＝|AD ―→|且BA ―→ ＝CD ―→，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形6．下列叙述：(1)单位向量都相等；(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；(4)方向不同的两个向量一定不平行．其中正确的有________．(填所有正确的序号)7．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：(1)|a |＞|b |；(2)a ∥b ；(3)|a |＞0；(4)|b |＝±1；(5)若a 0是与a 同向的单位向量，则a 0＝b .其中正确的是________．(填序号)8．已知|AB ―→|＝1，|AC ―→|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC ―→|＝________.9.如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量AB ―→平行且模为2的向量共有几个？与向量AB ―→方向相同且模为32的向量共有几个？10．已知四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→且|AB ―→|＝|AC ―→|，tan D ＝3，判断四边形ABCD的形状．B 级——面向全国卷高考高分练1．已知在平面内点O 固定，且|OA ―→|＝2，则A 点构成的图形是( )A ．一个点B ．一条直线C ．一个圆D ．不能确定2．已知D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点，则|PD ―→||AD ―→|的值为( ) A.12B.13 C ．1 D ．23．[多选]如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法正确的是( )A ．与AB ―→相等的向量只有一个(不含AB ―→)B ．与AB ―→的模相等的向量有9个(不含AB ―→)C.BD ―→的模恰好为DA ―→的模的3倍D.CB ―→与DA ―→不共线4．给出下列命题：①若|a |＝0，则 a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |.其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．四边形ABCD 满足AD ―→＝BC ―→，且|AC ―→|＝|BD ―→|，则四边形ABCD 是________(填四边形ABCD 的形状)．6.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．7.如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示与向量DE ―→长度相等的向量；(2)写出图中所示与向量FD ―→相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE ―→，FD ―→共线的向量．C 级——拓展探索性题目应用练在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标．(1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°；(3)|a |＝42，a 的方向与x 轴正方向、y 轴正方向的夹角都是135°.答案A 级——学考合格性考试达标练1.解析：选B 身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB 的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选B.2.解析：选B 对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向是任意的，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选B.3.解析：选C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A 、B 错；汽车走的路程为240 km ，摩托车走的路程为90 km ，故C 正确．故选C.4.解析：选B DC ―→和AB ―→方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段表示．故选B.5.解析：选C ∵BA ―→＝CD ―→，∴四边形ABCD 为平行四边形．又∵|AB ―→|＝|AD ―→|，∴平行四边形ABCD 相邻两边相等，故四边形ABCD 为菱形．故选C.6.解析：(1)错误．单位向量模都相等，但是方向不一定相同．(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．(3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同．(4)错误．方向相反的两个向量一定平行．答案：(2)7.解析：对(1)，不一定有|a |＞|b |；对(2)，a 与b 方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a |＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a 0与b 方向不一定相同．综上可知(3)正确．答案：(3)8.解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以|BC ―→|＝ 3. 答案：39.解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和AB ―→平行且模为 2.因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．(2)易知与向量AB ―→方向相同且模为32的向量共有2个．10.解：∵在四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵tan D ＝3，∴B ＝D ＝60°.又|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形．B 级——面向全国卷高考高分练1.解析：选C 由于|OA ―→|＝2，所以A 点构成一个以O 为圆心，半径为2的圆．故选C.2.解析：选C 因为四边形ABPC 是平行四边形，D 为对角线BC 与AP 的交点，所以D 为P A 的中点，所以|PD ―→||AD ―→|的值为1.故选 C. 3.解析：选ABC 与AB ―→相等的向量只有DC ―→，A 正确；由已知条件可得|AB ―→|＝|BA ―→|＝|BC―→|＝|CB ―→|＝|AC ―→|＝|CA ―→|＝|DC ―→|＝|CD ―→|＝|DA ―→|＝|AD ―→|，B 正确；如图，过点B 作DA 的垂线交DA 的延长线于E ，因为∠DAB ＝120°，四边形ABCD 为菱形，所以∠BDE ＝∠ABE ＝30°，在Rt △BED 中，|DB ―→|＝|DE ―→|cos 30°，在Rt △AEB 中，|AE ―→|＝12|AB ―→|＝12|AD ―→|，所以|DB ―→|＝32|DA ―→|32＝3|DA ―→|，C 正确；CB ―→与DA ―→方向相同，大小相等，故CB ―→＝DA ―→，CB ―→与DA ―→共线，D 错误．故选A 、B 、C.4.解析：选A ①忽略了0与0的区别，a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和与两个向量相等的概念，|a |＝|b |只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．故选A.5.解析：∵AD ―→＝BC ―→，∴AD ∥BC 且|AD ―→|＝|BC ―→|，∴四边形ABCD 是平行四边形．又|AC ―→|＝|BD ―→|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD 是矩形．答案：矩形6.解析：结合图形可知，(1)|CH ―→|＝|AE ―→|＝10.(2)DG ―→与HF ―→共线，|DG ―→|＝22，|HF ―→|＝32，故|DG ―→|＋|HF ―→|＝5 2.答案：(1)CH ―→，AE ―→ 10 (2)DG ―→，HF ―→ 527.解：(1)与DE ―→长度相等的向量是EF ―→，FD ―→，AF ―→，FC ―→，BD ―→，DA ―→，CE ―→，EB ―→.(2)与FD ―→相等的向量是CE ―→，EB ―→.(3)与DE ―→共线的向量是AC ―→，AF ―→，FC ―→；与FD ―→共线的向量是CE ―→，EB ―→，CB ―→.C 级——拓展探索性题目应用练解：如图所示．。

