安徽省合肥市北城中学2022年高一数学理期末试题含解析

安徽省合肥市北城中学2022年高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2016+a2017=（）
A．B．C．D．5
参考答案：
C
【考点】数列递推式．
【分析】a1=，a2=，a n a n+2=1，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2，a4n﹣2=，a4n=3．即可得出．
【解答】解：∵a1=，a2=，a n a n+2=1，
∴a3=2，a5=，…，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2．
同理可得：a4n﹣2=，a4n=3．
∴a2016+a2017=3+=．
故选：C．
2. 下列函数中与函数相等的函数是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
3. 三个数之间的大小关系是（）
A． B. C. D.
参考答案：C
4. S n为等差数列{a n}的前n项和，且.记，其中[x]表示不超过x的最大整数，
如，则数列{b n}的前1000项和为()
A. 1890
B. 1891
C. 1892
D. 1893
参考答案：
D
【分析】
先求出等差数列的通项公式，再分析数列的各项取值，求其前项和.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
解得，故.
，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以数列的前1000项和为.
【点睛】本题考查等差数列的基本问题，分组求和，解题的关键是根据新定义判断数列的哪些项的值是相同的..
5. 化简（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.
【详解】
故答案选A
【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题.
6. 已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图，那么不等式
的解集是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
7. 下列各式错误的是（）
A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0.50.6
C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．log2＞log3
参考答案：
C
【考点】不等式比较大小．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，逐一分析各个指数式和对数式的大小，可得答案．【解答】解：∵y=3x在R上为增函数，
0.8＞0.7，
∴30.8＞30.7，
故A正确；
∵y=log0.5x在（0，+∞）上为减函数，
0.4＜0.6，
∴log0.50.4＞log0.50.6，
故B正确；
∵y=0.75x在R上为减函数，
﹣0.1＜0.1，
∴0.75﹣0.1＞0.750.1，
故C错误；
∵y=log2x在（0，+∞）上为增函数，
，
∴log2＞log3，故D正确；
故选：C
8. 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）
A．x3+2x2 B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2
参考答案：
A
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】设x＜0时，则﹣x＞0，我们知道当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，所以可求f（﹣x）=﹣x3﹣2x2，
再由奇函数知f（x）=﹣f（﹣x）即可求解．
【解答】解：设x＜0时，则﹣x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2
所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），
所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，
故选A．
9. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（）．
A．B．C．D．
参考答案：
B
依题意得：，
∴，
又，
∴，
∴．
故选．
10. 计算= ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平面向量，，若，则实数等于
参考答案：
12. 已知函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2），则实数b的值为．
参考答案：
3
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】由函数解析式画出函数图形，得到函数在[2，b]上为增函数，再由f（b）=b求得b值．
【解答】解： =，
其图象如图，
由图可知，函数在[2，b]上为增函数，
又函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2），
∴f（b）=，解得：b=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数的定义域，考查了函数值域的求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，
是基础题．
13. 已知函数f（x）=，则f（ln3）= ．
参考答案：
e
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论．
【解答】解：∵1＜ln3＜2，
∴2＜ln3+1＜3，
由分段函数的表达式可知，f（ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，
故答案为：e．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础．
14. （5分）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为．
参考答案：
4
考点：扇形面积公式．
专题：计算题．
分析：设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r=2，l=4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．
解答：设扇形的半径为r，弧长为l，则
解得r=2，l=4
由扇形面积公式可得扇形面积S=lr==4
故答案为：4
点评：本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．
15. 已知函数对于满足
的任意，，给出下列结论：
①
②
③
④
其中正确的是
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
参考答案：
C
略
16. 已知下列关系式；①：②；③（?）=（?）；④；
⑤．其中正确关系式的序号是．
参考答案：
①②④
【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的基本公式和基本运算律判断即可．
【解答】解：①，正确，
②，正确
③（?）=（?），向量不满足结合律，故不正确
④；正确
⑤设与
的夹角为θ，则||=|||?||?cosθ|， =|||?||?cosθ，故不正确，故答案为：①②④
17. 已知是关于的方程的两个实根，，则实数的值为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设,且，且
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最大值.
参考答案：
(1)∵f(1)＝2，∴log a4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
19. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：
①在D内具有单调性；
②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么称()为闭函数．
（Ⅰ）求闭函数符合条件②的区间[]；
（Ⅱ）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数是闭函数，求实数的取值范围．
参考答案：
（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，
函数的值域为[]，即，
为方程的两个实根，
即方程有两个不等的实根。

当时，有，解得。

当时，有，无解。

综上所述，
略
20. 求符合下列条件的直线方程：
（1）过点P（3，﹣2），且与直线4x+y﹣2=0平行；
（2）过点P（3，﹣2），且与直线4x+y﹣2=0垂直；
（3）过点P（3，﹣2），且在两坐标轴上的截距相等．
参考答案：
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】利用待定系数法求解．
【解答】解：（1）设直线方程为4x+y+c=0，
把P（3，﹣2）代入上式得：12﹣2+c=0，解得c=﹣10，
∴直线方程为：4x+y﹣10=0．
（2）设直线方程为x﹣4y+c=0，
把P（3，﹣2）代入上式得：3+8+c=0，解得c=﹣11，
∴直线方程为：x﹣4y﹣11=0．
（3）若截距为0，则直线方程为y=kx，
把P（3，﹣2）代入上式得：﹣2=3k，解得k=﹣．
故直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0，
若截距不为0，设截距为a，则方程为，
把P（3，﹣2）代入上式得：，解得a=1，
故直线方程为x+y﹣1=0．
综上，直线方程为：2x+3y=0或x+y﹣1=0．
21. 已知，，，其中，为锐角．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意知，=
=
=，
………………4分
所以====．………8分
（Ⅱ）由题意知，……………10分
又因为为锐角，所以，
， (12)
分
因为，……………14分又因为也为锐角，所以，
所以
=．
……………16分
22. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值；
参考答案：
(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，
即a<0，由a2≥1知a≤－1，
因此，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f(x)的最小值为g(a)，则有
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|。