2005年春季高考.北京卷.文科数学试题及答案

2005年普通高等学校春季招生考试（北京卷）
数 学（文史类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、2-i 的共轭复数是（ ）
A ．i +2
B ．i -2
C ．i +-2
D ．i --2
2、函数()|1|f x x =-的图象是（ ）
3、下列命题中，正确的是 （ ） A ．经过不同的三点有且只有一个平面
B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D ．垂直于同一个平面的两个平面平行
4、如果函数)20)(sin()(πθθπ<<+=x x f 的最小正周期是T ，且当2=x 时取得最大值，那么（ ）
A ．2
,2π
θ=
=T B ．πθ==,1T C ．πθ==,2T D ．2
,1π
θ=
=T
5、“0ab <”是“曲线2
2
1ax by +=为双曲线”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
6
、直线20x +-=被圆22
(1)1x y -+=所截得的线段的长为（ ）
A ．1 B
C
D ．2
7、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形
8、若不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a
的取值范围是
x
x
A. B.
C.
D.
（ ）
A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2
C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,3
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-23,3 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9、2
2lim 23
n n n →∞-=__________。

10、椭圆
22
1259
x y +=的离心率是_______，准线方程是___________。

11、已知3
3
22
cos
2
sin
=
+θ
θ
，那么θsin 的值为_____，θ2cos 的值为_____。

12、如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，将该正方体沿对角面D D BB 11切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________。

A
B
C
D
A 1
D 1
B 1
C 1
13、从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数c bx ax x f ++=2
)(的系数，可组成不同的一次函数共有__________个，不同的二次函数共有______个。

（用数字作答）
14、若关于x 的不等式02
>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是__________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分12分）记函数
2()l g (23)f x o x =-的定义域为集合M ，函数()(3)(1)g x x x =--的定义域为集合N 。

求：
（1）集合M ，N ；
（2）集合N M I ，N M Y 。

16、（本小题满分14分）如图，正三棱锥S ABC -中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点。

求：
（1）
AM
SM
的值； （2）二面角S BC A --的大小； （3）正三棱锥S ABC -的体积。

17、（本小题满分14分）已知{}n a 是等比数列，21=a ，454a =；{}n b 是等差数列，21=b ，1234123.b b b b a a a +++=++
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 的公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）设14732n n U b b b b -=++++L ，其中Λ,2,1=n ，求10U 的值。

18、（本小题满分14分）如图，O 为坐标原点，过点P （2,0）且斜率为k 的直线l 交抛物线2
2y x =于),(11y x M 、),(22y x N 两点。

（1）写出直线l 的截距式方程； （2）求12x x 与12y y 的值； （3）求证：.OM ON ⊥
19、（本小题满分13分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：
)0(1600
39202
>++=
υυυυ
y 。

（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？
20、（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：
543210,,,,,a a a a a a ，其中00=a 。

为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行
如下加工：记510a a a T +++=Λ，5n x n =
，)(1
10n n a a a T
y +++=Λ，作函数)(x f y =，使其图象为逐点依次连接点)5,,2,1,0)(,(Λ=n y x P n n n 的折线。

（1）求)0(f 和)1(f 的值；
（2）设n n P P 1-的斜率为)5,4,3,2,1(=n k n ，判断54321,,,,k k k k k 的大小关系； （3）证明：()n n f x x <(1,2,3,4).n =
2005年普通高等学校春季招生考试 数 学（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本技能．每小题5分，满分40分． 1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．B 8．A
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． 9．
21
10． 42554x =± 11．
9
731 12．2
)224(a + 13．6 18 14．(4,0)-
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）};2
3
|{}032|{>=>-=x x x x M
{|(3)(1)0}{|31}N x x x x x x =--≥=≥≤或
（Ⅱ）{|3};M N x x =≥I 3{|1}2
M N x x x =≤>U 或.
16．本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．满分14分．
解（Ⅰ）∵SB ＝SC ，AB ＝AC ，
M 为BC 的中点，
∴SM ⊥BC ，AM ⊥BC ．
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即
11
3222BC SM BC AM ⨯
⨯=⨯⨯ 得3.2
AM SM = （Ⅱ）作正三棱锥的高SG ，则G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，1
.3
GM AM = ∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，
∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角． 在Rt △SGM 中，
22
3233
SM AM GM GM =
=⨯=，∴∠SMA=∠SMG ＝60° 即二面角S —BC —A 的大小是60°
（Ⅲ）∵△ABC 的边长是3，∴3333
,,tan 60222
AM GM SG GM =
===o ， ∴1193393
.33428
S ABC ABC V S SG -∆=
⋅=⋅⋅= 17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）设{a n }的公比为q ，由341a a q =得 3
4
1
27,3a q q a =
==，
所以数列{}n a 的通项公式为1
23n n a -=⋅。

数列{}n a 的前n 项和的公式为2(31)
3 1.31
n n n S -=
=--
（Ⅱ）设数列{}n b 的公差为d ，1234143
486.2
b b b b b d d ⨯+++=+
=+ 由3
12341233126b b b b a a a +++=++=-=，得8626, 3.d d +==
所以1(1)3 1.n b b n d n =+-=-
（Ⅲ）14732,,,,n b b b b -L 组成以3d 为公差的等差数列，所以
10110(101)
103425.2
U b d -=+
⋅= 18．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，满分14分．
（Ⅰ）解：直线l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠ ①
（Ⅱ）解：由①及y 2=2x 消去y 得
22222(21)40k x k x k -++= ②
点M ，N 的纵坐标12,x x 为②的两个根，故
2
1224 4.k x x k
==
由2211222,2y x y x ==，得2
1212()416y y x x ==
注意到120y y <，所以12 4.y y =-
（Ⅲ）证明：设直线OM ，ON 的斜率分别为k 1,k 2,
121212
121212,.4
1,4
.
y y k k x x y y k k x x OM ON =
=-=
==-⊥则相乘得所以 19．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的
能力，满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，,83920
160023920)1600(3920=+≤++=
v
v y
)./(1.1183
920,,40,1600
max
小时千辆所以上式等号成立时即当且仅当≈===
y v v
v
（Ⅱ）由条件得
,101600
39202
>++v v v
整理得v 2－89v +1600<0, 即（v －25）（v －64）<0, 解得25<v <64.
答：当v =40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时． 20．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，满分13分． （Ⅰ）解：,0)0(5
00
=++=
a a a f Λ
,1)1(5
05
0=++++=
a a a a f ΛΛ
（Ⅱ）解：,5,,2,1,5
11Λ==--=
--n a T
x x y y k n n n n n n
因为a 1<a 2<a 3<a 4<a 5, 所以k 1<k 2<k 3<k 4<k 5. （Ⅲ）证明：证法一： 对任何n (n =1,2,3,4),
.5
)()(])5([)5()())(5()())](5([)(51511111111n n n n n n n n n n n n n x n
T a a x f nT a a a a n a n a a n na n a a n a a n a a n a a n n a a =<++=
=+++++<-+++=-+++≤++-+++=++-+=+++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ所以
证法二：
对任何n （n=1,2,3,4）
.
)(,,
5
)5(511)(511)]()()[(1)
(,1.5)(51)()()(152145121552111201n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x f x n
n k k k y y y y y y y y y y k x n
k k k y y y y y y y k <==--<+++-=-++-+--=--=≥=<+++=-++-+-=<+++++-综上时当时
当ΛΛΛΛ。