【小初高学习]2017-2018学年高中数学课时跟踪检测(一)算法的概念新人教B版必修3

课时跟踪检测（一）算法的概念1．下列对算法的理解不正确的是( )A ．算法只能用自然语言来描述B ．算法可以用图形方式来描述C ．算法一般是“机械的”，有时要进行大量重复的计算，它的优点是可以解决一类问题D ．设计算法要本着简单、方便、可操作的原则解析：选A 由算法的概念和描述方式知，A 不正确．2．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2，在写解此方程组的算法时需要我们注意的是( )A ．a 1≠0B ．a 2≠0C ．a 1b 2－a 2b 1≠0D ．a 1b 1－a 2b 2≠0解析：选C 应用高斯消去法解方程组其实质是利用加减消元法．首先要将两方程y 的系数化为相同即b 1b 2，此时x 的系数分别为a 1b 2和a 2b 1两式相减得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝c 1b 2－c 2b 1，要得出x 的值，则需注意a 1b 2－a 2b 1≠0.3．阅读下面的算法：S1 输入两个实数a ，b .S2 若a ＜b ，则交换a ，b 的值，否则执行第三步．S3 输出a .这个算法输出的是( )A ．a ，b 中的较大数B ．a ，b 中的较小数C ．原来的a 的值D ．原来的b 的值解析：选A 第二步中，若a ＜b ，则交换a ，b 的值，那么a 是a ，b 中的较大数；若a ＜b 不成立，即a ≥b ，那么a 也是a ，b 中的较大数．4．对于算法：S1 输入n .S2 判断n 是否等于2，若n ＝2，则n 满足条件；若n >2，则执行S3.S3 依次从2到(n －1)检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行S4；若能整除n ，则执行S1.S4 输出n .满足条件的n 是( )A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．约数解析：选A 从题目的条件可以看出，输出的n 没有约数，因此是质数．5．给出算法步骤如下：S1 输入x 的值；S2 当x <0时，计算y ＝x ＋1，否则执行S3；S3 计算y ＝－x 2；S4 输出y .当输入x 的值为－2,3时，输出y 的结果分别是______．解析：由算法步骤可知，其算法功能是已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x <0，－x 2，x ≥0，当输入x 的值时，求对应的y 值．因为－2<0，所以对应函数解析式为y ＝x ＋1，因此y ＝－2＋1＝－1；当x ＝3时，则对应函数解析式为y ＝－x 2，因此y ＝－32＝－9.答案：－1，－96．使用配方法解方程x 2－4x ＋3＝0的算法的步骤是________(填序号)．①配方得(x －2)2＝1；②移项得x 2－4x ＝－3；③解得x ＝1或x ＝3；④开方得x －2＝±1.解析：使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．答案：②①④③7．已知直角三角形两条直角边长分别为a ，b (a >b )，写出求两直角边所对的最大角θ的余弦值的算法如下：S1 输入两直角边长a ，b 的值；S2 计算c ＝a 2＋b 2的值；S3 ________________________；S4 输出cos θ.将算法补充完整，横线处应填________________．解析：根据题意知，直角三角形两直角边a ，b (a >b )所对最大角θ的余弦值为b c ，所以应填“计算cos θ＝b c 的值”．答案：计算cos θ＝b c的值8．某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人或3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．解：设某户有x 人，根据题意，应收取的卫生费y 是x 的分段函数，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3.算法如下：S1 输入人数x .S2 如果x ≤3，则y ＝5；如果x >3，则y ＝1.2x ＋1.4.S3 输出应收卫生费y .9．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和直线l 2：3x ＋2y －6＝0，求直线l 1与l 2及y 轴所围成的三角形面积，写出解决本题的一个算法．解：S1 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0，得直线l 1，l 2的交点P (－2,6)．S2 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0，得y ＝12，从而得到A (0,12)．S3 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0，得y ＝3，得到B (0,3)；S4 求出△ABP 的底边长|AB |＝12－3＝9；S5 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2；S6 根据三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ＝12×9×2＝9.。

2017_2018学年高中数学课时跟踪检测十三向量的概念新人教B版必修4

B．终点相同的两个向量不共线
C．假设a≠b，那么a必然不与b共线
D．零向量的长度为0
解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，假设b＝0，那么a与c不必然平行．B中，两向量终点相同，假设夹角是0°或180°，那么共线．C中，关于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，因此a与b可能共线．
答案：①③④
9.如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与向量相等的向量是 .
(2)与的模相等的向量有：，，，，，， .
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米抵达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才抵达B地．
5．已知向量a，b是两个非零向量，，别离是与a，b同方向的模为1的向量，那么以下各式正确的选项是( )
A．＝ B．＝或＝－
C．＝1D．| |＝| |
解析：选D 由于a与b的方向不知，故与无法判定是不是相等，故A、B选项均错．又与均为模为1的向量．∴| |＝| |，故C错D对．
6．已知| |＝1，| |＝2，假设∠ABC＝90°，那么| |＝________.
答案：8
8．给出以下四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：假设a＝b，那么a与b大小相等且方向相同，因此a∥b；假设|a|＝|b|，那么a与b的大小相等，而方向不确信，因此不必然有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此假设a与b方向相反，那么有a∥b；零向量与任意向量平行，因此假设|a|＝0或|b|＝0，那么a∥b.

高中数学课时跟踪检测(十八)--向量数乘运算及其几何意义

课时跟踪检测（十八）向量数乘运算及其几何意义层级一学业水平达标1．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝( ) A ．57bB ．－57bC ．75bD ．－75b解析：选B b 与a 反向，故a ＝λb (λ＜0)，|a |＝－λ|b |，则5＝－λ×7，所以λ＝－57，∴a ＝57b .2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e解析：选C 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e .3．已知AB ＝a ＋5b ，BC ＝－2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB ，又∵BD 与AB 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A ．13B ．23C ．12D ．53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A ．13a ＋bB ．12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b . 6．若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 解析：由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， ∴x ＋3a －4b ＝0，∴x ＝4b －3a . 答案：4b －3a7．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.答案：－1或3 9．计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(2m －n )a －mb －(m －n )(a －b )(m ，n 为实数)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0. (2)原式＝2ma －na －mb －m (a －b )＋n (a －b ) ＝2ma －na －mb －ma ＋mb ＋na －nb ＝ma －nb .10．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.层级二应试能力达标1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反 C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|λa |＝λ|a |解析：选C 只有当λ>0时，a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa |＝λ|a |.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1.4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ， ∴PA ＋PB ＋PC －AB ＝0，∴PA ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PA ＋PA ＋PC ＝0， ∴2PA ＝CP ，∴点P 在线段AC 上．5．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－46.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b )表示．解析：MN ＝MC ＋CN ＝MC －NC ＝12AD －14AC＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )．答案：14(b －a )7．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ，又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高一数学苏教版必修四练习：课时跟踪检测(十四) 向量的概念及表示

课时跟踪检测（十四）向量的概念及表示层级一学业水平达标1．有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD；③若a≠b，则a一定不与b共线；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中，正确说法的个数是________．解析：对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故③不正确；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．★答案★：12. 设a0，b0是两个单位向量，则|a0|＋|b0|＝________.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.★答案★：23．下图中，小正方形的边长为1，则|AB|＝______；|CD|＝________；|EF|＝________.解析：根据勾股定理可得|AB|＝32，|CD|＝26，|EF|＝2 2.★答案★：32262 24.如图所示，D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，AC的中点，则与向量EF相等的向量为________．解析：大小相等、方向相同的向量才是相等向量．★答案★：BD与DA5.如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度为2的向量有________________．解析：满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：AC，CA，BD，DB.★答案★：AC，CA，BD，DB6．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有________个．解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．★答案★：47．若a0是与a同向的单位向量，则向量a|a|与单位向量a0的长度的大小关系是________．解析：依题意，a是非零向量，a|a|表示与a同向的单位向量．★答案★：相等8．在下列判断中，真命题的是_________．①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．解析：由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③⑤正确，④不正确．★答案★：①③⑤9．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，且AB＝4，AD＝2，设CB＝a，FC＝b.图中的七个向量DA，AE，EF，FD，FC，CB，BE中，满足以下条件的向量分别是什么？(1)与a相等的向量；(2)与b相等的向量；(3)与a平行的向量；(4)与b共线的向量；(5)与b长度相等的向量．★答案★：(1)DA(2)AE(3)EF，DA(4)FD，AE，BE(5)FD，AE，BE，DA，CB，EF10．一辆汽车从A点出发，向西行驶100公里到达B点，然后改变方向，向西偏北60°走了200公里到达C点，然后又改变了方向，向东行驶了100公里到达D点．(1) 作出向量AB，BC，CD；(2) 求A，D两点间的距离，并确定A点与D点之间的方位关系．解：(1) 向量AB，BC，CD，如图所示．(2) 由题意，知AB与CD方向相反，所以AB与CD平行．又|AB|＝|CD|，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC.故|AD|＝200公里，且D点在A点的西偏北60°的方向处．层级二应试能力达标1. 若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为_________．解析：因为BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为|AB|＝|AD|，所以四边形ABCD为菱形．★答案★：菱形2．在平面直角坐标系中，O为原点，若|OP|＝1，则由所有满足条件的点P组成的平面图形是________________．解析：由|OP |＝1，知P 到O 的距离为1，即点P 落在以原点为圆心，1为半径的圆上． ★答案★：以O 为圆心，1为半径的圆3．设O 是正△ABC 的重心，则||AO 与||BO 的大小关系为________．解析：因为O 是正△ABC 的重心，所以O 是正△ABC 的中心，所以||AO ＝||BO . ★答案★：相等4．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ |P ，Q ∈M ，且P ，Q 不相等}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为AO (OC )，OA (CO )，DO (OB )，AD (BC )，DA (CB )，AB (DC )，BA (CD )，BO (OD )，AC ，CA ，BD ，DB ，由元素的互异性知T 中有12个元素．★答案★：125．已知|AB |＝1，|AC |＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC |＝________.解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以|BC |＝ 3.★答案★： 36.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与AD相等的向量为OC；与OA共线的向量为DC，EB；与OA的模相等的向量为OB，OC，DC，EB，AD.★答案★：OC DC，EB OB，OC，DC，EB，AD7．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO，BO相等的向量；(2)写出与AO共线的向量；(3)写出与AO的模相等的向量；(4)向量AO与CO是否相等？解：(1)AO＝BF，BO＝AE.(2)与AO共线的向量为：BF，CO，DE.(3)|AO|＝|CO|＝|DO|＝|BO|＝|BF|＝|CF|＝|AE|＝|DE|.(4)不相等．8．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按东偏南15°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向？C地距A地多远？解：如图所示，AB表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则|AB|＝1 400 km.BC表示飞机从B地按东偏南15°方向飞行到C地的位移，则|BC|＝1 400 km.所以AC为从A地到C地的位移．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝1 400，且∠ABC＝(90°－15°)－15°＝60°，所以∠BAC＝60°，且|AC|＝1 400.所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°，距离A地1 400 km.。

高中数学课时跟踪检测(十六)--向量加法运算及其几何意义

课时跟踪检测（十六）向量加法运算及其几何意义层级一学业水平达标1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝a B．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0 D．CA＋AC＝OA＋CO＋AC解析：选B由向量加法可知AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC.2．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于()A．BC B．ABC．AC D．AM解析：选C原式＝AB＋MB＋BO＋BC＋OM＝(AB＋BC)＋(MB＋BO＋OM)＝AC＋0＝AC.3．下列各式不一定成立的是()A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝aC．AC＋CB＝AB D．|a＋b|＝|a|＋|b|解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.4．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于() A．25B．4 5C．12 D．6解析：选B因为AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是4 5.5．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．6．PQ＋OM＋QO＋MQ＝________.解析：原式＝PQ ＋QO ＋OM ＋MQ ＝PQ ＋QM ＋MQ ＝PQ . 答案：PQ7．已知正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，AC ＝c ，BC ＝b ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析：|a ＋b ＋c |＝|AB ＋BC ＋AC |＝|AC ＋AC |＝2|AC |＝2 2.答案：2 28.如图，在平行四边形ABCD 中， (1)AB ＋AD ＝________； (2)AC ＋CD ＋DO ＝________； (3)AB ＋AD ＋CD ＝________； (4)AC ＋BA ＋DA ＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC . (2)AC ＋CD ＋DO ＝AD ＋DO ＝AO . (3)AB ＋AD ＋CD ＝AC ＋CD ＝AD . (4)AC ＋BA ＋DA ＝BA ＋AC ＋DA ＝BC ＋DA ＝0.答案：(1)AC (2)AO (3)AD (4)09.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式： ①DG ＋EA ＋CB ； ②EG ＋CG ＋DA ＋EB .解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋BE ＝GB ＋BE ＝GE . ②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝1＋i i A A(i ＝1,2，…，7)，b j ＝j OA (j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.解：因为3OA ＋7OA ＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝23A A ＋56A A ＋2OA ＋5OA ＋7OA＝(2OA ＋23A A )＋(5OA ＋56A A )＋7OA＝6OA ＝b 6.层级二应试能力达标1.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是()A．FD＋DA＝FAB．FD＋DE＋EF＝0C．DE,＋DA＝ECD．DA＋DE＝FD解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，DA＋DE＝DF≠FD.2．下列命题错误的是()A．两个向量的和仍是一个向量B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有AB＝DC，起点和终点都不相同．3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．4．下列命题正确的是()A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同B．若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥bD．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0解析：选C当a＋b＝0时，A选项不正确；若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)，故D选项不正确．5．如果|AB|＝8，|AC|＝5，那么|BC|的取值范围为________．解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．答案：[3,13]6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|AC|＝82，∠BAC＝45°.答案：8 2 km北偏东45°7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.8.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中学业水平测试数学复习学案第13课时平面向量的概念及运算

学业水平测试数学复习学案第13课时平面向量的概念及运算一．知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的：既有大小又有方向的量叫做向量. 用a ，或AB ，或 (x,y)表示（2）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 规定零向量与任何向量共线.故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）（4）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （5）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量. 2．向量的加法与减法⑴向量加法按法则或法则进行． ⑵向量的减法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向．3．实数与向量的积⑴ 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．①|λa |＝．② 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向；当λ＝0时，λa = 4．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ 5.平面向量的坐标运算：①若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±；②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--；③若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)； |a |=④若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=。

→a ⊥→b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 二．课前自测 ① 化简 OA OC OB CO --+- = ②下列说法中错误的是（） A.向量AB 的长度与向量BA的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.方向相反的两个向量不一定是共线向量 D.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同. ③ 已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c === ，则a b c ++的模等于 ④.与a =(3,－4)平行的单位向量是_________；三．典例解析【例1】给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a =b；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC = 是ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a =b ，b =c ，则a =c ；④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c；其中正确的序号是。

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课时跟踪检测（十三）向量的概念
]层级一学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C
况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向
量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2.如图，在圆O( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：选C
C.
3( )
A
B
C
D．以上说法都不正确
解析：选B
故选B.
4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD
的向量有( )
A．1个B．2个
C．3个 D．4个
解析：选 C 3
个．
5．已知向量a，b a，b同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )
A B．
C 1 D．＝
解析：选D 由于a与b A、B选项
1的向量．∴＝，故C错D对．
6．已知＝1，＝2，若∠ABC＝90°，则＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝AC2－AB2＝3，所以＝ 3.
答案： 3
7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16
个交点，从中选取222的向量
个数是______．
解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为22，在
22的向量有2个，所以共8个．答案：8
8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a ∥b.
答案：①③④
9.如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)
(2)
解：(1)
(2)
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行
驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C
地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)
(2)
所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．
则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
层级二应试能力达标
1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两
腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
A B
C D
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
A
B
C
D EF
2．下列说法正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．终点相同的两个向量不共线
C．若a≠b，则a一定不与b共线
D．零向量的长度为0
解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，
两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a 与b 可能共线．
3.在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )
A ．一组
B ．二组
C ．三组
D ．四组
解析：选A
4．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )
A (不含A
B )
B 9个(
C 模的3倍
D
解析：选D A A 正确；B
项，因为AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AC 9个，正确；C 项，
在Rt △ADO 中，∠DAO ＝60°，则DO ＝32
DA ，所以BD ＝3DA ，故C 项正确；D 项，因为四
边形ABCD D 项错误，选D.
5．四边形ABCD 且＝，则四边形ABCD 是______(填四
边形ABCD 的形状)．
解析：∴AD ∥BC 且＝，∴四边形ABCD 是平行四边形．又
＝知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD 是矩形．
答案：矩形
6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，
________；__________；
______．(填图中所画出的向量)
解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均
7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)长度相等的向量．
(2)相等的向量．
(3)
解：(1)
(2)
(3)
8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m平行，A
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，－
2
2
，B(x，y)是m上的点．求
(1)x，y0；
(2)x，y为何值时，＝1.
解：(1)0，当且仅当点A与点B重合，于是
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x＝0，
y＝－
2
2
.
(2)如图，由已知，l∥m且点A的坐标是
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，－
2
2
，
所以B 1点的坐标是⎝
⎛⎭⎪⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有
2＝2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1，
即＝1. 同理可得，当B 2的坐标是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－22，－2时，|AB 2|＝1.
综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2时，＝1.。